同學們好，這節課來學習橢圓及其標準方程。
·首先來看一下這個圖形，這是行星繞著太陽旋轉，它的軌道是一個橢圓。畫一個，看得出來所有的軌道全部都是橢圓，並且太陽就在橢圓的焦點上面，這是開普勒第一定律。
·再看一下平時常見的雞蛋，它也是一個橢圓的形狀。
·再做一個數學實驗，取一條細繩，在木板上有兩個定點fef2，細繩的兩端定在這兩個定點fef2上面，有一個筆尖把它拉緊，再慢慢的旋轉，這樣得到的形狀也是一個橢圓。
·來看一看它的圖形，現在問作圖過程中哪些量沒有變，哪些量變了？就會發現細繩的長度是沒有變的，還有兩定點之間的距離也是沒有變的，就是這兩個定點，一個是f1，一個是f2，這兩個定點之間的距離總是固定的。
筆尖所對應的動點到兩定點之間的距離變了嗎？距離變了，但是距離之和是沒有變的，這樣就可以得到橢圓的定義了，就是繩長大於兩點之間的距，mf1加上mf2，這個長肯定是一個定值，mf1就是筆尖的位置。
歸納一下，平面內與兩定點f1和f2距離和等於常數，這個常數大於f1f2，它的點就叫點的軌跡，就叫做橢圓，這兩個定點就叫做橢圓的焦點，兩焦點之間的距離就叫做橢圓的焦距，這個常數就用2a表示，焦距用2c表示。
看一下這個定義，這個定義裡面說平面內與兩定點的距離之和，什麼意思？就是到兩個定點fef2，這就是它們的距離之和，這個距離之和要等於一個常數，這個常數是2a，就讓它等於2a。
還說了常數要大於fef2，就是2a要比f1f2大，f1f2就是焦距，f1f2之間的距離就是焦距，還說了焦距用2c表示，所以2a要大於2c。
現在問一下定義當中的常數為什麼要大於焦距？什麼意思？就是2a為什麼要大於2c？因為2a就是mf1加上mf2，就是等於2a，這個2a為什麼要大於2c？如果等於2c或者小於2c行不行？
先看一下，如果mf1加上mf2如果是等於2c，也就是等於2c的時候看它的軌跡是一個什麼形狀，這是f1f2，然後mf1加mf2就等於f1f1f2之間的距離就是2c，m點它們兩個相加等於2c。點當然就在線段f1f2上面，因為這兩段加起來剛好就是等於2c的，所以這個時候等於2c的時候不是橢圓，是一個線段f1f2，這就是等於的時候得到的軌跡不是橢圓，是什麼？是一個線段。
再看一個就是如果小於2c圖形又是一個什麼形狀？就是memfe加上mf2這個長，如果是小於2c就畫不出來了，無法做出這個圖形，所以總結了之後就可以得到如果mf1加mf2大於2c大於兩定點的距離就是一個橢圓，如果等於兩定點的距離就是線段的f1f2了。
可以看一下這裡，m點在線段上面，不管在線段的哪個位置，它們之間的距離之和都是等於這兩個定點之間的距離2c的，不管在哪個位置，它們加起來都是2c，這個時候m點的軌跡就是一個線段f1f2了，如果小於f1f2之間的距離就沒有軌跡了。
現在總結了之後就得到平面內到兩定點的距離和等於常數這樣的點，這個點就可以把它想像成圖形就是橢圓了。現在看一下橢圓的標準方程應該是什麼樣的，怎麼樣建立好一些？可以這樣建，就是以f1f2為x軸，以f1f2的垂直平分線為y軸建一個系，這樣這個是x軸，這個是y軸。
因為f1f2之間的距離等於焦距等於2c，剛好它們這又在圓點的左右兩端分布，所以可以把這個點叫做負c零，f2點就叫做c零。現在在由圖文的定義mf1加上mf2，這裡是p，就設一個p點，pf1加pf2又是等於2a的，所以這個時候就可以列一個式子了，就是mf1，pf1用兩點之間的距離公式，這個用兩點就之間距離公式就是橫減去橫的平方加上重減重的平方再開方，這就是pf1，也就是左邊這個，這個當然就是pf2了。
