性的邊界：人類語言、邏輯與科學的局限性 | 一部硬核、燒腦且顛覆的思想巨著

2025年05月05日05:52:07 科學 1406

作者｜諾桑·S.亞諾夫斯基 (Noson S. Yanofsky)

數學家，物理學家，計算機科學家，紐約城市大學布魯克林學院計算機和信息科學教授。他師承數學大師塞繆爾·艾倫伯格，在量子力學、哲學和語言學方面發表了大量研究論文。著有《元範疇》和《計算機科學中的量子計算》等作品。

· 跨學科巨獻：量子力學、計算機科學、語言學、數學、哲學、人類學、天文學、認知科學……

· 前沿新知：相對論、弦理論、人工智慧、混沌理論、不確定性原理、時空旅行、蝴蝶效應……

· 思想高峰：愛因斯坦、亞里士多德、哥白尼、開普勒、牛頓、伽利略、達爾文、普朗克……

【內容簡介】

人類的理性是有局限的，如果我們執意相信理性是無所不能的，就會被理性的局限所限制，從而導致缺乏足夠的想像力和探索精神。

因此，人類如果想更大程度上認識自身、認知世界，就必須突破理性的束縛，擺脫語言、思維、邏輯、科學等層面的思維慣性，在心智之外尋找答案。

《理性的邊界：人類語言、邏輯與科學的局限性》告訴我們，在沒有矛盾的物理世界與充滿矛盾的人類思維之間，存在大量無法用理性解決的問題，我們只有理解理性的邊界，才能探索更廣闊的思維空間。

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理性不是萬能的

科學和技術的發達程度可以作為衡量文明的標準。科學和技術越發達，相應的文明就越先進。我們的文明被認為比原始社會更先進，這要歸功於我們取得的所有科技成果。相比之下，如果某個外星文明造訪地球，我們的文明就會被認為是原始的，這幾乎是不言而喻的，因為它們掌握了星際空間的旅行技術，而我們沒有。使用科學和技術作為衡量標準的原因在於：這些活動是人類文化的各個方面中唯一以自身為基礎進行構建的。後人蒙前人福蔭，繼往開來。迄今最偉大的科學家之一艾薩克·牛頓（Isaac Newton，1643—1727）對此做了十分精妙的表述：「如果我（比別人）看得更遠，那只是因為我站在巨人的肩膀上。」科學的發展是這樣一種持續不斷的積累，因此它很適合作為比較不同文明的標尺。與科學和技術形成對比的是，人類文化的其他方面如藝術、人際關係、文學、政治、道德等，都不能說是以自身為基礎進行構建的。

衡量文明的另一種方式是看它在多大程度上摒棄了不科學和非理性的觀念。現今社會更加先進，因為我們已經將鍊金術當作傻乎乎的夢想丟進了垃圾桶，轉而潛心研究化學。幾個世紀以來的占星學論著都被視為胡言亂語，但我們保留了對天文學的研究。隨著文明的進步，它會將自身的觀念和神話置於邏輯分析的框架中，拋棄超出理性範圍之外的內容。

在進步的過程中，文明使用的工具是理性。理性和推理是社會進步使用的方法論。某種文化若合乎理性，它就會進步。當它偏離理性，或者超出理性的邊界，它就會停滯不前甚至倒退。

理性有很多種形式。按照廣義的（或許也是不甚精確的）概念，科學是我們用來描述和預測可度量的實體世界的語言。數學更為抽象，可以分成兩個領域：應用數學是科學的語言，而純數學是理性的語言。邏輯學也是一種理性的語言。因為科學、技術、理性、邏輯和數學全都是彼此相互聯繫的，所以我對其中任何一種事物的描述通常也適用於其他事物。有時候我會只用理性（reason）一詞來指代它們所有。

千百年來，哲學家一直在反思和爭論哪些東西是人類有可能知道的，又有哪些東西是人類不可能知道的。這個探討人類知識及其邊界的哲學門類稱為認識論（epistemology）。雖然這些哲學家提出的觀念十分引人入勝，但他們的作品並不是我們在這本書里關注的焦點。相反，我們感興趣的是，科學家、數學家和當下的研究者對於人類的知識與理性的邊界的闡述。

現代科學、數學和理性最了不起的一點在於它們已經發展得非常成熟，到了能夠看見自身局限性的水平。最近，科學家和數學家已經加入哲學家的行列，共同討論人類認識世界之能力的局限。而理性在科學上的局限性正是本書的主題。

