龐琛｜中國科學院大學
培養單位：中國科學院物理研究所
審核：周老師｜中國科學院物理研究所
各位朋友大家好，不知道你們有沒有想像過有一天參加電視節目，就像電影《貧民窟里的百萬富翁》里的賈巴爾·馬利克那樣，贏得百萬大獎，走向成功人生呢。假如現在就有這樣一個機會擺在面前，大家又能否做出正確選擇呢？下面就讓我們一起來看看吧。
遊戲開始
在我們面前有三扇門，其中某一扇後面是百萬獎金，而另外兩扇門後面則是謝謝惠顧。
就在我們選定一扇門後，主持人突然開口說，看你一路闖到這裡也不容易，不如我來幫幫你吧。隨後他打開了另外兩扇門中的一個空門（主持人是清楚所有門後的具體情況的）。
此時主持人向我們問到：現在再給你一次機會，你要變更自己的選擇嗎？
面對這個問題，大家會作何選擇呢，是保持原來的選擇不變，還是要換一個門呢？事實上，這個問題是歷史上著名的概率學悖論蒙提霍爾問題，其名字來自於美國電視節目《Let』s Make a Deal》的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall），此問題最初由史蒂夫·賽爾文（Steve Selvin）於1975年提出並解決，並在90年代引起過大量討論[1]。
初次遇到這個問題，我們或許會很自然地產生一個想法，由於主持人排除了一個空門，說明獎金只在剩下的兩個門後，也就是說選擇兩個門得到獎金的概率應該相等，均為50%，那麼在這種情況下選擇變更與否似乎就無關緊要了。但是，事情真的是這樣的嗎？
初步分析
下面我們不妨將所有可能性列表整理出來，來驗證一下更換選擇與否得到獎金的概率究竟是不是五五開。
為了簡單起見，我們將最開始選定的門標記為1號門，此時由於是完全隨機的，我們知道得到獎金的概率應該是1/3。
隨後主持人在剩下的兩個門中排除了一個空門，若我們一開始就選中了獎金，那麼變更選擇後顯然不會獲獎；而如果我們一開始選定的是空門，那麼變更選擇後則必然會獲獎。
分析到這裡，答案已經呼之欲出了，不換門的獲獎概率是1/3，而由於初始選中空門的概率為2/3,換門後獲獎的概率則是2/3。也就是說只要更換選擇，獲獎概率居然可以翻一番！
一個推論
事情進行到這裡，按照上面的分析方法，我們甚至可以得出一個更有趣的推論：假如最開始門的數量不是三扇而是一百扇[2]，同樣是我們隨機選擇一扇門，然後主持人幫我們排除掉剩餘99扇門中的98扇空門，此時如果換門的話，獲獎的概率居然會高達99%！簡直相當於是白送啊！這就有點超出我們的預期了，主持人只是幫忙排除了一系列空門，居然可以幫我們把獲獎概率從1%提升到99%。下面就讓我們一起看看在這個過程中到底發生了什麼吧。
到底發生了什麼
事實上，分歧產生的關鍵其實在於下面這個問題與蒙提霍爾問題是否等價：主持人首先隨機排除一個空門（標記為3號門），然後我們從剩下的兩個門（1號與2號門）中挑選一個。
這個問題與我們最初討論的問題等價嗎？
若二者等價，則換門獲獎的概率顯然是1/2，若不等價，則應是我們上面分析得到的2/3。那麼這兩個問題的區別到底在哪裡呢？可以看到，詢問這兩個問題是否等價實際上相當於詢問1號門與2號門的地位是否相等。在上面的問題中，二者地位並無不同，那麼在蒙提霍爾問題中，它們的地位又是否一樣呢？
為表述方便，這裡將蒙提霍爾問題中開始時選擇的門記為1號門，可以更換選擇的門記為2號門。在主持人排除掉一個空門之前，1號與2號門地位相同，因此關鍵在於主持人排除一個空門（也即3號門）的這個操作上。
首先我們知道，最初隨機選擇1號門，我們的獲獎概率為1/3，同時獎金在2號和3號門之後的概率為2/3。此時主持人將2號與3號門中的一個空門排除掉（我們將其記為3號），由於此操作不應影響之前選擇1號門的獲獎概率，那麼2號3號門共同的2/3概率就只能落到2號門上了，看起來就像是2號門將3號門的概率搶來加在了自己身上。對於推論中的情形，由於最初獎金不在1號門後的概率為99%，因此當主持人從99扇門中排除掉98扇門後，這99%的概率也就落到了2號門上。
三扇門時的概率分析，注意只要主持人不動第一扇門，那他做任何事情都不應影響最初的1/3概率
為便於理解，這裡用一個競技類的體育比賽做類比[3]。一開始，我們對三人一無所知，因此押注任何一人獲勝的概率均為1/3。隨後2號與3號之間進行了比賽且2號擊敗了3號（對應主持人從二者中排除一個空門），那麼對於我們來說，放棄並不了解的1號轉而押注2號的勝率理應是要更高一些的。反之，如果我們只知道3號被淘汰了卻不知被1號與2號中的誰淘汰了，那麼我們在1號與2號之間便不再有傾向性，押中勝者的概率應為1/2。對於推論中的情況，則相當於2號擊敗了98個對手後再與1號比賽，那麼對於了解這一信息的我們而言，顯然轉而選擇2號是更好的選擇。
隨機選擇的1號與擊敗了98個對手的2號
至此，相信大家已經察覺到是什麼導致蒙提霍爾問題中1號門與2號門之間地位的不對等了。沒錯，是關於2號門的信息[4]，主持人從2號與3號中排除3號門這個操作實際上給了我們關於2號門的額外信息，3號門的獲獎概率被加到了2號門上，而與此同時我們對於1號門卻依舊一無所知。這種信息上的不對等在實質上導致了二者在獲獎概率上的差異。
對我們的啟發
蒙提霍爾問題之所以反直覺，其實就在於我們初看時很容易忽略掉主持人的操作帶給我們的關於2號門的有效信息，而誤以為1號與2號門地位相等。在注意到這一點之後，選擇換門則可以使我們的獲獎概率大幅提高。
類似的問題在生活中也很常見，一道英語選擇題，對於沒有學過英語的人來說似乎四個選項並無不同，也因此他答對的概率很可能是1/4；但是對於一個精通英語的人而言，同樣四個選項在他眼中則分量各有輕重，而他做對的概率也會趨近於1。也正因此，我們在今後面對選擇時才更應該多做調查分析，牢記信息是決策的基礎，在掌握足夠的信息之後再做決定。當然現實情況往往要比上面的概率問題要複雜得多，比如我們要考慮信息來源的全面與否，核查信息的可信度，解決信息的匯總提煉與分析等等，而那些就是另外的問題了。
參考資料
[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem
[2]J. Rosenhouse. The Monty Hall Problem: The Remarkable Story of Math's Most Contentious Brain Teaser. Oxford University Press, USA, 2009.
[3]https://betterexplained.com/articles/understanding-the-monty-hall-problem/
[4]Stephen Lucas, Jason Rosenhouse, and Andrew Schepler. The monty hall problem, reconsidered. Mathematics Magazine, 82:332-342, 12 2009.
編輯：十一
