庞琛｜中国科学院大学
培养单位：中国科学院物理研究所
审核：周老师｜中国科学院物理研究所
各位朋友大家好，不知道你们有没有想象过有一天参加电视节目，就像电影《贫民窟里的百万富翁》里的贾巴尔·马利克那样，赢得百万大奖，走向成功人生呢。假如现在就有这样一个机会摆在面前，大家又能否做出正确选择呢？下面就让我们一起来看看吧。
游戏开始
在我们面前有三扇门，其中某一扇后面是百万奖金，而另外两扇门后面则是谢谢惠顾。
就在我们选定一扇门后，主持人突然开口说，看你一路闯到这里也不容易，不如我来帮帮你吧。随后他打开了另外两扇门中的一个空门（主持人是清楚所有门后的具体情况的）。
此时主持人向我们问到：现在再给你一次机会，你要变更自己的选择吗？
面对这个问题，大家会作何选择呢，是保持原来的选择不变，还是要换一个门呢？事实上，这个问题是历史上著名的概率学悖论蒙提霍尔问题，其名字来自于美国电视节目《Let’s Make a Deal》的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall），此问题最初由史蒂夫·赛尔文（Steve Selvin）于1975年提出并解决，并在90年代引起过大量讨论[1]。
初次遇到这个问题，我们或许会很自然地产生一个想法，由于主持人排除了一个空门，说明奖金只在剩下的两个门后，也就是说选择两个门得到奖金的概率应该相等，均为50%，那么在这种情况下选择变更与否似乎就无关紧要了。但是，事情真的是这样的吗？
初步分析
下面我们不妨将所有可能性列表整理出来，来验证一下更换选择与否得到奖金的概率究竟是不是五五开。
为了简单起见，我们将最开始选定的门标记为1号门，此时由于是完全随机的，我们知道得到奖金的概率应该是1/3。
随后主持人在剩下的两个门中排除了一个空门，若我们一开始就选中了奖金，那么变更选择后显然不会获奖；而如果我们一开始选定的是空门，那么变更选择后则必然会获奖。
分析到这里，答案已经呼之欲出了，不换门的获奖概率是1/3，而由于初始选中空门的概率为2/3,换门后获奖的概率则是2/3。也就是说只要更换选择，获奖概率居然可以翻一番！
一个推论
事情进行到这里，按照上面的分析方法，我们甚至可以得出一个更有趣的推论：假如最开始门的数量不是三扇而是一百扇[2]，同样是我们随机选择一扇门，然后主持人帮我们排除掉剩余99扇门中的98扇空门，此时如果换门的话，获奖的概率居然会高达99%！简直相当于是白送啊！这就有点超出我们的预期了，主持人只是帮忙排除了一系列空门，居然可以帮我们把获奖概率从1%提升到99%。下面就让我们一起看看在这个过程中到底发生了什么吧。
到底发生了什么
事实上，分歧产生的关键其实在于下面这个问题与蒙提霍尔问题是否等价：主持人首先随机排除一个空门（标记为3号门），然后我们从剩下的两个门（1号与2号门）中挑选一个。
这个问题与我们最初讨论的问题等价吗？
若二者等价，则换门获奖的概率显然是1/2，若不等价，则应是我们上面分析得到的2/3。那么这两个问题的区别到底在哪里呢？可以看到，询问这两个问题是否等价实际上相当于询问1号门与2号门的地位是否相等。在上面的问题中，二者地位并无不同，那么在蒙提霍尔问题中，它们的地位又是否一样呢？
为表述方便，这里将蒙提霍尔问题中开始时选择的门记为1号门，可以更换选择的门记为2号门。在主持人排除掉一个空门之前，1号与2号门地位相同，因此关键在于主持人排除一个空门（也即3号门）的这个操作上。
首先我们知道，最初随机选择1号门，我们的获奖概率为1/3，同时奖金在2号和3号门之后的概率为2/3。此时主持人将2号与3号门中的一个空门排除掉（我们将其记为3号），由于此操作不应影响之前选择1号门的获奖概率，那么2号3号门共同的2/3概率就只能落到2号门上了，看起来就像是2号门将3号门的概率抢来加在了自己身上。对于推论中的情形，由于最初奖金不在1号门后的概率为99%，因此当主持人从99扇门中排除掉98扇门后，这99%的概率也就落到了2号门上。
三扇门时的概率分析，注意只要主持人不动第一扇门，那他做任何事情都不应影响最初的1/3概率
为便于理解，这里用一个竞技类的体育比赛做类比[3]。一开始，我们对三人一无所知，因此押注任何一人获胜的概率均为1/3。随后2号与3号之间进行了比赛且2号击败了3号（对应主持人从二者中排除一个空门），那么对于我们来说，放弃并不了解的1号转而押注2号的胜率理应是要更高一些的。反之，如果我们只知道3号被淘汰了却不知被1号与2号中的谁淘汰了，那么我们在1号与2号之间便不再有倾向性，押中胜者的概率应为1/2。对于推论中的情况，则相当于2号击败了98个对手后再与1号比赛，那么对于了解这一信息的我们而言，显然转而选择2号是更好的选择。
随机选择的1号与击败了98个对手的2号
至此，相信大家已经察觉到是什么导致蒙提霍尔问题中1号门与2号门之间地位的不对等了。没错，是关于2号门的信息[4]，主持人从2号与3号中排除3号门这个操作实际上给了我们关于2号门的额外信息，3号门的获奖概率被加到了2号门上，而与此同时我们对于1号门却依旧一无所知。这种信息上的不对等在实质上导致了二者在获奖概率上的差异。
对我们的启发
蒙提霍尔问题之所以反直觉，其实就在于我们初看时很容易忽略掉主持人的操作带给我们的关于2号门的有效信息，而误以为1号与2号门地位相等。在注意到这一点之后，选择换门则可以使我们的获奖概率大幅提高。
类似的问题在生活中也很常见，一道英语选择题，对于没有学过英语的人来说似乎四个选项并无不同，也因此他答对的概率很可能是1/4；但是对于一个精通英语的人而言，同样四个选项在他眼中则分量各有轻重，而他做对的概率也会趋近于1。也正因此，我们在今后面对选择时才更应该多做调查分析，牢记信息是决策的基础，在掌握足够的信息之后再做决定。当然现实情况往往要比上面的概率问题要复杂得多，比如我们要考虑信息来源的全面与否，核查信息的可信度，解决信息的汇总提炼与分析等等，而那些就是另外的问题了。
参考资料
[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
[2]J. Rosenhouse. The Monty Hall Problem: The Remarkable Story of Math's Most Contentious Brain Teaser. Oxford University Press, USA, 2009.
[3]https://betterexplained.com/articles/understanding-the-monty-hall-problem/
[4]Stephen Lucas, Jason Rosenhouse, and Andrew Schepler. The monty hall problem, reconsidered. Mathematics Magazine, 82:332-342, 12 2009.
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