梅涅勞斯定理與相似三角形

2025年06月23日07:12:02 教育 1814

梅涅勞斯定理因為都是線段比例關係,所以極易和相似三角形扯上關係,下面是一道初中競賽題,便是運用梅涅勞斯定理得出三角形相似,從而最終解決問題。

如下圖,凸四邊形ABCD的對角線AC、BD交於M,過M作AD的平行線分別交AB、CD於E、F,交BC延長線於O,P是以O為圓心,以OM為半徑的圓上一點,求證:∠OPF=∠OEP。

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用梅涅勞斯定理的另一個好處是,不用做輔助線,但截線關係不容易發現。

證明:直線OCB是△DMF的截線,由梅涅勞斯定理(DB/BM)(MO/OF)(FC/CD)=1同時OCB也是△AME的截線,同樣可得:(AB/BE)(EO/OM)(MC/CA)=1。

變形可得OF/MO=(DB/BM)(FC/CD)

EO/OM=(BE/AB)(CA/MC),兩者相乘得OF·EO/OM²=(DB/BM)(FC/CD)(BE/AB)(CA/MC)

因為EF//AD,所以DB/MB=AB/EB,FC/DC=MC/AC,代入上一步所得式子可得OF·EO/OM²=1,由於OP=OM,所以OF·EO=OM²=OP²,即OF/OP=OP/EO,又∠POF為公共角,所以△OFP∽△OPE所以∠OPF=∠OEP。

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