下面這個可愛的小遊戲能讓我們初步了解理性的局限是什麼意思。這個遊戲非常有趣，很值得思考，而且強烈推薦作為任何雞尾酒派對上的益智挑戰。找一張普通的 8×8 國際象棋棋盤和一些尺寸為 2×1 的多米諾骨牌，嘗試用多米諾骨牌蓋住整張棋盤。

棋盤上有 64 個方格，每張多米諾骨牌覆蓋兩個方格，所以一共需要 32 張多米諾骨牌。完成這項任務的方式有數百萬種之多。圖 1-1 展示了我們開始進行這個過程的一種可能性。

這的確很簡單。現在讓我們嘗試一項更有挑戰性的任務。在棋盤對角的兩個方格上各放置一枚代表王后的棋子。現在再來試試蓋住除了這兩個方格之外的所有方格，如圖 1-2 所示。需要覆蓋的方格是 62 個，意味著一共需要 31 張多米諾骨牌。試試看！

嘗試了一會兒並發現自己無法蓋住每個方格之後，你可能會考慮將這個小遊戲展示給別人，尤其是那些遊戲迷。他們也會有相似的體驗。你或許想找一台計算機來解決這個問題，因為機器可以迅速嘗試多種可能性。開始在棋盤上放置多米諾骨牌的方式即使沒有幾十億種，也有數百萬種之多。然而，沒有任何人或任何計算機能夠完成這項任務。

將 31 張多米諾骨牌放置在一張國際象棋棋盤上，這個簡單的問題之所以看上去那麼困難，是因為它是無法做到的。它不是一個困難的問題，它是一個不可能解決的問題。實際上要解釋這一點倒是很容易。每張多米諾骨牌都是2×1 的尺寸，所以必須在棋盤上佔據 1 個黑方格和 1 個白方格。圖 1-1 中的棋盤有 32 個黑方格和 32 個白方格需要覆蓋。棋盤上的黑白方格是完全對稱的。

相比之下，圖 1-2 中的棋盤只有 30 個黑方格和 32 個白方格需要覆蓋。然而因為每張多米諾骨牌必須覆蓋 1 個黑方格和 1 個白方格，所以這 62 個方格無法用多米諾骨牌全部覆蓋。移動棋子的位置，讓一個王后位於黑方格上，另一個王后位於白方格上。現在再來試試看。

這個小遊戲有很多美妙的特點。它容易解釋，易於玩家嘗試尋找解決方案，而且還可以嘗試使用計算機解決問題。然而它無法解決。不是因為我們不夠聰明，不能解決這個問題，也不是因為這個問題超出了當下技術水平的能力，它根本就是無法被解決的。這個問題無法被解決，這不是某位人士的意見，而是放之四海而皆準的事實。理智告訴我們，我們解決這一問題的能力存在局限。

這個問題最棒的部分在於，它為什麼無法被解決的理由是很容易解釋的。一旦陳述出這個理由，你就會被徹底說服，不再為之煩心。

本書將展示許多諸如此類無法解決的問題和局限。

接下來，我將對本書涵蓋的局限類型進行分類介紹，而不是按照順序給出每一章的概要。對於每一類局限，我將列出來自不同章節的例子。這將讓本書呈現出更富於整體性的結構。

關於局限的例子十分豐富。計算機科學家已經向我們展示過，有很多任務是計算機無法在一段合理的時間之內完成的（第 5 章）。他們還發現，有些任務是計算機無論花多長時間也完成不了的（第 6 章）。物理學家討論了這個世界的複雜程度，而有些現象複雜到連科學和數學都無法對其進行預測（7.1 節）。

數學家發現某些類型的方程無法用正常方法求解（9.2 節）。邏輯學家已經證明，論證的力量是有局限的。他們描述了一些為真但無法被證明的邏輯語句（9.4節）。語言哲學家指出，對於這個我們自身生活在其中的世界，我們的描述能力是受到局限的（第 2 章）。

