[充分性]若▁lim(n→∞)xn=(lim) ̅(n→∞)xn=A, 則A是唯一聚點, 且{xn}有界.【再證充分性，即數列的上、下極限存在且相等時，記為A，證明數列收斂於A】
若存在ε0>0, 使U(A,ε0)外有{xn}的無限多個項，記為【僅當A的鄰域外仍有數列的無限多個項，數列才有可能不收斂，使用的仍是反證法】
x_(n1 ), x_(n2 ),…, x_(nk ), …, 則{x_(nk )}有界,【原數列有界，所以子列也有界，且這個子列是一個無限數列 】
由「有無限有界數列有聚點」知, {x_(nk)}有聚點B≠A.
B也是{xn}的聚點. 矛盾!
∴∀ε>0，在U(A, ε)外只有{xn}的有限多個項.【這是數列收斂的鄰域充要條件】
∴lim(n→∞)xn=A.
下圖可能可以幫你更好地理解上極限、下極限和收斂數列的關係：
很多人對數列極限、聚點的誤解來自，與n表示的自然數列的混淆，即數列的極限問題，是在縱軸上探究的，而不是在橫軸上探究的，橫軸只是給定了一個定義域而已。圖中可以看到，在左側的點，不論多麼離散，都不會改變數列極限和聚點的實質。 關鍵是在趨於無窮大的區間上，A0和A1是數列的兩個聚點。如果只有這兩個聚點，那麼A1就是上極限，A0就是下極限。或者A1，A0之間還有其它聚點，它們仍是上下極限。而當A1=A2時，很明顯的，這個聚點就是函數的極限。你看明白了嗎？
