讀書｜古老的數學，有說不完的故事，也有解不開的難題

《美妙的數學》（插圖珍藏版）

吳振奎著

北京大學出版社2022年10月出版

本書以數學實例揭示數學潛在的規律，同時探索用美學原理指導數學創造和發現的途徑。全書分成數，形，曲線，抽象，無窮等專題板塊，並配以200餘幅插圖、豐富的小貼士和名人語錄，全面展現數學的豐富文化及其與我們日常生活的關係，引導大眾欣賞數學的趣、秘、異、美，發現數學的古老、嚴謹、實用。

數學中的美

美是自然（確切地講是「自然的人化」），數學作為「書寫宇宙的文字」（伽利略語）反映著自然，其中當然存在著美。

「美」是一個哲學概念。對於山水、風景、形體、相貌這類自然形成的事物，可以據社會文明進步程度、人類智力發展水平、大眾審美觀點的演化層次，再據多數人的審美觀點直觀評判其美與否；然而對文學、藝術、建築、園林……這類帶有人工雕琢痕迹的物件，人們再去欣賞它時，美與不美便是一種抽象的思維、判斷過程了，比如欣賞藝術大師畢加索的晚年（立體主義抽象）畫作，不僅需要觀賞者有較高的藝術修養，還要有抽象思維的能力，因為這類畫作是將自然物像分解成幾何塊面，從而從根本上擺脫傳統繪畫的視覺規律和空間概念（也有人認為這是畫家在四維空間作畫，即將四維空間的物像用二維圖形表現出來）。

真正能夠讀懂畫作的人不會很多，如此一來，有人會認為畫作很美，但也有人認為畫作不美甚至很醜（正如有人說「美其實是一種感覺」）。這正是「美學」這門學科所要研究的。

而數學美學研究的主要內容也包括探求數學中的現實美、抽象美、美的感悟和美的創造。

數學（特別是現代數學）作為自然科學的基礎、工程技術的先導、國民經濟的工具，其本身就具有許多美的特性，它們中的某些是形象、生動而具體的。比如數學的簡潔性、抽象性、和諧性、奇異性等諸方面均展現著數學自身的美——這些一旦讓人覺知，一旦被人認識，數學便有新的希望與未來。數學正是在不斷追求完美的過程中孕育、創造並發展的。

把數學，特別是現代數學中美的現象展示出來，再從美學角度重新認識，這不僅是對人們觀念的一種啟迪，同時可幫助人們去思維、去探索、去研究、去發掘、去創造。

數學中的一個結論（定理、公式、圖形）、一種證明、一項計算、一份解答，如果看上去很美（簡練、和諧、巧妙、生動……），差不多可以說它是正確的。這就是說：從美學角度探索數學中的一些現象，揭示其中的某些規律，往往可以得到一些研究數學的方法。

簡言之，數學中的美需要揭示、探討、挖掘，從而可看作是對美學乃至整個哲學自身的一種豐富，反過來美學方法又可指導數學學習和研究。

數學中的美的現象，很早就為一些大數學家（如畢達哥拉斯、高斯等）所關注，並提出過不少精闢、獨到的見解，但遺憾的是他們未能有專門論著面世（我國古代數學家也從「趣味」角度，探討過這類問題，雖然美包含著趣味，但「趣味」並不等於美）。

古希臘哲學家蘇格拉底認為：最有益的即是最美的。因而古希臘的美學是知識不可分割的一部分，這恰恰是由於當時許多學科的幼芽尚未從人類知識大樹上長成獨立的枝幹。當時的哲人們還認為：（現實）美和宇宙之美是統一的。

畢達哥拉斯學派（請注意這是一個數學團體）認為正是這個學派在研究音樂時最早使用了數學（他們試圖提出一個關於聲調對比關係的數學表述：八度音與基本音調之比為1∶2，五度音等於2∶3，四度音等於3∶4，等等），這也是人們最早用數學方法研究美的實踐與創始。

至於數學，在當今的科學分類研究中，許多學者稱哲學和數學是普遍科學，且認為二者可應用於任何學科和領域，其差別在於刻畫現實世界時使用的方法和語言不同：哲學使用的是自然語言，數學使用的是人工語言（數學符號）；哲學使用的是辯證邏輯方法，而數學使用的是形式邏輯與數理邏輯方法。這樣哲學家有時可以「感覺到」思維的和諧，而數學家則有時可以「感覺到」公式與定理的和諧，即美。

無論從哪個角度來看，數學美都是一個值得探討的話題。

作者：吳振奎

編輯：袁琭璐