還存在其他一些類型的局限，而且從某種意義上說，這些局限擁有更深的層次。這些局限表明，我們對自身生活的世界以及我們與這個世界的關係的樸素直覺是錯誤的。我們對宇宙及其性質的思考方式必須升級。每個物體都有一個客觀定義，這是我們的一條基本假設，但它需要重新評估（3.1 節）。古典哲學家芝諾（Zeno）表示，我們對空間、時間和運動的常規認識需要做更深入的分析（3.2 節）。量子力學已經教會我們，知道者和被知道的事物之間的關係並不簡單。物理學的這一分支向我們展示，世界比此前設想的關聯更緊密（7.2節）。研究者發現，我們對於無限的簡單直覺是錯誤的，需要修正（第 4 章）。相對論表明，我們對空間、時間和因果關係的認知是錯誤的，需要更正。物理學家指出，不存在對長度或持續時間的客觀測量（7.3 節）。我們、我們的世界，以及我們用來描述世界的科學和數學，這些事物之間的關係並不簡單（第8章）。本書後面的內容將深入探討所有這些以及其他更多主題。

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上述局限的展現方式有許多種。比較有趣的方式之一是悖論（paradox）。這個詞來自希臘語前綴 para-（「與之相反的」）和 doxa（「意見」）。《牛津英文詞典》給出了許多互相重疊的定義，列舉如下。

• 與被人們廣為接受的觀點或信仰相反的陳述或理念。（例如：「二手煙對你來說沒有那麼糟糕。」）
• 一種聽上去十分荒謬或自相矛盾的陳述或命題，或者讓人感到強烈地違反直覺，然而對其進行調查、分析和解釋，卻發現它是根據充分的或真實的。（例如：「長期來看，股票市場不是個投資的好地方。」「站立比步行更費力。」）

對我們而言，最重要的定義是：

• 一種論證過程，它基於（表面上）合理的前提並使用（表面上）有效的推理，得出的結論違反常識，在邏輯上不合理或者自相矛盾。

這些悖論將是我們關注的重點。悖論先得有一個前提或假設，然後用有效的邏輯推理推導出謬誤。我們可以將悖論的推導過程表示如下：

假設→謬誤。

由於謬誤是不應該發生的，而我們的推導過程使用的是有效的邏輯推理，那麼唯一的結論就是我們的假設是不正確的。在某種程度上，悖論是一種測試，可以看出某個假設是否能合理地通過理性的檢驗。如果使用有效的推理從假設推導出謬誤的話，那麼假設就是錯誤的。出現悖論表明我們已經跨過了理性的邊界。從這個意義上說，悖論是不正確觀點的指針。它指出這樣一個事實，即假設是錯誤的。既然假設是錯誤的，它就不能通過理性的檢驗。這是理性的一種局限。

在大多數情況下，我們遇到的謬誤類型是矛盾。我所說的矛盾，是指一件事看上去既是真的，同時又是假的。可表示如下：

假設→矛盾。

由於世界上不會存在這樣的矛盾，所以假設一定有問題。例如，在第 6 章中，如果我們假設一台計算機能夠執行某項特殊的任務，那麼我們就會在其他特定的計算機上推導出矛盾。既然計算機這樣的物體不會存在矛盾，那麼我們的假設一定有問題。

悖論的論證方式與一種常見的數學論證方法是相同的。下面要介紹的就是「矛盾證明法」（proof by contradiction），即「反證法」，拉丁語表示為 reductio ad absurdum（「歸謬法」）。如果你想證明某個命題是正確的，只要假設這個命題是假的，並推導出矛盾即可：

命題為假→矛盾。

由於矛盾在數學推理的世界中是不允許出現的，那麼假設一定是不正確的，也就是說原命題為真。我們來看一個簡單的例子，對數字 2 的平方根不是有理數這一命題的數學證明（9.1 節）。如果假設數字 2 的平方根是有理數，就會推導出矛盾。我們由此得出結論，數字 2 的平方根不是有理數。在 4.3 節中，如果假設某兩個特定的集合大小相等，就會推導出矛盾。我們由此得出結論，其中一個集合必然大於另一個集合。利用矛盾進行證明的例子無所不在。

悖論的推導並不需要一個十分成熟的矛盾。只要推導出一個與觀察結果不符或者虛假的事件即可：

假設→虛假的事件。

再一次地，因為我們推導出了謬誤，所以我們的假設一定是錯誤的。芝諾悖論就屬於這個類型（3.2 節）。芝諾先做出某種假設，然後推導得出結論，即運動是不可能的。任何曾在街道上行走的人都知道，運動無時無刻不在發生，所以芝諾的假設是錯誤的。芝諾悖論的難點在於找到假設的荒謬之處。

