抽絲剝繭，詳細解析初中數學題52

已知a，b，x，y為正實數，且a²+b²=1，x²+y²=1。

求證:ax+by≤1

解析：因為a，b，x，y都為正實數，

所以根據a²+b²=1，x²+y²=1，

可以構造兩個直角三角形，

但因為兩個直角三角形斜邊相等，

我們可以聯想到圓的直徑所對的圓周角90°，

構造一個圓和它的直徑所對的兩個直角三角形，

如下圖所示:

在⊙O中，直徑AB=1，

在Rt△ACB中，

令AC=a，BC=b

由a²+b²=AC²+CB²=AB²=1;

在Rt△ADB中，

令BD=x，AD=y，

由x²+y²=BD²+AD²=AB²=1;

綜上，構造的⊙O和兩個直角三角形符合題意，

則ax+by=AC·BD+CB·AD。

如果你還記得托勒密定理，

那麼則有：

AC·BD+CB·AD=AB·CD。

因為AB是直徑，

所以CD≤AB，

所以AC·BD+CB·AD≤AB²=1，

即ax+by≤1。

附:托勒密定理：圓內接四邊形兩條對角線的乘積等於兩對對邊乘積之和。

如下圖所示，ABCD為圓內接四邊形，則對角線AC與BD的乘積等於一對對邊AB與CD的乘積加上另一對對邊AD與BC的乘積，即

AC·BD=AB·CD+AD·BC。