很多人都认为数学课本里的讲解和习题都太简单了，他们认为只学数学课本里的内容会学习跟不上，会考试落后过不了关。这是真的吗？
且容许我慢慢道来，也许读完本文之后，你和孩子对学习方法的理解会被颠覆。
B站上有一段著名数学家华罗庚生前在电视上讲数学的视频，目前播放量已超过了112万次，视频下方有一千七百多条留言。在头条和西瓜视频上也能搜到这段录像，西瓜视频上的这段影像也被观看了超过26万次，视频下方也有近千条留言。
华罗庚：我可能是不称职的，因为我对数学的了解并不那么全面
1979年2月8日，著名数学家华罗庚在电视上主讲高等数学
在这段电视讲座中，华罗庚所讲解的是一种如何证明√2是无理数的方法，这正好就是现今人教版七年级数学下册里的内容。但是从以上视频下方的留言区可看出，很多人都听不懂华罗庚在讲什么。他们不知道这个命题究竟出自哪里，很多人说这是高中阶段的知识，有些人干脆说自己啥也听不懂，也有一知半解的者，但感觉都是没有彻底搞懂者。
华罗庚在讲解前说了，为了达到“提纲挈领”的效果，他不是按步骤讲解的，他讲解之后，会有老师“一步一步地给同志们讲清楚”。也就是说，华罗庚在讲解的过程中跳过了详细的论证过程。
因此有些看似“懂了”的人，也只是泛泛地知道华罗庚所教授的那几步而已，其实他们并不清楚中间越过了哪些支撑性的命题；因此有些不甚明晰个中环节的诚实者，就提出了很多疑问。我在留言区挑选了几个出现频率比较高的提问在本文尝试分析解答。
华罗庚：
惶恐什么呢？高等数学本身就是需要水平比较高一点的同志，要纵观全局的来给同志们讲的，特别是第一课，更应该提纲挈领地来给同志们介绍一下，高等数学大致是一些什么内容，可是从这点讲起来，对我个人讲的话，我可能是不称职的，因为我对数学的了解并不那么全面。
好在将来之后，有的是时候，有的是时间。将来之后，讲课的老师，会一步一步地给同志们讲清楚了的。
所以我今天讲的课里面，也很可能有若干地方，是同志们听不懂，或者听得是懂非懂的地方。可是在这种情况之下，大家可以拿这个先暂为记录下来，看将来之后，在工作中间，在学习中间，看是不是，啊，一步一步地看，拿它搞得更清楚更透彻。
点击可看视频 →
华罗庚讲归谬法：p/q = √2 = 2p'/2q'
人教版七年级数学下册
陶哲轩在写给本科生的讲义《实分析》中也讲解到了这个命题的证明过程，这个曾经引发过第一次数学危机的命题所造成的余波仍然荡漾在两千五百多年之后的数学汪洋上。同样，陶哲轩也没有给出详尽的论证过程。估计大数学家在讲授命题的时候都会事先假定受众已掌握了相应的基础知识，所以他们是只抓主干而忽略掉旁枝末节。
陶哲轩：《实分析》
我还看了油管上讲授此命题播放量排在前几位的视频，他们的讲解也都不比华罗庚和陶轩哲细致。
有一个编教材的美国公司（Worldwide Center of Mathematics）将“证明√2是无理数”这个命题编入了大学的基础课程清单（Basics: College Algebra），并强调说：对于数学家而言，学会这个命题是很重要的（...it's important for all mathematicians to learn）。
看到这里，你还会觉得我们数学课本里的内容都太简单了吗？[呲牙]
目前最厉害的教育改革家、教育思想家萨尔曼·阿明·可汗（Salman Amin Khan），是毕业于麻省理工学院的高材生，目前他是网上最会教数理化生的老师，他对何证明√2是无理数这个命题的解读也并不比华罗庚和陶哲轩细致多少，华罗庚省略掉没讲的，他也没讲。
萨尔曼·阿明·可汗（Salman Amin Khan）：假设我们回到400年前的西欧，在当时就已经是地球上文明最发达的地区之一，你会发现大概有15％的人口识字。估计当你去询问一个识字的人，比如一个神职人员，“你认为大概有多少人有识字的能力呢？”他们也许会说：“嗯，基于这强大的教育体系，大概有个20%或30%吧。”
但如果你快进到当下，我们会发现那样的预测实在太悲观了，现在几乎是人人都识字。
当我问你们一个类似的问题：“你们认为总人口中有多少是真正掌握微积分的，或是真正懂有机化学的，或是有能力为癌症研究作出贡献的呢？”你们中的很多就会回答：“嗯，基于这强大的教育体系，大概有个20%或30%吧。”
但假如那些判断仅仅是...基于你们的自身经历或仅是对周围人的观察而已呢？或是基于被迫跟从课堂进度，不断积累漏洞情况的呢？即使你掌握了95%的知识，那剩下的5%呢？
漏洞持续积累，直到进入高等课堂，突然碰壁，然后你们说：“我生来就不是个癌症研究人员，我不是做物理学家的料，我当不了数学家。”
...当我们能够从掌握知识的视角去审视...那真正掌握微积分或者有机化学的人数比例就会接近100%了...我认为这一切都建立在一个理念之上...
