多項式方程的求根問題，直到1830年才由伽羅瓦解決，屬於數學史上的一個大漏子。
早在1550年左右，意大利數學家卡爾達諾和塔爾塔利亞就給出了三次方程的求根公式：卡爾達諾公式。
這個公式的發明權在他們兩個之間有爭議，所以這裡把他們的名字都提一下。
之後關於5次方程的根式解問題，有很多大數學家都研究過，其中就包括：高斯、拉格朗日、柯西、魯菲尼、阿貝爾。
高斯（1777-1855）對這個問題的研究，已經很接近解決了。
他解決了正17邊形的尺規作圖問題。
正17邊形的尺規作圖，相當於做出複數也就是找到圓心角的17個等分點，也就是解代數方程
正多邊形的作圖相當於方程的求根
當然高斯的研究領域非常多，例如著名的歐幾里德第五公設問題，就是由高斯解決的。
不管是微積分，還是微分幾何，還是抽象代數，都有高斯的很多貢獻。
但是在5次方程的根式解問題上，高斯確實「智者千慮，必有一失」了。
之所以會出現這種情況，我覺得，還是因為伽羅瓦是民科出身，他沒有正規數學教育帶來的思維局限。
伽羅瓦16歲才開始學數學，而一般的孩子到了這個年齡已經學了8-10年的數學了，思維被老師們影響了太多了，以致於很難重新思考加、減、乘、除、開方到底是什麼。
但是，一個16歲才開始學數學的民科，他沒有啟蒙老師，自然也沒有思維局限。
所以，他或許更容易把方程的求根這個複雜問題，一步步地遞歸求解[呲牙]
如果從編程的角度來考慮方程的求根問題的話，那麼既然5個運算符太複雜了，就先研究其中的1個[捂臉]
在伽羅瓦這麼做了之後，事後看來確實是很正常的思路，但在當時連高斯都沒有想到。
伽羅瓦曾經把論文給了柯西，但柯西搞丟了，而且柯西的粗心大意還被拉格朗日臨死前告誡過。
拉格朗日是柯西的老師，一直覺得自己這個學生不夠仔細，簡直是提前的預言。
後來，伽羅瓦又把論文給了傅立葉，但傅立葉恰好過世了，這論文簡直是催命的[捂臉]
最後，伽羅瓦把論文給了劉維爾和高斯，並且特意要求高斯替他發表，但最後還是劉維爾替他發表的。
以上是幾個大數學家之間的故事。
接下來，就先從1個運算符說起。
1，集合與它的二元運算符，
集合與定義在它上的二元運算符，如果滿足結合律、單位元、逆元這3個公理，就叫群：
1)
2)
3)
這個運算符，通常叫做「乘法」：它可以是狹義上的數的乘法，也可以是廣義上的「乘法」。
例如，時鐘指針的旋轉，也可以看做一個乘法：它實質上也是複數的乘法，使用歐拉公式的話。
如果還符合交換律，就可以把它叫做「加法」，而這個群也叫交換群、阿貝爾群。
乘法通常是不交換的，但整數乘法是交換的。
2，交換律是非常重要的，
4) ab = ba，
交換律在解方程時的作用，是它可以把根合成係數的過程，再拆回去。
ax = b的解：x = 1/a b，如果不符合交換律的話，就不能寫成b 1/a或b/a，
因為群的定義里只規定了a有逆元（倒數），但沒有規定「乘法」是交換的。
所以，a既然在x的左邊，那麼就只能左乘1/a，不能右乘1/a[捂臉]
整數是可以這麼做的，但如果是矩陣方程AX = b，那麼X = A^-1 b和b A^-1是不一樣的，後者甚至可能不滿足矩陣的乘法規則。
但是，群里有一個元素的乘法是肯定滿足交換律的，就是單位元：見第1節的公理2和3。
3，群不一定就是整數的加法或乘法，而是只要滿足第1節的3個條件就行。
所以把1、2、3、4變成2、3、4、1的置換，也可以是個群：
1 --> 2，
2 --> 3，
3 --> 4，
4 --> 1，
可以簡寫成(1, 2, 3, 4)，用C代碼就是y = x % 4 + 1。
這樣的群，叫做循環群。
廣義上來說，可以有各種五花八門的群。
4，群的同構，
為了給這些五花八門的群進行分類，就定義了一個對應關係。
就跟與自然數一一對應的集合叫可數集一樣，兩個群之間也是用對應關係來定義的。
如果有2個群G和G'，它們上面的乘法分別為x和*，如果存在一個對應關係f:G-->G'，滿足：
1) f(axb) = f(a)*f(b)，
2) f是雙射，即一一對應關係，
對任意的a, b屬於G成立，就說它們是同構。
例如，1-26與a-z是一一對應的，可以定義一個對應關係f，規定：
f(2x3) = f(2)xf(3)= ('b' - 'a' + 1)*('c' - 'a' + 1)，
在C語言上這麼算出來是相等的，因為從a-z的ASCII是連續的。
正好手寫時的乘法用x，編程時的乘法用*，因為x要表示第24個英文字母：x。