在很多情況下，悖論出現的時候將此前隱藏的假設暴露得無所遁形。這些假設可能深植於我們的意識之中，以至於我們壓根不會認真思考它們（例如，空間是連續的而非離散的，或者物體有確切的定義）。這些悖論將挑戰我們對自身生活在其中的世界的直覺。在發現我們的直覺是虛假的之後，我們就可以拋棄它們，繼續向前探索。美國哲學家威拉德·馮·奧曼·奎因（Willard Van Orman Quine，1908—2000）雄辯地寫道：

形成悖論的論證會暴露出某種隱藏前提或預設觀念的荒謬之處，而這些前提或預設觀念此前被認為是物理理論、數學或思維過程的重要基石。因此，在看起來最無關緊要的悖論中可能隱藏著災難。悖論的發現導致人類思維的基礎發生重要的重構，這樣的情況在歷史上發生過不止一次。

探索悖論並尋找其假設，這種方法將是貫穿本書的一大重點。

某些特定類型的悖論在我們講述的故事中扮演著重要的角色。自指悖論是這樣一套悖論系統，系統中的對象可以處理 / 操縱自身。自指悖論的經典案例是所謂的說謊者悖論。思考下面這句話：

「這個句子是假的。」

如果這個句子是真的，那麼根據它對自身的描述，這個句子實際上是假的。如果這個句子是假的，那麼既然這個句子已經表達了自己的謬誤，那麼這個句子就是真的。這便是貨真價實的矛盾。這個問題之所以會出現，是因為語句能夠描述自身的真實和虛假。例如，「此句有五字」是個合理的句子，因為它表達了自身的某種正確屬性。相比之下，「此句有六字」就是關於自身的虛假陳述。我們將看到，只要某個體系能夠討論關於自身的性質，就會出現導致悖論的情形。我們會發現，語言、思維、集合、邏輯、數學和計算機全都是能夠處理自身的體系。在上述每個領域內，自我指涉的潛力都將導致悖論，從而產生某種類型的局限性。令人驚訝的是，雖然這些領域彼此之間極為不同，但悖論的形式都是相同的。

描述局限的另一種方法是將其附屬在已經確定的局限上。在我詳細解釋之前，讓我們先談一談登山。珠穆朗瑪峰海拔 8848.86 米（數據截至 2021 年 12月 8 日），而德納里山的海拔「只有」大約 6193 米。下列事實似乎是顯而易見的：如果你能攀登珠穆朗瑪峰，那麼德納里山就更不在話下了，你肯定也能登上它。我們將這個推導過程表示如下：

攀登珠穆朗瑪峰→攀登德納里山。

如果你能攀登德納里山，你會感到很自豪。我們將其表示為：

攀登德納里山→自豪。

將這兩個式子結合在一起，我們得到：

攀登珠穆朗瑪峰→攀登德納里山→自豪。

結論顯而易見，如果你能攀登珠穆朗瑪峰，你會感到很自豪。現在讓我們來看看登山的黑暗面。假設你的醫生告訴你，如果你嘗試攀登德納里山，會有糟糕的事情發生在你身上。我們將其表示如下：

攀登德納里山→糟糕。

這是在描述你的運動能力的局限：你不應該攀登德納里山。將它與第一個式子結合，我們就得到：

攀登珠穆朗瑪峰→攀登德納里山→糟糕。

它陳述了一個顯而易見的事實，如果你應該避免攀登德納里山，那麼你肯定也應該避免攀登珠穆朗瑪峰。換句話說：

攀登珠穆朗瑪峰→攀登德納里山。

這個顯而易見的含義可以用來將與攀登德納里山有關的某種已知局限轉移到或附屬到與攀登珠穆朗瑪峰有關的局限上。我將在接下來的內容中使用這些簡單的概念。

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現在讓我們使用這種關於登山的直覺，去理解一種局限附屬到另一種局限上的廣義概念。設想某種局限通過矛盾建立，如下：

假設A→矛盾。

即，假設 A 不可能是正確的，因為我們可以從它推導出矛盾。現在再加入一個假設 B。如果從假設 B 能推導出假設 A，即：

假設B→假設A，

那麼我們就會得到：

假設B→假設A→矛盾。

如果假設 B 是正確的，那麼假設 A 也是正確的，既然我們已經確定假設A是不正確的，那麼我們可以斷定，假設 B 也不可能是正確的。這種論證方式稱為歸約（reduction），一種假設被歸約為另一種假設。在歸約的過程中，已知的局限會被轉移到其他領域。

