一轉定乾坤，實在太奇妙了。抽絲剝繭，詳細解析初中數學題106

如圖, P 是正方形 ABCD 內的一點，若 PA = 1,PB=2,PC=3,求∠APB 的度數。

解析:因為四邊形ABCD是正方形，

所以兩邊相等且垂直。

我們可將△ABP 繞點B 順時針旋轉 90°,得△CBE,連接 PE。

由旋轉的性質可得：

∠CEB =∠APB,

EB=PB,

EC=PA,

∠PBE=90°(因為是旋轉90°)，

所以△BEP 為等腰直角三角形,

所以∠BEP=45°。

在Rt△PBE中，

因為PB=2,

所以PE=√PB²+EB²=2√2。

在△PEC中，

因為PC=3,

PE=2√2，

EC=PA=1,

所以PC²=PE²+EC²

所以∠PEC=90°,

所以∠APB=∠CEB

=∠BEP+∠PEC

=45°+90°

=135°。

小結：對於正方形內一點可通過旋轉90°，使得三條線段集中到同一個四邊形中(如本題四邊形PBEC)，而作出四邊形的對角線(如本題中PE)後可以發現其中一個三角形(如本題中△PBE)是等腰直角三角形，從而可以得出PE=√2BP。這樣√2BP、PC、PA被集中到同一個△PEC中，的確非常奇妙。

這正所謂：一轉定乾坤，將三個不在同一三角形的線段統一到同一個三角形中去了。