大費馬 業餘數學家之王

皮耶·德·費馬（Pierre de Fermat，1601年8月17日-1665年1月12日）是一個17世紀的法國律師，也是一位業餘數學家。之所以稱業餘，是由於皮耶·德·費馬具有律師的全職工作。根據法文實際發音並參考英文發音，他的姓氏也常譯為「費爾瑪」。費馬最後定理在中國習慣稱為費馬大定理，西方數學界原名「最後」，意思是：其它猜想都證實了，這是最後一個。著名的數學史學家貝爾（E.T.Bell）在20世紀初所撰寫的著作中，稱皮耶·德·費馬為」業餘數學家之王「。貝爾深信，費馬比皮耶·德·費馬同時代的大多數專業數學家更有成就。17世紀是傑出數學家活躍的世紀，而貝爾認為費馬是17世紀數學家中最多產的明星。

費馬一生從未受過專門的數學教育，數學研究也不過是業餘之愛好。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵：他是解析幾何的發明者之一；對於微積分誕生的貢獻僅次於艾薩克·牛頓、戈特弗里德·威廉·凡·萊布尼茨，他還是概率論的主要創始人，以及獨撐17世紀數論天地的人。此外，費馬對物理學也有重要貢獻。一代數學天才費馬堪稱是17世紀法國最偉大的數學家。

皮耶·德·費馬（1601-1665）

幼年生活

1601年8月17日，費馬出生在法國南部圖盧茲附近的博蒙·德·洛馬涅。他的父親多米尼克·費馬在當地開了一家大皮革商店，擁有相當豐厚的產業。母親克萊兒·德·隆格則出身於法官世家。費馬的父親由於富有和經營有道，頗受人們尊敬，並因此獲得了波蒙特－洛門地區的第二執政官的頭銜。多米尼克的大富與羅格的大貴族構築了費馬極富貴的身價，但費馬小的時候並沒有因為家境的富裕而產生多少優越感。

由於家境富裕，父親特意給皮埃爾·德·費馬請了兩個家庭教師，不入學校而在家裡接受系統教育，其中一位他的叔叔皮埃爾。費馬受到了良好的啟蒙教育，培養了他廣泛的興趣和愛好，對他的性格也產生了重要的影響。小時候的費馬雖稱不上是神童，卻也相當聰明。費馬父親比較開明，並不寵愛孩子，因此費爾瑪學習十分努力，文科、理科都學得不差，不過，皮耶·德·費馬最喜歡的功課，還是數學。14歲時，費馬才進入博蒙·德·洛馬涅公學

1617年，費馬準備考大學，父親希望他讀法律，費馬也很喜歡這門學科，所以沒有多大的爭議，就接受了父親的安排。後先後在奧爾良大學和圖盧茲大學學習法律。

官場生涯

17世紀的法國，男子最講究的職業是當律師，學習法律成為時髦，也使人敬羨。有趣的是，法國為那些有產的而缺少資歷的「准律師」儘快成為律師創造了很好的條件。1523年，佛朗期瓦一世組織成立了一個專門鬻賣官爵的機關，公開出售官職。這種官職鬻賣的社會現象一經產生，便應時代的需要而一發不可收拾。

鬻賣官職，一方面迎合了那些富有者，使其獲得官位從而提高社會地位，另一方面也使政府的財政狀況得以好轉。因此到了17世紀，除宮廷官員和軍官以外的任何官職都可以買賣了。直到今日，法院的書記官、公證人、傳達人等職務，仍沒有完全擺脫買賣性質。法國的買官特產，使許多中產階級從中受惠，費馬也不例外。費馬尚沒有大學畢業，便在博蒙·德·洛馬涅買好了「律師」和「參議員」的職位。1631年，費馬畢業返回家鄉以後，他便很容易地當上了圖盧茲議會的議員。

儘管費馬從步入社會直到去世都沒有失去官職，而且逐年得到提升，但是據記載，費馬並沒有什麼政績，應付官場的能力也極普通，更談不上什麼領導才能。不過，費馬並未因此而中斷升遷。在費馬任了七年地方議會議員之後，升任了調查參議員，這個官職有權對行政當局進行調查和提出質疑。

1642年，有一位權威人士叫勃里斯亞斯，他是最高法院顧問。勃里斯亞斯推薦費馬進入了最高刑事法庭和法國大理院主要法庭，這使得費馬以後得到了更好的升遷機會。1646年，費馬升任議會首席發言人，以後還當過天主教聯盟的主席等職。費馬的官場生涯沒有什麼突出政績值得稱道，不過費馬從不利用職權向人們勒索、從不受賄、為人敦厚、公開廉明，贏得了人們的信任和稱讚。