现在我来尝试解答那些留言中的疑问，我尝试为大家挖掘一下华罗庚都漏掉了一些啥命题。
华罗庚说，如果√2是有理数，那么它就可被写作两个整数之比的形式，即p/q的形式。
① 那么网上就有人问了，为什么有理数可以被写成两个整数之比的形式？或者说为什么有理数可以被写成分数的形式？
对此，陶哲轩在《实分析》中没有给出解释：
陶哲轩：《实分析》
王昆扬：关于 rational number 的译法.英语单词 rational 是“有理”的意思，类似于reasonable.但作为number的定语， 应该是 ratio 即比例的意思，所以 rational number 应是ratio-number 即比例之意。故通篇译为比例数，而不是有理数.相应地，irrational number 译作非比例数或非比数，而不是无理数。（陶哲轩：《实分析》，王昆扬 翻译）
我觉得，最好的解释可能就在《几何原本·第五卷·定义5》之中：
DEFINITIONS
5. Magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second and the third to the fourth, when, if any equimultiples whatever be taken of the first and third, and any equimultiples whatever of the second and fourth, the former equimultiples alike exceed, are alike equal to, or alike fall short of, the latter equimultiples respectively taken in corresponding order.
设a、b是同类的两个量，c、d也是同类的两个量，对任意的整数m与n，若三个关系式ma > = < nb 中之一成立时，必有三个关系式 mc > = < nd 中相应的一个成立，则说a比b与c比d有相同的比，即四个量成比例，称为a比b如同c比d（a：b = c：d）。 这就是欧几里得对四个量成比例所下的定义， 这个定义与现代对比例所下的定义是等价的。
（欧几里得：《几何原本》，兰纪正、朱恩宽 译）
欧几里得想告诉我们的潜在意思是：你随便写出任何一个有理数，无论它是整数，或者有限小数，还是无限循环小数，它们都能被套进《几何原本·第五卷·定义5》这个模式之中去，它们都是被这个数学模型所笼罩着的。
例如：
2 = 2：1 = 4：2
1.5 = 3：2 = 6 ：4
－1 = （﹣1）：1 = 2 ：（﹣2）
0 = 0：1 = 0：2
0.333... = 1：3 = 2：6
我们还可以任意地写出一个无限循环小数，然后再求出它的分数形式，例如我们写出的是 3.3...
设：
X = 3.3...
给此方程的两边同时乘以10得到：
10X = 33.3...
然后用 10X - X 就能得到3.33...的分数形式了：
10X － X = 33.3...－ 3.3...
9X = 30
X = 30/9
3.3... 的分数形式是 30/9
其实《几何原本·第五卷·定义5》所阐释的是整数与整数之间的一种关系，就是用一个整数去度量（去比较）另一个整数所产生出来的性质。
这个性质就是：你随便写出任何一个有理数，无论它是整数，或者有限小数，还是无限循环小数，它们都能被套进《几何原本·第五卷·定义5》这个模式之中去，它们都可显示为一种比较的关系。
《几何原本·第七卷·定义》
② 其实《几何原本·第五卷·定义5》这个数学模型还回答了另一个问题，它回答了华罗庚授课视频下方留言区所问的另一个问题：为什么表达有理数的两个正整数之比一定可以被化简为互质的形式p/q（化简为只能被单位“1”公共度量）？
能被同一量量尽的那些量叫作可公度量，而不能被同一量量尽的那些量叫作不可公度量。
（欧几里得：《几何原本·第十卷·定义1》，兰纪正、朱恩宽 译）
因为《几何原本·第五卷·定义5》说的是取任何倍数（any equimultiples），这就告诉我们，一个分数是可以被分写成无数种形式的：
1/2 = 2/4 = 4/8 = 8/16 = ......可一直这样无限延伸扩展下去
然而，这样从分子分母取相同倍数所得到的所有分数在本质上又都是同质的，前项（分子）占后项（分母）的比值是固定不变的；这些扩展分数像射线一样发射出去，没有终点，只有出发点，它们的出发点就是如1/2这般分子分母互质的分数。反过来讲，就是我们可以从延伸之后的任何点（扩展后的任何分数）返回到这个原始的起点（分子分母互质的分数）。