歸約的例子貫穿全書：

• 我指出，如果計算機解決某一特定問題需要花很長時間，那麼計算機解決其他更難的問題將要花費更長的時間（5.3 節）；

• 我指出，如果計算機不能解決某一特定問題，那麼計算機也不可能解決更難的問題（6.3 節）；

• 我用類似的方法指出，某些陳述方式十分簡單的數學問題是無法解決的（9.3 節）；

• 其他相似的歸約例子出現在我們對邏輯學的討論中（9.5 節）。

我要在這裡陳述關於矛盾的一些事實。物質世界不允許出現任何矛盾：

• 某種特定的分子不可能既是鹽酸，又不是鹽酸；
• 同一個地方不可能既是周一，又不是周一；
• 正方形的對角線不可能等於它的邊長。

類似地，作為對物質世界的一種描述，科學也不能表達矛盾：

• 方程式 E = Mc2 和 E ≠ Mc2 不可能都是正確的；
• 關於化學過程的計算不可能既是真的，又是假的；
• 一項預測不可能預測出兩個不相容的事件。

如果科學中存在矛盾，那它就不可能是對沒有矛盾的物質世界的準確描述。類似地，數學和邏輯學也是如此：由於它們是用來描述真實世界和科學的，它們不能含有任何矛盾。

然而，有一個地方的確會發生矛盾：人類思維的內部。我們所有人都充滿矛盾；我們渴望矛盾的事物；我們相信矛盾的觀念；我們還預測自相矛盾的事件。任何曾經談過戀愛的人都知道對一個人又愛又恨是什麼感覺。我們想吃蛋糕，又想要苗條的身材。正如《愛麗絲鏡中奇遇記》（Through the Looking Glass）中皇后對愛麗絲所說的那樣：「哎呀，有時候還沒吃早飯，我就已經相信多達六件不可能的事情了。」人類的思維不是完美的機器。我們總是矛盾重重，充滿困惑。類似地，表達人類思維狀態的人類語言一定也有矛盾。當我們說「我愛她也恨她」的時候，並沒有什麼奇怪的。有人在享用第二塊蛋糕的時候表達自己想要苗條身材的願望，這也不是什麼稀奇的事情。

當我們在物質世界中遇到悖論並推導出矛盾的時候，我們知道這個悖論的假設一定存在什麼問題。然而，當我們在人類思維或人類語言的領域遇到矛盾時，我們並不需要拋棄假設。更加微妙的狀態是可能的。為什麼不允許矛盾存在呢？思考一下我們之前討論過的說謊者悖論。為什麼不簡單地說：

這句話是假的。

這句話既是真的也是假的呢？或許它只是毫無意義呢？這只是一個句子，而很多句子都會表達矛盾。類似地：

這個觀點是錯誤的。

這個觀點既是真的也是假的。為什麼不允許這樣矛盾的觀念出現在我們本就混亂的思維里呢？

不存在矛盾的物質世界與我們虛弱無力的人類思維和語言之間的關係導致了許多更有趣的問題。人類思維如何能夠理解世界的任何一部分呢？人類組織出來的語言如何能描述世界呢？科學為什麼經得起檢驗？數學為什麼如此善於描述科學和世界？科學法則是不是客觀存在，又或者它們只存在於我們的思維之中？對世界的終極描述有可能存在嗎，也就是說，科學會完成它的任務，走向盡頭嗎？科學和數學的真相與時間有關還是與文化有關？人類如何辨別科學理論正確與否？就像阿爾伯特·愛因斯坦筆下所寫的那樣，「世界的永恆謎團是它可以被理解」。這些問題以及其他許多關於科學和數學的哲學問題會在第8章得到論述。在沒有矛盾的物質世界和充滿矛盾的人類思維之間，存在著一片充滿模糊的地帶。

• 站在門口的人既在房間里又不在房間里。
• 一個人要掉多少頭髮才會被認為是光頭？取決於風的方向，他有時會被認為是光頭，有時會被認為不是光頭。
• 42 是個小數還是個大數？