pf1加pf2就等於2a，就得到這個式子了，再把這個式子化減就行了，化減的時候可以同時平方，但是平方的時候不要直接平方，可以把兩個隨便帶喇叭拉個根號，移到右邊去，之後像這樣再開，再把兩邊同時平方經過一系列的化減，最後就可以算出這樣的一個式子了。
a的平方分成一個平方加上a的平方減去y的平方減去c的平方分成y的平方等於一了，這本來就已經畫到最。後一步沒法再畫下去了，但是還是嫌不夠簡潔，就這個樣子，還得繼續畫一下。
可以讓p f1、p f2相等等於二a，然後這個o f1 of l f2等於二c，這個長是二a，這個長是a，這個長也是a，p點剛好在橢圓的上頂點上面，po的長當然就是等於a的平方減c的平方了，就是用勾股定理得到的。
這是在哪個三角形的p o f2當中可以用勾股定理得到，p o就等於根號下a的平方減去c的平方。
再用一個代替一下，就是讓p o的長等於b，令它等於b，這樣就可以得到a的平方減去c的平方，開方就等於b，再把它們兩邊同時平方是不是就可以得到a的平方減去c的平方等於b的平方，再把它畫一個減就可以得到a的平方等於b的平方加上c的平方。
這個分母可不就是a的平方減去b的平方不就是b的，a的平方減去c的平方就是b的平方，所以橢圓的方程就變成了a的平方分成一個平方加上b的平方分之y的平方等於一了，下面這個就是abc之間的關係式，這就是橢圓的焦點在x軸上，橢圓的標準方程就是這個樣子了。
現在再來看一下它的標準方程，這裡就是a的平方分之x平方加上b的平方分之y的平方等於一，然後把最長的軸就叫做長軸，長度是二a，為什麼叫長軸？就是連接橢圓上任何兩個點之間的線段就是軸，最長的肯定就是這裡的一個軸，來畫一下，就是從這裡到這裡，這個點叫a1，這個點叫a2，a1、a2就是它的長軸最長的軸碼，它的長度就是二a一，最短的軸就是短軸長度是二b一，把下面叫做b1，上面這個點叫做b2，b1和b2的距離當然就是二倍的b了，這個叫短軸。
現在再來看一下焦點如果在y軸上，那麼它的標準方程又是什麼樣的？是不是又要像讓焦點f1、f2放在y軸上面又重新建一個系，經過一番化解就可以得到它的標準方程應該是這個樣子，a的平方分成y的平方加上b的平方分之x平方等於a大於b大於零，這是交點在y軸上的標準方程。
現在來比較一下，根據橢圓焦點或者長軸的位置不同就得到了兩種標準方程，一個是焦點在x軸上的標準方程，一個是焦點在x軸上的標準方程。一個是焦點在y軸上的標準方程，大家可以看出這兩個方程是不一樣的。
怎麼看焦點在哪個軸上面？一個是在x軸，一個是y軸。有一個判斷方法就是怎麼判斷，這裡有x、y下面的值分母，就看它的分母，分母哪個的分母大就在哪個軸上。為什麼？因為看一下交流在一個值軸上，a是大於b的，都知道a肯定是大於b，交流在一個值軸上的a肯定大一些，交流在y軸上的y的下面的分母就是a，所以這個時候y的平方的分母就大一些。
怎麼看焦點在哪個軸上面？可以這樣看，就是看哪個的分母大，分母大的就在這個軸上面。再來總結一下橢圓的標準方程，這是交點在x軸上的標準方程，這是交點在y軸上的標準方程，然後它的焦點坐標左邊那個是負c零和c零，這就是f1和f2之間的坐標，右邊這個是f1是零負c，f2是零c，這就是它們的焦點坐標。
