我國古代傑出的數學家、天文學家祖沖之
導讀
明天，是國際數學節，也是圓周率日。說到圓周率，不得不提的人自然是我國古代數學家祖沖之。
很少有人知道，除了數學外，祖沖之在天文、機械等多個領域都頗有研究，甚至還精通樂理、音韻。
割之彌細，所失彌少……
——劉徽（魏晉）
撰文 | 蔡天新（浙江大學數學科學學院）
責編 | 李娟、韓琨
01 祖沖之與圓周率
祖沖之祖籍河北淶水，該縣如今隸屬保定市，與北京市的門頭溝區和房山區相接。但他於公元429年出生於南北朝時期南朝的政治、經濟中心建康（今南京），這是比較稀罕的，依筆者之見，大都市不容易產生天才人物。自從317年晉室（東晉）南遷以來，江南地區的經濟迅速發展，出現了一些繁榮的城市，建康是其中較為突出的代表。
祖家是一個官宦人家，祖沖之的曾祖父在東晉時官至侍中、光祿大夫，相當於宰相和國策顧問之類。他的祖父和父親都在南朝做官，祖父是大匠卿，掌管宮室、宗廟、陵寢等的土木營建；父親是奉朝請，這是閑散大官。古時稱春季的朝見為朝，秋季的朝見為請。這個家族的歷代成員，大多對天文曆法頗有研究。
紀念祖沖之的郵票
相比之下，祖沖之擔任過的官職較低，卻在天文學和數學領域，乃至機械製造方面較其前輩取得更為傑出的成就。在劉宋時期，他曾出任南徐州從事史，這是督促文書、察舉非法的官職。必須指出的是，南徐州並非徐州之南，而是徐州東南三百多公里以外的鎮江。他還做過婁縣（今蘇州崑山）縣令，也做過掌朝廷禮儀與傳達使命的謁者僕射。到了蕭齊王朝，祖沖之官至長水校尉，這是他一生擔任過的最高官職（四品）。
從青年時代開始，祖沖之便對數學和天文學懷有濃厚興趣，他曾在著作中自述說，自幼起「專功數術，搜煉古今」。祖沖之把上古時起至他生活年代的各種文獻資料搜羅來研究，同時親自進行精密的測量和仔細的推算，也不把自己束縛在古人陳腐的思想中。可以說，祖沖之批判地接受了前人的學術遺產，並勇於提出自己的新見解，這是古往今來一切傑出科學家共有的優良品質。
在數學領域，祖沖之師承的是比他早兩百多年的魏晉時期的劉徽，後者發明了計算圓周率的「割圓術」和計算球體積的方法。由圓面積計算公式
，容易得知，只要求得圓的面積，再除以半徑的平方，即為圓周率。而如何求圓面積，劉徽在《九章算術》的注釋里這樣寫道，
割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓合體而無所失矣。
劉徽從圓內接正六邊形開始計算面積，依次將邊數加倍，求出內接正十二邊形、正二十四邊形、正四十八邊形等等的面積。隨著邊數的增加，內接正多邊形的面積越來越接近圓的面積，圓面積和圓周率的精確度就越高。
在古代，包括中國和巴比倫在內的一些民族，都把3作為圓周率。這方面，古埃及人的計算較為準確，他們得到的圓周率為3.1。劉徽用他的割圓術，求得圓周率為3.14，這與古希臘數學家阿基米德算得的圓周率是一致的，後者比劉徽要早六個世紀。也有人認為劉徽算出了3.1416，但未有足夠的證據。
祖沖之與圓周率
祖沖之計算出的圓周率範圍為：
3.1415926<<3.1415927
即精確到小數點後7位。此外，他還得了被稱為密率的
這個分數的圓周率，雖然只精確到小數點後6位，卻同樣讓人驚嘆。直到962年以後，祖沖之的圓周率才被阿拉伯統治下的波斯數學家卡西改進。卡西利用了餘弦函數的半形公式，簡化了計算，精確到了小數點後17位。而德國人奧托求得密率，則比祖沖之晚了一千多年。