如果上边的解释还不够明确，那我们还可以再换一种解释：
我们假设一个不互质的有理数为 x = p/q（p≠0、q≠0），并假设这个有理数的分子分母约分后的互质分数为p'/q'
那么 p、q 的最大公因数就会是大于 1 的数
设p、q的最大公因数为 y
则 p' = p/y， q' = q/y
则 p = p'y，q = q'y
则 x = p/q = （p'y）/ （q'y） = p'/q'
推导显示，有理数最终会被化简为分子分母互质的分数。
③ 华罗庚说：在2q² = p²这个式子中，p一定能被2整除，p一定是偶数。那么留言区就在问：为什么p一定是偶数？
看到2q² = p²中的p一定是偶数这样的结论，我们就会猜想这样一个命题：如果一个整数 p 的平方是偶数，那么 p 一定是偶数。
我们可以先假定 p² 是偶数，同时假设 p 是奇数，看看会出现什么结果：
因为 p 是奇数，所以 p 可表示为 p = 2k + 1（k是整数）
所以 p² =（2k + 1）²
= （2k）² + 2 x 2k x 1 + 1²
这里用到了八年级数学上册里的完全平方公式，课本习题让七年级的学生遭遇了还没学到的八年级的内容，你还会认为数学课本里的讲解和习题都太简单了吗？
= 4k² + 4k + 1
= 2（2k² + 2k）+1
推导出来的结果是 p² 是奇数，这与我们所假定的 p² 是偶数相矛盾，所以 p 不是奇数，而是偶数。
如果还嫌不够明朗，我们再把 p 假设为偶数（p = 2k，偶数可表示为 2k 的形式）试试：
p² =（2k ）²
= 4k²
= 2 x 2k²
推导结果显示 p² 是偶数，与假定相一致。
丘成桐：还有一个有趣的事实，中国数学家几乎从来不用反证法来证明定理，大概原因：反证法虽然可以指出定理的真实性，却无法得出实际的应用。在欧几里得证明存在无穷多个素数时，西方数学家已经知道反证法的威力。古代中国对逻辑的运用远不如西方，对纯粹科学真理的兴趣也不如西方。（丘成桐：《数学史与数学教育》）
④ 最后一个问题，那么这个命题的最早给出者到底是谁？此问题不但百度百科不知道，甚至连有的数学家也搞错了，Tobias Dantzig说此命题是欧几里得给出的：
Tobias Dantzig：...Euclid’s beautiful proof, which isgiven below... Euclid’s proof of the incommensurability of the diagonal of the square with its side is of the type reductio ad absurdum. It is geometrical only in appearance,for it is based on pure consideration of the theory of numbers...（Number: The Language of Science. by Tobias Dantzig）
这个命题的具体身世被记录在《几何原本·第十卷》的附录之中，遗憾是它没被翻译成中文，国内所有的中文版《几何原本》都没有翻译它，所以搞得百度百科也不知道它的具体出处[呲牙]
The Thirteen Books of Euclid's Elements.by Euclid(Author), T.L.Heath(Translator)
古希腊数学史家Thomas Heath说这个命题的证明是毕达哥拉斯学派给出的，从毕达哥拉斯 → 亚里士多德 → 欧几里得三人在世的顺序看，此结论的可信度很高。因为亚里士多德在他的《前分析篇》中引述过这个命题，而欧几里得很可能是在亚里士多德离世之后才出生的，亚里士多德不可能生前穿越到未来（欧几里得所在的时代）去盗窃研究成果。
丘成桐：中国学者很少注意数学发展的历史和支持数学的基本哲学，大部分学者萧规曹随，解决一些问题而已......当我们读历代大数学家的生平和研究方法时，我们会知道数学思想的始源，因此在接触到美丽的自然现象时，会有自然的反应，可以开创新的思维。
（丘成桐：《数学史与数学教育》）
亚里士多德：《亚里士多德全集 1 · 前分析篇 》余纪元 翻译
让我们回到最初的问题，学课本里的讲解和习题真的都太简单了吗？
也许你会说，你不能只用如何证明√2是无理数这一道命题来证明数学课本里的内容都是很难的。
对此我的回答是，如果你仔细一点，并喜欢思考的话，课本里到处都隐藏着高深莫测之内容：
陈省身：考试只是一时表现，学问最要紧。
