新南威尔士大学悉尼分校的一位数学家发现了一种解决代数最古老的挑战的新方法——求解高等多项式方程。
多项式是涉及一个变量的幂方程，例如二次多项式：1+ 4x -- 3x2= 0 的
这些方程式是数学和科学的基础，它们在数学和科学中具有广泛的应用，例如帮助描述行星的运动或编写计算机程序。
然而，求解“高阶”多项式方程的通用方法，其中 x 被提高到 5 或更高的幂，在历史上被证明是难以捉摸的。
现在，新南威尔士大学名誉教授 Norman Wildberger 揭示了一种使用新型数字序列的新方法，该方法在最近与计算机科学家 Dean Rubine 博士的出版物中进行了概述。
“我们的解决方案重新打开了数学史上以前封闭的书，”Wildberger 教授说。
多项式问题
二次多项式的解自公元前 1800 年以来就已经存在，这要归功于巴比伦人的“完成平方的方法”，该方法演变成许多高中数学学生熟悉的二次方程。这种方法使用称为“根数”的数字根，后来在 16 世纪扩展到解决三次和四次多项式。
然后，在 1832 年，法国数学家 Évariste Galois 展示了用于解析低阶多项式的方法背后的数学对称性如何对于五次和高阶多项式变得不可能。因此，他认为，没有通用公式可以解决它们。
此后，高阶多项式的近似解被开发出来并广泛用于各种应用，但 Wildberger 教授说，这些不属于纯代数。
新方法背后的彻底拒绝
他说，问题在于经典公式使用第三或第四根，它们是根式。
根式通常表示无理数，这些数字是延伸到无穷大而不重复的小数，不能写成简单的分数。例如，7 的立方根的答案3√7 = 1.9129118...永远延伸。
Wildberger 教授说，这意味着真正的答案永远无法完全计算出来，因为“你需要无限的工作量和一个比宇宙还大的硬盘。
因此，当我们假设3√7 在公式中“存在”，我们假设这个无限的、永无止境的小数在某种程度上是一个完整的对象。
这就是为什么 Wildberger 教授说，他“不相信无理数”。
他说，无理数依赖于不精确的无穷大概念，并导致数学中的逻辑问题。
Wildberger 教授对根式的拒绝激发了他对数学、有理三角学和通用双曲几何最著名的贡献。这两种方法都依赖于平方、加法或乘法等数学函数，而不是无理数、根式或正弦和余弦等函数。
他求解多项式的新方法也避免了根式和无理数，而是依赖于称为“幂级数”的多项式的特殊扩展，它可以有无限数量的 x 次幂项。
Wildberger 教授说，通过截断幂级数，他们能够提取近似的数值答案来验证该方法是否有效。
“我们测试的方程之一是 Wallis 在 17 世纪用来演示牛顿方法的著名三次方程。我们的解决方案运行良好，”他说。
通用解决方案的新几何图形
然而，Wildberger 教授表示，该方法的证明最终是基于数理逻辑。
他的方法使用表示复杂几何关系的新型数字序列。这些序列属于组合学，这是数学的一个分支，处理元素集中的数字模式。
最著名的组合序列称为加泰罗尼亚数，描述了将多边形（具有三个或更多边的任何形状）分解为三角形的方法数种。
这些数字具有重要的实际应用，包括计算机算法、数据结构设计和博弈论。它们甚至出现在生物学中，用于帮助计算 RNA 分子可能的折叠模式。它们可以使用简单的 2 次多项式进行计算。
“加泰罗尼亚数字被理解为与二次方程密切相关。我们的创新在于，如果我们想求解更高的方程，我们应该寻找加泰罗尼亚数的高等类似物。
Wildberger 教授的工作将这些加泰罗尼亚数字从一维数组扩展到多维数组，该数组基于使用非相交线划分多边形的方式数量。
“我们已经找到了这些扩展，并展示了它们如何在逻辑上导致多项式方程的一般解。
“这是对代数基本章节的戏剧性修订。”
他说，即使是五次方程（五次多项式）现在也有解。
他说，除了理论兴趣之外，该方法还为创建可以使用代数级数而不是根式求解方程的计算机程序带来了实际前景。
“这是大部分应用数学的核心计算，因此这是在广泛领域改进算法的机会。”
Geode 未开发的方面
Wildberger 教授说，他和 Rubine 博士称之为“晶洞”的新型数字数组也具有进一步研究的巨大潜力。
“我们引入了这个全新的数字数组，即 Geode，它扩展了经典的加泰罗尼亚数字，似乎是它们的基础。
“我们预计对这种新 Geode 阵列的研究将引发许多新问题，并使组合论者忙碌数年。
“真的，还有很多其他的可能性。这只是一个开始。
