初中數學五道數學代數計算習題及其解答步驟之二
1.已知x²+11x+121=0,求x³的值。
本文內容：介紹通過條件到結論、結論到條件兩種思路，求x³在滿足x²+11x+121=0條件的值。
思路一：條件到結論
∵x²+11x+121=0，
∴x(x²+11x+121)=0,則：
x³+11x²+121x=0
即：x³=-11x²-121x
=-11(-11x-121)-121x
=121x+1331-121x
=1331。
思路二：結論到條件
∵x³
=x*x²
=x(-11x-121)=-11x²-121x
=-11(-11x-121)-121x
=121x+1331-121x
=1331。
2.已知x²-y²=45xy,求(x+y)/(x-y)的值
主要內容：
介紹通過正比例換元、中值換元、三角換元以及二次方程求根公式等方法，計算代數式(x+y)/(x-y）在x²-y²=45xy條件下具體值的步驟。
思路一：正比例替換
設y=kx,代入已知條件得：
x²-(kx)²=45x*kx，
(1-k²)x²=45kx²，
1-k²=45k，則：
k²+45k-1=0,由求根根式得：
k=(-45±√2029)/2;
代數式=(x+kx)/(x-kx)=(1+k)/(1-k)
=(2±√2029)/45。
思路二：二次方程求根公式法
x²-y²=45xy,
y²+45xy-x²=0,將方程看成y的二次方程，
由求根公式得：
y=(-45±√2029)x/2,代入代數式得：
代數式
=[x+(-45±√2029)x/2]/[x-(-45±√2029)x/2]
=(2-45±√2029)/(2+45∓√2029)
=(2±√2029)/45。
思路三：結論換元法
設(x+y)/(x-y)=k,則：
y=(k-1)x/(k+1)，
又x²-y²=45xy,將y代入已知條件得：
x²-(k-1)²*x²/(k+1)²=45*x*(k-1)x/(k+1)
(k+1)²-(k-1)²=45(k²-1),
45k²-4k-45=0,
k=(2±√2029)/45。
思路四：中值替換
設x+y=2m,x-y=2n,則x=m+n,y=m-n,
(m+n)²-(m-n)²=45*(m+n)(m-n)
2mm+2mn=45(m²-n²)
45m²-4mn-45n²=0,由二次方程求根公式得，
m=(2±√2029)n/45。
則代數式=2m/2n
=m/n=(2±√2029)/45。
思路五：三角換元法
設x=cost,y=sint,則：
(cost)²-(sint)²=45*costsint,
2cos2t=45sin2t，即tan2t=2/45,
由萬能公式得：
tan2t=2tant/(1-tan²t)=2/45,即：
(tant)²+45tant-1=0,
tant=(45±√2029)/2。
代數式
=(x+y)/(x-y)
=(cost+sint)/(cost-sint)
=(1+tant)/(1-tant)
=[1+(45±√2029)/2]/[1-(45±√2029)/2]
=(2+45±√2029)/(2-45∓√2029)
=(2±√2029)/45。
3.已知1/x-1/y=1/2,求(7y+16xy-7x)/(5y-5x-21xy)的值。
主要內容：通過換元法和代數變形法，求解已知條件下的代數式值。
換元法：
∵1/x-1/y=1/2
∴(y-x)/xy=1/2,
設y-x=t，xy=2t，t≠0，則：
(7y+16xy-7x)/(5y-5x-21xy)
=[7(y-x)+32t]/[5(y-x)-42t]
=(7t+32t)/(5t-42t)
=(7+32)/(5-42)=-39/37。
代數變形法：
(7y+16xy-7x)/(5y-5x-21xy)
分子分母同時除以xy得：
原式=(7/x+16-7/y)/(5/x-5/y-21)
=[16+7(1/x-1/y)]/[5(1/x-1/y)-21]
=(16+7/2)/(5/2-21)
=(32+7)/(5-42)=-39/37。
4.36x²+72x+y²-2y+37=0,求xʸ的值
主要內容：
通過配方法，對已知條件進行變形，並根據兩個非負數的和為0，則這兩個數必須同時為0的性質，來求解代數式xʸ在已知條件36x²+72x+y²-2y+37=0下的值。
解題步驟：
36x²+72x+y²-2y+37=0，則
36x²+72x+36+y²-2y+1=0,即：
(6x+6)²+(y-1)²=0,
此步驟為兩個平方數的和為0，即兩個非負數的和為0，
所以：
6x+6=0，且y-1=0，
解方程得：x=-1,y=1;
則:xʸ=(-1)¹=-1。
5.把分數1/14分解成多個分數和的方法
主要內容：
本文主要介紹用因數法，如何把分數1/14分解成2個、3個和4個分子為1的多個分數和的方法和主要步驟。
分解成2個分數和的情形
考慮分母14的因數主要有1,2,7,14,所以將1/14分成兩個分數1/x、1/y的和有以下4種情形。
(1)1/14=(1+2)/[14(1+2)]=1/14*3+1/7*3
=1/42+1/21;
(2)1/14=(1+7)/[14(1+7)]=1/14*8+1/2*8
=1/112+1/16;
(3)1/14=(1+14)/[14(1+14)]=1/14*15+1/15
=1/210+1/15;
(4)1/14=(2+7)/[14(2+7)]=1/7*9+1/2*9
=1/63+1/18;
分解成3個分數和的情形
根據上述變形原理，分解成1/x、1/y、1/z的和有以下3種情形。
(1)1/14=(1+2+7)/[14(1+2+7)]
=1/14*10+1/7*10+1/2*10
=1/140+1/70+1/20;
(2)1/14=(1+7+14)/[14(1+7+14)]
=1/14*22+1/2*22+1/22
=1/308+1/44+1/22;
(3)1/14=(14+2+7)/[14(14+2+7)]
=1/23+1/7*23+1/2*23
=1/23+1/161+1/46;
分解成4個分數和的情形
根據上述變形原理，分解成1/x、1/y、1/z、1/u的和，有:
1/14=(1+2+7+14)/[14(1+2+7+14)]
=1/14*24+1/7*24+1/2*24+1/24
=1/336+1/168+1/48+1/24.
