「數學」數學分析中的夢魘—「無窮」,微積分困難之所在

2023年09月15日05:40:06 教育 1091


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18世紀,牛頓萊布尼茲的微積分被廣泛地應用來解決前代人感興趣的問題,如面積問題、極大極小值問題及描述懸掛著的鏈子的形狀(即懸鏈線)或者振動著的弦上的點的位置問題;還有對於天體力學的應用,以及與函數性質有關的研究,所有這些領域還有其他領域在整個 18世紀發展了起來。這要歸功于于泰勒、約翰·伯努利丹尼爾·伯努利歐拉達朗貝爾拉格朗日等人。

這些人使用了許多大師般的論證,但是這些論證的有效性又多有可疑之處。對這些大師來說,對發散級數的運算、虛數的應用以及對實無窮的運算,用得是得之於心、應之於手。然而這些方法,對於普通人,又總是很難解釋清楚,所以有些結果再重複起來就不太可靠了。要做歐拉的計算,你就得自己就是歐拉,這種情況延續到了下一個世紀。

一些特定的爭論突出了一些問題,而今天看來這些問題是來自基礎上的混淆不清。例如,在無窮級數問題上,就有著形式表達式的適用範圍上的混淆。考慮級數

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按照今天通用的初等定義,將把這個級數考慮為發散級數,因為它的部分和序列1,0,1,0……不趨向任何極限,但是關於這個式子卻有爭論。例如歐拉和伯努利就討論過,一個無窮和的可能有區別,伯努利認為,像1-2+6-24+120+…這樣的東西並沒有和,但是這個代數表達式可以有值。歐拉則為下面的觀念辯護說,級數的和就是產生這個級數的有限表達式的值,也不管這些名詞究竟是什麼意思。在他的1755年的一本書里,以

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這個式子是由1/(1+x)得來的,所以後來歐拉在為自己的觀點辯護時,就說1-1+1+……=1/2。他的觀點並未得到普遍接受。在把函數的值推到其通常的區域以外時,例如對於負數的對數,也產生過類似的爭論。

對於18世紀的分析的語言和方法的最著名的批評家大概就是哲學家貝克萊。他的名言「存在即被感知」表明了他的唯心主義立場。他認為,這些對象應該是被感知的東西,而且應該是作為一個整體而被感知的。感知無窮小的大小的物體的不可能性,再加上它的明顯的抽象性,使得貝克萊在他1734年出版的著作《分析學家:或致一位不信神的數學家的信》里譏諷地稱無窮小為「消逝的量的鬼魂」,他的辯詞是:在數學論證里、忽略去一個量,不論它多麼小,都是不合適的。他引用了牛頓關於這個問題的話:"在數學中,哪怕是最小的誤差,也是不許可的。"貝克萊接下去又說,正是這門學科的晦澀使得牛頓把這類推理強加於他的追隨者。

所有這些都表明,微積分需更深入的解釋。

歐拉

歐拉對於分析的一般發展所作的貢獻多於18世紀的任何人,他為了論證他的方法所給出的論據,由於他所寫的重要的教科書的成功與被廣泛採用,甚至在他身後仍然有極大的影響。歐拉的推理有時被認為是很不嚴謹,因為用起微積分記號來很是隨心所欲,他的許多論證按後來的標準看也都是有缺陷的。特別當這些論證涉及無窮級數和無窮乘積時更是如此。一個典型的例子是他對以下式子的早期的證明:

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他的方法是這樣的,利用sinx的已知級數展開式

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歐拉考慮左式的零點,其位置在

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應用適用於有限代數方程的因式定理(而對此未作任何論證),他把這個式子寫成

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現在可以看到,雙方x的係數應該相等。右式的係數是-1/6,而歐拉把左方各個括弧都乘開,其中除了一個括弧外都取1,這一項則取

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這樣歐拉得到

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雙方乘以π^2即得所求證明的式子。

我們現在認為這個處理途徑有幾個問題。無窮多個因子的乘積可能表示一個有限值,也可能不表示,今天就會要求確定它何時才表示一個有限值。還有把適用於(有限)多項式的結果用於無窮級數,是需要論證的步驟。歐拉在他的晚年對此結果給出另一個論證。他可能已經知道有反例一說。但是,這樣的事實,對於歐拉卻不是決定性的障礙。這樣的觀點,即在一般能行而可能有少數例外的情況下,仍然進行推理,在歐拉的時代並不少見,直到19世紀末,人們才通過協調的努力做到了這樣的地步 ,即達到了這樣的共識:在宣布分析的結果時,要確切地闡明這個定理成立的條件。

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歐拉並沒有細想過如何解釋無窮和以及無窮小。有時,他輕率地就把無窮小當作零,而且從問題的上下文來導出微分之比的意義:

這個聲明見於歐拉1755年寫的Institutiones Calculi Differentialis一書,緊接著他就來討論在比例中有一個比為0/0的問題,這樣來論證在普通的數的計算中微分可以略去。這個聲明很準確地描述了歐拉的實踐的很大一部分——例如他在研究微分方程時就是這樣做的。

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然而,確實發生了衝突的事,而關於定義的辯論也不少見。最著名的例子涉及關於所謂振動弦問題的討論。歐拉、達朗貝爾和丹尼爾·伯努利都卷進來了。這些辯論緊密地關乎函數的定義,以及在分析中所研究的函數有哪些可以用級數(特別是三角級數)來表示的問題。一條形狀任意的曲線都可用作振動弦的初始位置,這樣的思想推廣了函數的思想,而傅里葉在19世紀早期的工作又使得這些函數在解析上可以處理。在這樣的背景下,具有折斷的圖像的函數(一類不連續函數)就被納入人們的視線了。後來,當與代數和三角運算相聯繫的"更自然"的對象讓位於更一般的現代的函數概念時,如何對待這類函數,成了分析基礎的決定性的問題。

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