abc的關係都是一樣的，都是c的平方等於a的平方減去b的平方。判斷焦點在哪個軸上的方法，剛剛說了哪個分母大就在哪個軸。看一下這個題目，看一下焦點在一個軸和教你的外外軸，這下面有四個，來一個個的判斷。
·先看第一個，二十五分之x平方加上m分之y的平方等於m是小於二十五，m小於二十五就說二十五大一些，二十五大就是這個，看到二十五大，二十五的分子是x平方，當然焦點就是在x軸上，就這樣連一下。
·第二個，二和四肯定是二小於四，四大一些，四比較大一些，四的分子是y，所以焦點就應該在y軸上。
·第三個，m分之x平方加上四分之y的平方等於一，就可以看出來m和四哪個大題目說了m是小於四的就是四大一些，四的分子是y，焦點也是在y軸。
·再看最後一個，七分之x平方加上四分之y的平方等於一，看到七也大一些，七的分子是x平方，所以它的焦點就應該是在x軸上面。
這就是判斷焦點在哪個軸上的方法，都做對了嗎？現在來看一個題目就是二元方程的求法。
·第一，求到點f12距離之和等於四，這樣的點m的軌跡方程。怎麼做到兩定點的距離之和等於四？就知道二a就等於四，因為剛剛說了到兩定點的距離之和就是二a，就可以得到a就等於二。
·然後焦點坐標剛剛建立平面之後這個係數也這樣設了，就是一個是負c，零一個是c零，對應一下負c零，c零和負一零一零，這樣一對比就會發現c等於一了。
怎麼求b？就要用剛才這個關係式了，橢圓當中a最大，a的平方就等於b的平方加c的平方，所以就得到二的平方就等於b的平方加上一的平方，這樣就可以得到b的平方就等於四減一等於三。所以它的標準方程就是往x軸的方程裡面去求，在x軸方程裡面去求，就可以求出它的標準方程了。
因為a等於二，二的平方是四，所以就是四分之一個平方加上b的平方是三，就是三分之y的平方等於一。這就是第一題的答案，大家可以看一下。
再看第二題，求到兩個點f一零負一和零一距離之和為四的點的軌跡。看第一題和第二小題是不是非常的像，只不過交點的坐標發生的變化。第二題應該怎麼做？還是像剛才那樣，二a肯定等於四，也就得到a等於二，這個是肯定是不變的。
c還是等於一，因為這個時候坐標是零，負c和零c交點在y軸上，所以c等於一。這樣b的平方怎麼求？因為不管交點在x軸還是y軸，都有滿足一樣的式子，這樣可以求出b的平方還是四減一等於三，所以a的平方還是四，b的平方還是三。
只不過它跟第一題不同，就是它的方程不是剛才那個方程，它的標準方程應該是a的平方分之y的平方加上b的平方分之x平方等於一，所以就可以得到它方程應該是四分之一y的平方加上三分之一x平方等於一，這就是第二題的答案。
來看一看，總結一下，不管在x軸還是焦點在y軸上，它們有一個相同的部分，大家可以記一下，就是a的平方等於b的平方加上c的平方，這個是一致的，不管哪個軸上都是滿足這個格關斜視，其他的可能不一樣，但是這個是不一，肯定是不變的。
現在再看一個題目，已知橢圓兩個交點分別是負二零二零並且經過這個點二分之五負二分之三，求它的標準方程這個題比剛才這個題稍微麻煩一點，但是意思是差不多的做法。剛才那個題目不是一下子可以求出二a等於四嗎？不過這個題目二a還要算一下，二a就是這兩個點之間的距離之和。
來算一下二a等於幾，就是橫減去橫的平方加上縱減去縱的平方，這是m，m f一加上m f二就是二分之五減去二的平方加上負二分之三減零的平方，把它算一下就可以算出二a等於幾了。
在下面算了一下，算出二a等於二倍的根號十。就是把根號下面這個複雜的式子求出來，這樣當然可以求出a就等於根號十了。
