射影定理和美國中學數學競賽題

美國第35屆中學數學競賽於1984年2月舉行，我國有100多名高中學生應邀參加了競賽，取得了良好成績。這次競賽共出了30道試題，要求90分鐘內解答，平均3分鐘答一道題。每題均給出了五個答案，僅有一個正確。把正確的答案指出可得5分，不答給0分，答錯給-1分。

下面我們來看一道與射影定理有關的題目。

題目呈現

直角三角形ABC中，AB為斜邊，AC=15，高CH分AB為AH和HB，HB=16，則△ABC的面積是

（A）120；（B）144；（C）150；（D）216；（E）144√5.

在解題之前，我們來了解一下射影定理。

何為射影定理

射影定理，又稱「歐幾里得定理」，定理內容是直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。公式表達為：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜邊ab上的高，則有射影定理如下：①CD²=AD·DB，

②BC²=BD·BA，

③AC²=AD·AB，

④AC·BC=AB·CD

射影定理的來源

這個射影定理從何而來？它是天上掉下來的嗎？不是，它來源於歐幾里得在《幾何原本》中對勾股定理的證明。請看下圖：

上圖有三個正方形，它們稱為跳舞的正方形，圍成了一個直角三角形。圖中還有五條輔助線，構成了歐幾里得的風車。

勾股定理的證明超過400多種，歐幾里得的證明獨具韻味，不僅是勾股定理，還得到了射影定理。

這個圖是歐幾里得用來證明勾股定理的。第一條輔助線AL垂直於直角三角形的斜邊，並把大正方形分為兩個矩形。

歐幾里得說，以BL為對角線的矩形面積等於小正方形，以CL為對角線的矩形面積等於中正方形。

因為這兩個矩形面積之和等於大正方形的面積，所以，c²=a²+b²，命題得證。

這兩個矩形面積等於對應的正方形的面積，就是射影定理。

不明白？歐幾里得繼續作出AD和CF這兩條輔助線，說：△ABD≌△BCF.

這個容易看出，△BCF繞B點順時針旋轉90°就與△ABD重合。

接下來進行等積變換。大家知道等積移動定理嗎？保持底邊，頂點在與底邊平行的的直線上移動，所得的三角形面積相等。

對等積移動定理更常見的敘述是：共底邊的三角形若頂點在與底邊平行的直線上，則其面積相等。

這個定理的證明是輕而易舉的：因為平行線間距離處處相等，所以這些三角形同底等高，從而等積。

運用等積移動定理，可得△FBA與△FBC面積相等，△BDA與△BDL面積相等。

因為△FBA面積為小正方形的一半，△BDL的面積為以BL為對角線的矩形面積的一半，所以小正方形面積等於對應的矩形面積。即AB²=射影·BC

舉個例子

下面我們來看一個具體的例子。

如圖所示，有這樣一個小學水平的題目，已知直角三角形的三邊邊長，求斜邊BC上的高AD.

這個問題簡單，利用面積關係解題：

BC·AD=AB·AC⇒

AD=AB·AC÷BC

=6×8÷10

=4.8

繼續追問，BD和CD是多少？

由射影定理可得：

BD=AB²÷BC=36÷10=3.6

CD=AC²÷BC=64÷10=6.4

應用射影定理，我們可以作圖作出已知線段的平方根。請看下圖：

如圖所示，因為CD⊥DB，AC=1，所以AD就是AB的平方根。

解答美國競賽題

有了前面的鋪墊，我們來解答美國數學競賽題。

如圖所示，已知在直角三角形ABC中，AC=15，BH=16，設AH=x，據射影定理列方程：

x(x+16)=15²

x²+16x=225

用配方法解方程，

x²+16x+64=225+64

(x+8)²=289

解方程得

x₁=9，x₂=-25，

負根捨去，得AB=16+9=25，

由勾股定理可得，

BC²=625-225=400，

即BC=20，

所以三角形面積為150，答案是C。

總結

看懂了歐幾里得對勾股定理的證明，就容易理解記憶射影定理了。

我們可以這樣記：

直角邊的平方=射影·斜邊

斜邊上的高的平方=勾的射影·股的射影

歐幾里得的證明是對簡單的基礎知識點的組合和綜合應用，輔助線也作得漂亮。雖然看懂命題47的證明不難，當個事後諸葛亮是容易的，但是獨立發現創造這個證明卻是很困難的。遙想當年，歐幾里得用一套組合拳完成這個令人賞心悅目的證明後，欣喜的心情必定是酣暢淋漓，值得浮一大白慶賀！

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。