家庭生活

皮埃爾·德·費馬30歲時就任同一地的請願委員，同年與露薏絲·隆格（Louise Long）結婚，育有三子二女，其中一個兒子克雷門·山繆·費馬（Clement Samuel Fermat）（小費馬）成了皮埃爾·德·費馬科研上的主要助手，並在費馬逝世後，整理出版了皮埃爾·德·費馬的工作成果。事實上，這份出版品也就是今日聞名已久的費馬最後定理（Fermat 's.Last.Theorem）之出處。

費馬獨立於勒奈·笛卡兒發現了解析幾何的基本原理

1629年以前，費馬便著手重寫公元前三世紀古希臘幾何學家阿波羅尼奧斯失傳的《平面軌跡》一書。他用代數方法對阿波羅尼奧斯關於軌跡的一些失傳的證明作了補充，對古希臘幾何學，尤其是阿波羅尼奧斯圓錐曲線論進行了總結和整理，對曲線作了一般研究。並於1630年用拉丁文撰寫了僅有八頁的論文《平面與立體軌跡引論》。

費馬於1636年與當時的大數學家馬林·梅森、羅貝瓦爾開始通信，對自己的數學工作略有言及。但是《平面與立體軌跡引論》的出版是在費馬去世14年以後的事，因而1679年以前，很少有人了解到費馬的工作，而現在看來，費馬的工作卻是開創性的。

《平面與立體軌跡引論》中道出了費馬的發現。他指出：「兩個未知量決定的—個方程式，對應著一條軌跡，可以描繪出一條直線或曲線。」費馬的發現比勒奈·笛卡兒發現解析幾何的基本原理還早七年。費馬在書中還對一般直線和圓的方程、以及關於雙曲線、橢圓、拋物線進行了討論。

笛卡兒是從一個軌跡來尋找它的方程的，而費馬則是從方程出發來研究軌跡的，這正是解析幾何基本原則的兩個相對的方面。

在1643年的一封信里，費馬也談到了他的解析幾何思想。他談到了柱面、橢圓拋物面、雙葉雙曲面和橢球面，指出：含有三個未知量的方程表示一個曲面，並對此做了進一步地研究。

對概率論的貢獻

早在古希臘時期，偶然性與必然性及其關係問題便引起了眾多哲學家的興趣與爭論，但是對其有數學的描述和處理卻是15世紀以後的事。16世紀早期，義大利出現了卡爾達諾等數學家研究骰子中的博弈機會，在博弈的點中探求賭金的劃分問題。到了17世紀，法國的帕斯卡和費馬研究了義大利的帕喬里的著作《摘要》，建立了通信聯繫，從而建立了概率學的基礎。

1654年，費馬和帕斯卡的書信中的討論，可算是概率論的開端。

1656年他和概率論的正式創立者克里斯蒂安·惠更斯的交流，使惠更斯增加對概率的興趣。

費馬和布萊士·帕斯卡在相互通信以及著作中建立了概率論的基本原則——數學期望的概念。這是從點的數學問題開始的：在一個被假定有同等技巧的博弈者之間，在一個中斷的博弈中，如何確定賭金的劃分，已知兩個博弈者在中斷時的得分及在博弈中獲勝所需要的分數。費馬這樣做出了討論：一個博弈者A需要4分獲勝，博弈者B需要3分獲勝的情況，這是費馬對此種特殊情況的解。因為顯然最多四次就能決定勝負。

一般概率空間的概念，是人們對於概念的直觀想法的徹底公理化。從純數學觀點看，有限概率空間似乎顯得平淡無奇。但一旦引入了隨機變數和數學期望時，它們就成為神奇的世界了。費馬的貢獻便在於此。

對微積分的貢獻

曲線的切線問題和函數的極大、極小值問題是微積分的起源之一。這項工作較為古老，最早可追溯到古希臘時期。阿基米德為求出一條曲線所包任意圖形的面積，曾藉助於窮竭法。由於窮竭法繁瑣笨拙，後來漸漸被人遺忘，直到16世紀才又被重視。由於約翰尼斯·開普勒在探索行星運動規律時，遇到了如何確定橢圓形面積和橢圓弧長的問題，無窮大和無窮小的概念被引入並代替了繁瑣的窮竭法。儘管這種方法並不完善，但卻為自卡瓦列里到費馬以來的數學家開闢了一個十分廣闊的思考空間。