a等於根號十，這個不是負c零和c零嗎？對比一下負c零，c零就可以看出c就等於二了，求出b，b等於a的平方減去c的平方就是十減二的平方就是四等於六，這樣就可以求出它的標準方程了。
再看一下它焦點，這是x軸上焦點的坐標的形式，因為x軸上焦點就是縱坐標等於零，所以f10和f520可以得出它的標準方程應該是這個樣子，再把a和b往裡面帶就行了，得到a就是根號十的平方十，再加上b，b就是六，b的平方等於六，這就是它的標準方程，十分這個平方加上六分之y的平方等於一。
大家可以看一下它的做題過程，最後答案是十分這一個平方加上六分之y的平方等於一，也是按橢圓的定義來做的，就是用的定義法。還可以用帶一定吸收法，就是首先把它的標準方程設成這個樣子，像這樣子之後再經過這個點還有橢圓的焦點也知道，就可以把這個點的坐標往這個方裡面去帶到這個方程裡面去，再由c等於二，這個是看出來的，c等於二不是求出來的是看出來的，看出來c等於二，因為焦點是負c零和c零，c零不就等於二嗎？
所以由這兩個設計第一個方程組就可以求出a等於十，a的平方是十，b的平方是六，然後就可以求出它的標，同樣的標準方程是這樣了，跟剛才這個方法就稍微有點不一樣，它用的是待定吸收法，剛才用的是定義法。
大家可以把這個題想一想，思考一下，a、b、c是兩個定點，b、c的長是十，然後平面內a、b、c的周長是十八，求它頂點的軌跡，可以間隙，然後bc的長是八，可以把左邊叫b，右邊叫c，然後也bc的中垂線為y軸，bc的長為x軸，建一個細，一個是四零一個是負四零，就是這樣去建細。
然後a點在哪？a點是運動的，就是要求一點的軌跡，它說了周長是十八，什麼叫周長？三角形的周長就是三邊長度相加就叫做周長，就這三個加起來等於十八，因為bc的長題目告訴你是八，就這一項是等於八的，就可以得到a、b的長加上ac的長是一個定值十，那就是十，也就是說a點無論在哪裡，那麼a、b加ac都等於十，是不是就符合橢圓的定義？
到兩定點的距離之和等於定值，這個定值就是二a，所以一下就可以求出a等於5，然後c就是這兩個坐標，負c零和c零，一眼看出c就等於4了，這樣就可以求出b的平方等於5，a的平方減去c的平方25減去16等於9，這就可以得到它的軌跡方程就是下面這個式子了。
但是y不能等於零，y為什麼不能等於零？那就是如果y等於零，那你就說a點的坐標，如果它的重坐標等於零，那a點豈不是就在這個x軸上，這個時候a、b、c就貢獻了，它就無法組成一個三角形了，所以a、y就不能等於零，也就是a、b、c不能貢獻。
這是這個題目的做法，大家可以看一下它的解答過程，做出來就是下面這個答案25分之a平方加上9分之y的平方等於1。
回顧一下這節課學的內容，就是圖案的定義就是平面內到兩定點距離之和等於定長的動點，軌跡是一個圓，還說了這個距離之和要比這兩個定長之間，這兩個定點之間的距離要大一些，這樣才是橢圓。
然後說這兩個定點就是橢圓的兩個焦點，兩焦點之間的距離是焦距定長就等於長軸的長軸長就是2a，然後短軸長把它定為2b，就這個長就是二倍的b，從上到下了整個長是二倍的b。
還有關係式就是a的平方等於b的平方加上c的平方，也就是橢圓當中a是最大的，在橢圓當中a是最大的b和c，沒有辦法比較大小，然後橢圓的兩個方程一個是x軸上的方程一個是y軸上的標準方程，大家可以都記下來。
下面可以把這個題大家做一下，做完了嗎？答案選d。
