新南威爾士大學悉尼分校的一位數學家發現了一種解決代數最古老的挑戰的新方法——求解高等多項式方程。
多項式是涉及一個變數的冪方程，例如二次多項式：1+ 4x -- 3x2= 0 的
這些方程式是數學和科學的基礎，它們在數學和科學中具有廣泛的應用，例如幫助描述行星的運動或編寫計算機程序。
然而，求解「高階」多項式方程的通用方法，其中 x 被提高到 5 或更高的冪，在歷史上被證明是難以捉摸的。
現在，新南威爾士大學名譽教授 Norman Wildberger 揭示了一種使用新型數字序列的新方法，該方法在最近與計算機科學家 Dean Rubine 博士的出版物中進行了概述。
「我們的解決方案重新打開了數學史上以前封閉的書，」Wildberger 教授說。
多項式問題
二次多項式的解自公元前 1800 年以來就已經存在，這要歸功於巴比倫人的「完成平方的方法」，該方法演變成許多高中數學學生熟悉的二次方程。這種方法使用稱為「根數」的數字根，後來在 16 世紀擴展到解決三次和四次多項式。
然後，在 1832 年，法國數學家 Évariste Galois 展示了用於解析低階多項式的方法背後的數學對稱性如何對於五次和高階多項式變得不可能。因此，他認為，沒有通用公式可以解決它們。
此後，高階多項式的近似解被開發出來並廣泛用於各種應用，但 Wildberger 教授說，這些不屬於純代數。
新方法背後的徹底拒絕
他說，問題在於經典公式使用第三或第四根，它們是根式。
根式通常表示無理數，這些數字是延伸到無窮大而不重複的小數，不能寫成簡單的分數。例如，7 的立方根的答案3√7 = 1.9129118...永遠延伸。
Wildberger 教授說，這意味著真正的答案永遠無法完全計算出來，因為「你需要無限的工作量和一個比宇宙還大的硬碟。
因此，當我們假設3√7 在公式中「存在」，我們假設這個無限的、永無止境的小數在某種程度上是一個完整的對象。
這就是為什麼 Wildberger 教授說，他「不相信無理數」。
他說，無理數依賴於不精確的無窮大概念，並導致數學中的邏輯問題。
Wildberger 教授對根式的拒絕激發了他對數學、有理三角學和通用雙曲幾何最著名的貢獻。這兩種方法都依賴於平方、加法或乘法等數學函數，而不是無理數、根式或正弦和餘弦等函數。
他求解多項式的新方法也避免了根式和無理數，而是依賴於稱為「冪級數」的多項式的特殊擴展，它可以有無限數量的 x 次冪項。
Wildberger 教授說，通過截斷冪級數，他們能夠提取近似的數值答案來驗證該方法是否有效。
「我們測試的方程之一是 Wallis 在 17 世紀用來演示牛頓方法的著名三次方程。我們的解決方案運行良好，」他說。
通用解決方案的新幾何圖形
然而，Wildberger 教授表示，該方法的證明最終是基於數理邏輯。
他的方法使用表示複雜幾何關係的新型數字序列。這些序列屬於組合學，這是數學的一個分支，處理元素集中的數字模式。
最著名的組合序列稱為加泰羅尼亞數，描述了將多邊形（具有三個或更多邊的任何形狀）分解為三角形的方法數種。
這些數字具有重要的實際應用，包括計算機演算法、數據結構設計和博弈論。它們甚至出現在生物學中，用於幫助計算 RNA 分子可能的摺疊模式。它們可以使用簡單的 2 次多項式進行計算。
「加泰羅尼亞數字被理解為與二次方程密切相關。我們的創新在於，如果我們想求解更高的方程，我們應該尋找加泰羅尼亞數的高等類似物。
Wildberger 教授的工作將這些加泰羅尼亞數字從一維數組擴展到多維數組，該數組基於使用非相交線劃分多邊形的方式數量。
「我們已經找到了這些擴展，並展示了它們如何在邏輯上導致多項式方程的一般解。
「這是對代數基本章節的戲劇性修訂。」
他說，即使是五次方程（五次多項式）現在也有解。
他說，除了理論興趣之外，該方法還為創建可以使用代數級數而不是根式求解方程的計算機程序帶來了實際前景。
「這是大部分應用數學的核心計算，因此這是在廣泛領域改進演算法的機會。」
Geode 未開發的方面
Wildberger 教授說，他和 Rubine 博士稱之為「晶洞」的新型數字數組也具有進一步研究的巨大潛力。
「我們引入了這個全新的數字數組，即 Geode，它擴展了經典的加泰羅尼亞數字，似乎是它們的基礎。
「我們預計對這種新 Geode 陣列的研究將引發許多新問題，並使組合論者忙碌數年。
「真的，還有很多其他的可能性。這只是一個開始。