在把16進制轉化成10進制時，估計很多人寫過a-f與10-15之間的變換，它的原理就是群的同構[大笑]
如果只滿足第1條，而不滿足第2條（一一對應），那麼就是群的同態。
如果是同構，那麼G'的單位元e'就會一一對應到G的單位元e。
如果是同態，那麼G'的單位元e'就可能與G里的多個元素對應：
例如，x^2 = 1，那麼x就可以是1或-1。
G里的這多個可以被f映射到e'的元素，叫做同態的核：ker f。
它的價值在於，f(ag) = f(a)*f(g)=f(a)*e'=e'*f(a)=f(g)*f(a)=f(ga)，即它是符合交換律的。
也就是說，在「同態映射f」之下：
a (Ker f) = (Ker f) a，(公式1)
搞了這麼一通，就是為了看看什麼情況下交換律能用。
把公式1的右邊乘以a的逆元，可得：
Ker f是群G的一個子群，叫正規子群。
5，正規子群的作用就是aK = Ka，是可以使用交換律的。
以整數為例，K = {1}就是「正規子群」，如果a = 2那麼2K就是所有偶數的集合。
整數的例子沒什麼用，看看這個例子：
數字之間的變換關係
假設由1、2、3、4之間的對應關係構成的群：
f：1 --> 2，2 --> 3，3 --> 4，4 --> 1，
g：1 --> (2) --> 3，2 --> (3) --> 4，3 --> (4) --> 1，4 --> (1) --> 2，
h：1 --> (2,3) --> 4，2 --> (3,4) --> 1，3 --> (4,1) -->2，4 -->(1,2) --> 3，
e：1 --> (2,3,4) -->1, 2-->(3,4,1) -->2, 3 -->(4,1,2) -->3, 4 -->(1,2,3) -->4。
G = {f, g, h, e}，由4個元素組成，這4個元素都是1234之間的對應關係。
其中e是單位元，因為它對數字的作用，沒有改變數字。
所以，e是G的正規子群，fe(1) = f (e(1)) = f(1) = 2，ef(1) = e(f(1)) = e(2) = 2，所以fe = ef，即這是符合交換律的。
這種對數字的變換，可以用到多項式方程的幾個根的下標上。
g實際上是把f連續作用2次獲得的，可以認為g是f的2次方：
g = f(f(1, 2, 3, 4)) = (3, 4, 1, 2)，等號兩邊的括號里的數字順序是對應關係。
同理，h是f的3次方，e是f的4次方。
這種用f的多次作用（直到沒作用）生成的群，叫循環群。
f和g對數字1234的作用可以互換嗎？
有的群里的元素可以互換，有的不能互換，這就引出了換位子群的概念。
6，換位子群，
fg = gf，這個等式不一定成立。
但是一定可以成立：因為它化簡之後就是fg = fg。
所以，括號里的那4個組成的式子，叫換位子：也就是交換2個元素所需要的算子。
總之，一切都是為了交換律，因為群的定義里沒有規定交換律必須成立。
只要能夠使用交換律，怎麼變換過來的，就還可以怎麼變回去。
但要是交換律不能用，那就完了[捂臉]
單位元e與別的元素肯定是可以互換的，單位元e自己也可以組成群G的一個子群：因為exe = e = exe，結合律、單位元、逆元都滿足。
G如果除了e之外，還有更大的換位子群（G1）的話，那就更好了。
如果它的換位子群G1，也有比e更大的換位子群G2，那麼就可以組成一個鏈條：G -> G1 -> G2 -> e。
只要一個群的換位子群，能夠沿着這個鏈條下降到單位元e，那麼它就是可解群。
也就是說，可解群里的元素對數字排序的所有作用，都是可逆的！
怎麼打亂的數字，還可以怎麼恢復回去[呲牙]
恢復回去需要的步數，就是那條可解鏈的長度。
所以一元一次方程ax + b = 0 的求解，最多需要2步：考慮有理數Q到它自己的一一對應組成的群G：
1，G里的一個元素f，對其他數字的作用不變，但只把ax變到-b，
2，G里的另一個元素g，對其他數字的作用不變，但只把x變到-b/a，
按照數學慣例，把「變到」那兩個字換成=號。
7，可解群，單群，
單群，不是可解群。
單群的換位子群等於它自己，構造不出來可解鏈。
PS：群的元素不一定是數字，也可以是數字之間的對應關係。
抽象代數跟泛函分析一樣，群的元素可以是「函數」，空間的元素也可以是「函數」。
函數是什麼？對應關係。
乘法是什麼？函數關係[捂臉]
泛函泛的是什麼？距離。
抽代抽的是什麼？乘法[笑哭]
距離的定義
