今天我們將談論的是物理學中影響最深遠的思想之一，它被稱為最小作用原理，它是從牛頓力學到相對論再到量子力學和量子場論的大量知識的基本思想。
假設我們有一個粒子，從A點運動到B點，到達那裡的路徑是什麼？牛頓力學給了我們一種回答這個問題的方法，但是牛頓方法應用到向量，如果在多粒子情況下，計算將變得非常複雜。在18世紀拉格朗日和其他人提出了一個不同的建議，他們為每條可能的路徑分配了一個稱為作用量的數字，然後證明了粒子所遵循的軌跡實際上是作用量最小化的軌跡。
牛頓力學
我們要回答的問題是，一個質量為m的粒子，在時刻t1處於位置X1，在時刻t2時位置為X2，這個粒子會遵循怎樣的軌跡？在這裡，我們只使用一個維度X來減小複雜性，但得出的結果可以推廣到三個維度中去。
牛頓告訴我們，要回答這個問題，我們應該寫下粒子上的所有力，然後讓它等於質量乘以加速度。此外，我們也知道了力是勢能U的導數關係，結合這兩個式子，可以得到一個全新的公式，寫下來就是：
事實上，我們將用最小作用原理得到這個新的公式。也就是說，從新方法中也能得出牛頓力學。
最小最用原理
在拉格朗日的方法中，我們將定義一個拉格朗日量L，其值為動能減去勢能，如下說所示：
我們可以通過沿粒子軌跡積分拉格朗日量來定義S，這個量被稱為作用量：
粒子有非常多條可能的軌跡，但我們要尋找的是使作用量S最小化的軌跡（實際上最大化也可以），它才是粒子的真實軌跡。
如果我們成功找到了最小化作用量的軌跡，那麼對於任意時間t，我們都加上一個微小變化ε(t)，那麼我們只是在軌跡上加上一些小擺動x(t)+ε(t)，極限情況下作用量S應該是不會變的。因此我們重寫拉格朗日量：
擴展第一項，並略去高階小量：
同樣我們也要擴展第二項，使用泰勒級數展開並略去高階小量：
於是，我們重寫擴展後的拉格朗日量：
那麼，拉格朗日量之差ΔL就有如下公式：
那麼，在極限的情況下，我們就希望作用量ΔS=0：
先看前一項：
雖然它的軌跡添加了一些微小的擺動ε，但是起點和終點的是固定的，也就是說ε=0，所以這一項就等於零了。因此，我們就剩下後一項為零：
所以，被積函數就得等於0：
這正是之前從牛頓力學推導出的方程。此外，由於有以下關係：
我們可以得到：
這就是我們所熟悉的歐拉-拉格朗日方程，在求解多粒子系統的某些情況下，比直接使用牛頓力學更好用。