人們總是在使用模糊的概念。我們的思維模式和與之相伴的人類語言充滿了模糊的陳述。

• 有時候我們說站在門口的人在房間里，有時候我們說他們不在房間里。
• 有些頭髮很少的人被我們叫作光頭，而另外一些頭髮同樣很少的人，我們說他們不是光頭。
• 如果銀行賬戶里只有 42 美元，我們會說 42 是個小數，但是如果我們說的是一個人身上疾病的數量，那麼 42 是個大數。

因為模糊概念不存在於科學和數學的純粹世界，所以我們在面對這些概念時不能依賴某些通常的思維工具。模糊性在第 3 章的討論中發揮著重要作用。

說幾句離題的話，某些類型的笑話也是我們的討論感興趣的內容。我們已經見到，悖論這種方法能夠揭露人在理性的道路上走得太遠是什麼樣子。出現悖論，意味著你已經超出了理性的邊界，進入了荒謬的領地。有些笑話的可笑之處也在於我們在理性的道路上走得太遠。這些笑話將邏輯和理性運用到它們本來不應出現的地方，開頭是很容易理解的概念，然後借題發揮，超出其通常情況下的意義。思考下列笑話。

• 伍迪·艾倫（Woody Allen）在玄學考試中作弊了，他偷看了坐在他身邊男生的靈魂。
• 格勞喬·馬克斯（Groucho Marx）不想屬於任何一個願意接收他這種人當會員的俱樂部。

在所有這些笑話中，正常的概念被發揮得太過分了。在考試中作弊，或者放棄俱樂部會員資格，這些都是很常見的概念。然而，這些偉大的思想家將這些常見概念發揮到了它們本身沒有容身之處的地方：那是愚蠢可笑的境地。

就連雙關語也屬於這一類型。在使用雙關語的笑話中，某個詞或短語的意思被運用到它們本來不應該出現的領域。

• 「你聽說那個左半身被切掉的人了嗎？他現在全好啦。」
• 「我正在讀一本關於反重力的書。根本沒辦法把它放下來。」
• 「你聽說過悖—論（par-a-dox）嗎？夏皮羅醫生和米勒醫生。」

哎呀！（抱歉。唯一比雙關語更糟的就是對雙關語的分析了。讓我們繼續吧。）

我想用若干關於理性本質及其局限的問題作為本章的結尾。讀者應該帶著這些問題閱讀這本書。我會在最後一章回到這些問題上來，並使用書中表達的某些理念進行分析，或許這樣能夠更接近這些問題的答案。

如果我寫了一本名為《理性的邊界》的書卻沒有給出理性的定義，那就太大意了。畢竟，如果不對理性進行定義的話，怎麼能說某件事物超出了理性的邊界呢？什麼是確認事實的理性過程？理性有不同層次的分別嗎？我們如何認定鍊金術和化學之間的分界線呢？占星術和天文學之間呢？為什麼有些行為被認為是理性的，而另外一些行為被認為是非理性的？為什麼檢查自己的血壓是明智的，而確認自己的星座就是荒謬可笑的呢？什麼樣的思維過程是明智的，並且能夠避免矛盾呢？

《牛津英文詞典》對「理性」這個詞給出了 16 種定義。最符合我們需要的定義是，「通過合乎邏輯的思考過程並形成有效判斷的思維能力；用來將思想或行動改造至一定水平的精神智力；人類思維在思考過程中的指導原則；常與意志、想像力、熱情等對比使用；常被擬人化」。但是這個定義又引出了更多問題。什麼是「有效判斷」？合乎邏輯的過程與不合邏輯的過程之間的區別是什麼？思維什麼時候屬於意志，什麼時候屬於理性？這個定義無法令人滿意。其他所謂的定義也沒有好到哪裡去。

在我們的整體討論中，一直存在著某種程度的自我指涉。我們是在用理性尋找理性的局限。如果理性是有局限的，我們要如何用理性來發現這些局限呢？我們發現局限的能力又存在著什麼樣的局限呢？

讓我們先暫時擱置這些問題，到第 10 章再重新回顧它們，屆時我們會對這場針對理性局限的探索做出總結。

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【目錄】

前言

第 1 章理性不是萬能的

第 2 章語言悖論

2.1 騙子！騙子！

2.2 自指悖論

2.3 描述數的性質

第 3 章哲學難題

3.1 從忒修斯之船說起