中國香港紀念祖沖之在圓周率方面的貢獻
祖沖之的成就是如何取得的？沒有任何史料流傳下來，因為祖沖之的著作全部失傳了，而記載圓周率值的《隋書》又沒有具體交代。由於當時只有劉徽的割圓術一種方法，因此，我們只能猜測祖沖之用的是同樣的方法。那樣的話，他需要算出圓內接正24576邊形的面積，而密率（有日本學者建議稱為祖率）的求得恐怕是藉助於前輩天文學家何承天發明的「調日法」。
02 球體積與大明曆
相比圓的面積，球（古人稱為立圓）體積的計算公式更富技巧。在中國古典數學名著《九章算術》里，是按照以下比例公式來求球體積的：
顯而易見，正方形面積、圓面積和圓柱體體積這三項數據是比較容易求得的。
中國古代數學著作《九章算術》
祖沖之知道這個公式有誤，他在《駁議》中寫道，「至若立圓舊誤，張衡述而弗改……此則算氏劇疵也……臣昔以暇日，撰正眾謬。」可見球體積也是祖沖之的工作，但是，四百年以後，唐代學者李淳風卻在為《九章算術》所寫的注文中，將這一工作歸功給了祖沖之的兒子祖暅，把它作為「祖暅開立圓術」加以引述。無論如何，我們可以將此看成是祖氏父子共同的研究成果。
說起來，祖沖之父子的這一成就，也是在劉徽的工作基礎上完成的。劉徽首先發現上述比例的錯誤，並提出「牟合方蓋」的新概念，這是垂直相交的兩個同樣直徑的圓柱體的共同部分。在上述比例公式中，劉徽用牟合方蓋體積來代替圓柱體體積，即得
這個思想和方法是正確的，可惜的是，劉徽本人求不出牟合方蓋的體積。這一步是由祖氏父子完成的，他們把牟合方蓋以外的部分分成三塊，稱為「外三棋」，經過適當的調整、拼貼，求得那部分佔立方體體積的三分之一。那樣一來，牟合方蓋的體積自然佔了三分之二。再利用上述比例等式，便可求得球體積公式為：
不難想像，當年祖沖之父子得到這個公式時，是何等的喜悅和激動。可是，他們有所不知的是，這個公式早在公元前3世紀就有了，它同樣得自於有著「數學之神」雅稱的古希臘數學家阿基米德。
除了數學領域，祖沖之在天文學方面也有成就。經過實際觀察，他發現何承天制定的為當時劉宋王朝所採納的元嘉歷有不少錯誤。例如，冬至時太陽所在宿度距實測已差三度，冬至、夏至時刻已差一天，五星（金木水火土）的出沒時間更是相差40天。於是，祖沖之便動手編製了新的曆法——《大明曆》，這是那個時代最準確的曆法。
公元462年，33歲的祖沖之上表孝武帝劉駿，請他對新的曆法進行討論。不料，卻遭到皇帝寵幸的大臣戴法興的反對。朝中百官懼怕戴的勢力，多有所附和。祖沖之理直氣壯，勇敢地進行了辯論，並寫下了著名的《駁議》呈送皇帝。文中有他的兩句名言，「願聞顯據，以核理實」「浮辭虛貶，竊非所懼」。這場辯論反映了進步與保守、科學與反科學兩種勢力的鬥爭，這也是科學的每一次進步常會遇到的。
由於種種阻礙，直到半個世紀以後，已經過了劉宋王朝和蕭齊王朝，終於在梁朝天監九年（510年），由於祖暅的堅決請求，再經過實際天象的校驗，大明曆才得以「甲子元歷」之名正式頒行，那時祖沖之已去世10年了。「甲子元歷」引入了「歲差」的概念，把舊曆中每19年閏7年改為每391年閏144年，使得一年的誤差僅50秒。直到宋代，才有更好的曆法出現。
03 指南針和千里船
