梅涅勞斯定理與相似三角形

梅涅勞斯定理因為都是線段比例關係，所以極易和相似三角形扯上關係，下面是一道初中競賽題，便是運用梅涅勞斯定理得出三角形相似，從而最終解決問題。

如下圖，凸四邊形ABCD的對角線AC、BD交於M，過M作AD的平行線分別交AB、CD於E、F，交BC延長線於O，P是以O為圓心，以OM為半徑的圓上一點，求證：∠OPF=∠OEP。

用梅涅勞斯定理的另一個好處是，不用做輔助線，但截線關係不容易發現。

證明：直線OCB是△DMF的截線，由梅涅勞斯定理(DB/BM)(MO/OF)(FC/CD)=1同時OCB也是△AME的截線，同樣可得：(AB/BE)(EO/OM)(MC/CA)=1。

變形可得OF/MO=(DB/BM)(FC/CD)

EO/OM=(BE/AB)(CA/MC)，兩者相乘得OF·EO/OM²=(DB/BM)(FC/CD)(BE/AB)(CA/MC)

因為EF//AD，所以DB/MB=AB/EB，FC/DC=MC/AC，代入上一步所得式子可得OF·EO/OM²=1，由於OP=OM，所以OF·EO=OM²=OP²，即OF/OP=OP/EO，又∠POF為公共角，所以△OFP∽△OPE所以∠OPF=∠OEP。