費馬建立了求切線、求極大值和極小值以及定積分方法，對微積分做出了重大貢獻

對數論的貢獻

17世紀初，歐洲流傳著公元三世紀古希臘數學家丟番圖所寫的《算術》一書。1621年，費馬在巴黎買到此書，他利用業餘時間對書中的不定方程進行了深入研究。費馬將不定方程的研究限制在整數範圍內，從而開始了數論這門數學分支。

費馬在數論領域中的成果是巨大的，其中主要有：

費馬大定理Fermat's Last Theorem

1637年，費馬在閱讀丟番圖《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：「 將一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高於二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關於此，我確信我發現了一種美妙的證法，可惜這裡的空白處太小，寫不下。 」

費馬大定理表示為：n>2是整數，則方程x^n+y^n=z^n沒有滿足xyz≠0的整數解。這個是不定方程，它已經由英國數學家懷爾斯證明了(1995年)，證明的過程是相當艱辛的！

費馬小定理

a^p-a≡0(mod p)，其中p是一個素數，a是正整數，它的證明比較簡單。事實上它是Euler定理的一個特殊情況，Euler定理為：a^φ(n)-1≡0(mod n)，a，n都是正整數，φ(n)是Euler函數，表示和n互素的小於n的正整數的個數。

另外還有：

(1)全部大於2的素數可分為4n+1和4n+3兩種形式。

(2)形如4n+1的素數能夠，而且只能夠以一種方式表為兩個平方數之和。

(3)沒有一個形如4n+3的素數，能表示為兩個平方數之和。

(4)形如4n+1的素數能夠且只能夠作為一個直角邊為整數的直角三角形的斜邊；4n+1的平方是且只能是兩個這種直角三角形的斜邊；類似地，4n+1的m次方是且只能是m個這種直角三角形的斜邊。

(5)邊長為有理數的直角三角形的面積不可能是一個平方數。

(6)4n+1形的素數與它的平方都只能以一種方式表達為兩個平方數之和；它的3次和4次方都只能以兩種表達為兩個平方數之和；5次和6次方都只能以3種方式表達為兩個平方數之和，以此類推，直至無窮。

1. 發現了第二對親和數：17296和18416。

十六世紀，已經有人認為自然數里就僅有一對親和數：220和284。有一些無聊之士，甚至給親和數抹上迷信色彩或者增添神秘感，編出了許許多多神話故事。還宣傳這對親和數在魔術、法術、占星術和占卦上都有重要作用等等。

距離第一對親和數誕生2500多年以後，1636年，費馬找到第二對親和數17296和18416，重新點燃尋找親和數的火炬，在黑暗中找到光明。兩年之後，「解析幾何之父」——法國數學家勒奈·笛卡兒(René Descartes)於1638年3月31日也宣布找到了第三對親和數9437056和9363584。費馬和笛卡爾在兩年的時間裡，打破了二千多年的沉寂，激起了數學界重新尋找親和數的波濤。

費馬的著作

對光學的貢獻

費馬在光學中突出的貢獻是提出最小作用原理，也叫最短時間作用原理。這個原理的提出源遠流長。早在古希臘時期，歐幾里得就提出了光的直線傳播定律和反射定律。後由海倫揭示了這兩個定律的理論實質——光線取最短路徑。經過若干年後，這個定律逐漸被擴展成自然法則，並進而成為一種哲學觀念。—個更為一般的「大自然以最短捷的可能途徑行動」的結論最終得出來，並影響了費馬。費馬的高明之處在於將這種哲學觀念變為科學理論。

費馬同時討論了光在逐點變化的介質中行徑時，其路徑取極小的曲線的情形。並用最小作用原理解釋了一些問題。這給許多數學家以很大的鼓舞。尤其是萊昂哈德·歐拉竟用變分法技巧把這個原理用於求函數的極值。這直接導致了拉格朗日的成就，給出了最小作用原理的具體形式：對一個質點而言，其質量、速度和兩個固定點之間的距離的乘積之積分是一個極大值和極小值；即對該質點所取的實際路徑來說，必須是極大或極小。

費馬原理

去世

費馬一生身體健康，只是在1652年的瘟疫中險些喪命。1665年元旦一過，費馬開始感到身體有變，因此於1月10日停職。第三天，費馬去世。費馬被安葬在卡斯特雷斯公墓，後來改葬在圖盧茲的家族墓地中。

費馬的紀念碑