除了數學和天文學方面的工作以外，祖沖之還製造過各種奇巧的機械，包括指南針和千里船，同時他還通曉音律，堪稱畢達哥拉斯式或阿基米德式的博學多才的科學人物。指南針的名稱在我國由來已久，但其機制構造均未見流傳。據說三國時期的大發明家馬鈞曾製造出指南針，但到晉時早已失傳。
說到馬鈞，他是陝西興平人，不善言辭，還口吃，有點像16世紀那位給出三次方程一般解的義大利人塔爾塔利亞。除了指南針，他還奉詔制木偶百戲，民間稱「水轉百戲」。又改造了織綾機，將工效提高了四五倍。馬鈞還改良了用於農業灌溉的龍骨水車，以及由諸葛亮發明的軍事機械連弩，後者是一種可以連續射箭的裝置。
據說，東晉末年，南朝劉宋的開國皇帝劉裕攻入十六國時期後秦的首都長安，得到的許多器物中就有指南針，但「機數不精，雖曰指南，多不審正，回曲步驟，猶須人功正之」。南朝最後一個皇帝順帝在位時，輔政的蕭道成「使沖之追修古法。沖之改造銅機，圓轉不窮而司方入如一，馬鈞以來未有也。」
除了指南針，祖沖之還「以諸葛亮有木牛流馬，乃造一器」，此器「不因風水，施機自運，不勞人力」。但因缺乏圖像資料，我們無法想像這是何種機械。不過，祖沖之「又造千里船，於新亭江試之，日行八百里」。顯然這是一種快船，卻不知新亭江在何處？是否是長江上的一段呢？他又「於樂游苑內造水碓磨，武帝（齊武帝，483-494年在位）親自臨視」。
祖沖之的成就不僅限於自然科學方面，他還精通樂理、對於音律很有研究。有史料記載，「沖之解鐘律博塞當時獨絕，莫能對者」。（註：以上諸引言出自《南齊書》或《南史》中的《祖沖之傳》。）另外，祖沖之還著有《易義》《老子義》《莊子義》《釋論語》等哲學著作，可惜與他的數學書一樣均已失傳。他的文學作品有《述異記》，在宋代的類書《太平御覽》等古籍中，尚可以看到此文的片斷摘錄。
漢代骨制算籌，圖片來自wikipedia
在祖沖之生活的年代，算盤尚未發明，人們使用一種叫算籌的計算工具，它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等材料。計算數字的位數越多，所需要擺放的面積就越大，籌算計算一次就要用筆記下結果，這樣就無法得到直觀的圖形和算式。因此只要有差錯，就只能從頭開始。祖沖之精益求精，反覆籌算，才求得圓周率的精準數值。
至於祖暅，他的生卒年代不詳，只知他曾任太府卿，這是南朝設置的掌管金帛財帑的官職。由於受家庭尤其是父親的影響，祖暅從小就對數學有濃厚的興趣，祖沖之的《大明曆》便是在祖暅三次建議的基礎上完成的。祖沖之的代表作、曾列入唐代數學教科書併流傳朝鮮和日本的《綴術》經學者們考證，有些條目系祖暅所作。至於球體積的計算公式，則應該是祖暅一生最具代表性的發現（如果是他發現的話）。
縱觀祖沖之父子的兩項主要數學成就，因為阿基米德早已給出球體積計算公式，圓周率方面的工作更為世人稱道。但那就像體育比賽的記錄一樣，是為了被人打破而出現的。
自從有了無窮級數的表示法和計算機，圓周率的人為競爭便失去了意義。個人認為，南宋數學家秦九韶的兩項成就——中國剩餘定理和秦九韶演算法更有意義，也更重要。但圓周率的結論和故事無疑更容易被普通人了解，也更符合國人的英雄想像。
作者簡介
蔡天新：浙江大學教授，詩人、隨筆家，近作有《數學傳奇》《數之書》《里約的誘惑：回憶拉丁美洲》《輕輕掐了她幾下》等。
