早在1900年代，人們就發現當他們學習數學時，他們不知道自己在學什麼。當我們學習生物學時，我們正在研究存在於現實世界中的生物。當我們學習物理時，我們正在研究現實世界中的現象，並且我們可以通過實驗來驗證它。但是數學呢？它是研究現實世界的對象還是抽象實體？它是只存在於我們的腦海中還是存在於其他一些領域？
古希臘哲學家柏拉圖認為，數學對象、形狀、數字以及它們之間的關係，都屬於他們自己的理想世界，與我們的世界不同，他稱其為形式世界。但希爾伯特是近現代的人，柏拉圖主義的觀點對它來說過於神秘。希爾伯特對實際的問題感興趣：什麼能證明，什麼不能證明？德國哲學家伊曼紐爾·康德提出另一個流行觀點，數學是一種基於我們直覺的心理結構。但希爾伯特認為這也有問題，畢竟直覺常常會讓我們誤入歧途。
在其他學科中擁有多種觀點並不少見。例如，文學因其能夠對同一事物有多種解釋而受到稱讚，甚至物理定律也會隨著時間的推移而被修改。但是對數學來說，這是行不通的，二加二等於四的事實永遠不會被修改和改變。
不同的數學家對數學有不同的解釋，除了讓數學的聲望受到質疑外，這些不同的觀點也導致了實際問題的存在。那些同意直覺主義的人不相信無窮大的概念適合數學。那些認為邏輯是數學基礎的人遇到了邏輯悖論和矛盾。我們不能讓不同的數學家按照不同的規則來研究，這對希爾伯特來說是不可接受的，他打算對此做點什麼。
他提出了一個雄心勃勃的計劃：將所有數學公理化。希爾伯特認為，如果我們把數學當作一個形式系統，那麼對於什麼是允許的和不允許的，就不會有更多的分歧。
那麼什麼是形式系統呢？它由一堆形式符號組成，然後可以根據一組固定的規則進行操作。象棋就是一個形式系統，其中棋子就是形式符號，根據遊戲規則進行移動。重要的是，棋子和規則在遊戲之外沒有任何意義。希爾伯特認為這就是我們看待數學的方式。
大約2000年前，歐幾里得就做過類似的事情。通過提出五個公理以及一些規則，歐幾里得幾何體系就誕生了。有了這些公理，我們不需要知道三角形是在形式世界還是在我們的腦海中，就知道它的角度之和總是180度。所以通過這種方式，歐幾里得幾何就可以被視為一個形式系統。
希爾伯特想要做一些類似的事情，來找到可以建立形式系統的基本公理，這將消除關於什麼是允許和不允許的任何分歧。首先，希爾伯特考慮了在數學基礎系統中三個主要內容，即一致性、完整性和可判定性。
一致性意味著在系統中無法證明任何矛盾。例如，不能證明2+2=4並且2+2≠4，不一致會導致整個系統毫無用處。完整性意味著系統中存在的所有真實數學陳述都可以在系統內得到證明。最後是可判定性，應該存在一個有效的程序來確定任何數學陳述的真假。
年僅22歲的艾倫·圖靈對最後一個內容——可判定性產生了濃厚的興趣：是否存在確定任何數學陳述的真假的有效程序？在這裡圖靈發現了一個小問題，究竟什麼是有效的程序？由於「有效程序」這個詞太模糊了而無法做任何嚴格的定義，他決定自己定義它。
他的定義基於一台「人類計算機」。他認為「人類計算機」可以通過無意識地遵循一系列指令來完成的任何事情都是一種有效的程序。他考慮了「人類計算機」在計算時所做的基本動作：首先他們閱讀指令 ，其次他們根據指令在一張紙上讀寫符號，然後他們偶爾會擦除符號並用新符號替換它們，最後當他們完成計算時就停止。
圖靈意識到，「人類計算機」所做的每一步都可以被一台非常簡單的理論機器複製。他構想出一種理論上的機器，可以執行與任何其他機器相同的任務。儘管這台理論機器非常簡單，但它在原則上可以做「人類計算機」可以做的所有事情。這個抽象機器現在被稱為圖靈機，是對有效程序的定義。一個有效的程序是任何可以由圖靈機在有限的時間內計算出來的東西。
這催生了整個計算機科學領域。圖靈機是是現代計算機的藍圖，從台式機、筆記本電腦到智能手機再到空間站上的計算機，都基於圖靈的模型。這些機器中的任何一個可以做的任何事情原則上都可以由圖靈機完成。
