很多人都認為數學課本里的講解和習題都太簡單了，他們認為只學數學課本里的內容會學習跟不上，會考試落後過不了關。這是真的嗎？
且容許我慢慢道來，也許讀完本文之後，你和孩子對學習方法的理解會被顛覆。
B站上有一段著名數學家華羅庚生前在電視上講數學的視頻，目前播放量已超過了112萬次，視頻下方有一千七百多條留言。在頭條和西瓜視頻上也能搜到這段錄像，西瓜視頻上的這段影像也被觀看了超過26萬次，視頻下方也有近千條留言。
華羅庚：我可能是不稱職的，因為我對數學的了解並不那麼全面
1979年2月8日，著名數學家華羅庚在電視上主講高等數學
在這段電視講座中，華羅庚所講解的是一種如何證明√2是無理數的方法，這正好就是現今人教版七年級數學下冊里的內容。但是從以上視頻下方的留言區可看出，很多人都聽不懂華羅庚在講什麼。他們不知道這個命題究竟出自哪裡，很多人說這是高中階段的知識，有些人乾脆說自己啥也聽不懂，也有一知半解的者，但感覺都是沒有徹底搞懂者。
華羅庚在講解前說了，為了達到「提綱挈領」的效果，他不是按步驟講解的，他講解之後，會有老師「一步一步地給同志們講清楚」。也就是說，華羅庚在講解的過程中跳過了詳細的論證過程。
因此有些看似「懂了」的人，也只是泛泛地知道華羅庚所教授的那幾步而已，其實他們並不清楚中間越過了哪些支撐性的命題；因此有些不甚明晰個中環節的誠實者，就提出了很多疑問。我在留言區挑選了幾個出現頻率比較高的提問在本文嘗試分析解答。
華羅庚：
惶恐什麼呢？高等數學本身就是需要水平比較高一點的同志，要縱觀全局的來給同志們講的，特別是第一課，更應該提綱挈領地來給同志們介紹一下，高等數學大致是一些什麼內容，可是從這點講起來，對我個人講的話，我可能是不稱職的，因為我對數學的了解並不那麼全面。
好在將來之後，有的是時候，有的是時間。將來之後，講課的老師，會一步一步地給同志們講清楚了的。
所以我今天講的課裏面，也很可能有若干地方，是同志們聽不懂，或者聽得是懂非懂的地方。可是在這種情況之下，大家可以拿這個先暫為記錄下來，看將來之後，在工作中間，在學習中間，看是不是，啊，一步一步地看，拿它搞得更清楚更透徹。
點擊可看視頻 →
華羅庚講歸謬法：p/q = √2 = 2p'/2q'
人教版七年級數學下冊
陶哲軒在寫給本科生的講義《實分析》中也講解到了這個命題的證明過程，這個曾經引發過第一次數學危機的命題所造成的餘波仍然蕩漾在兩千五百多年之後的數學汪洋上。同樣，陶哲軒也沒有給出詳盡的論證過程。估計大數學家在講授命題的時候都會事先假定受眾已掌握了相應的基礎知識，所以他們是只抓主幹而忽略掉旁枝末節。
陶哲軒：《實分析》
我還看了油管上講授此命題播放量排在前幾位的視頻，他們的講解也都不比華羅庚和陶軒哲細緻。
有一個編教材的美國公司（Worldwide Center of Mathematics）將「證明√2是無理數」這個命題編入了大學的基礎課程清單（Basics: College Algebra），並強調說：對於數學家而言，學會這個命題是很重要的（...it's important for all mathematicians to learn）。
看到這裡，你還會覺得我們數學課本里的內容都太簡單了嗎？[呲牙]
目前最厲害的教育改革家、教育思想家薩爾曼·阿明·可汗（Salman Amin Khan），是畢業於麻省理工學院的高材生，目前他是網上最會教數理化生的老師，他對何證明√2是無理數這個命題的解讀也並不比華羅庚和陶哲軒細緻多少，華羅庚省略掉沒講的，他也沒講。
薩爾曼·阿明·可汗（Salman Amin Khan）：假設我們回到400年前的西歐，在當時就已經是地球上文明最發達的地區之一，你會發現大概有15％的人口識字。估計當你去詢問一個識字的人，比如一個神職人員，「你認為大概有多少人有識字的能力呢？」他們也許會說：「嗯，基於這強大的教育體系，大概有個20%或30%吧。」
但如果你快進到當下，我們會發現那樣的預測實在太悲觀了，現在幾乎是人人都識字。
當我問你們一個類似的問題：「你們認為總人口中有多少是真正掌握微積分的，或是真正懂有機化學的，或是有能力為癌症研究作出貢獻的呢？」你們中的很多就會回答：「嗯，基於這強大的教育體系，大概有個20%或30%吧。」
但假如那些判斷僅僅是...基於你們的自身經歷或僅是對周圍人的觀察而已呢？或是基於被迫跟從課堂進度，不斷積累漏洞情況的呢？即使你掌握了95%的知識，那剩下的5%呢？
漏洞持續積累，直到進入高等課堂，突然碰壁，然後你們說：「我生來就不是個癌症研究人員，我不是做物理學家的料，我當不了數學家。」
...當我們能夠從掌握知識的視角去審視...那真正掌握微積分或者有機化學的人數比例就會接近100%了...我認為這一切都建立在一個理念之上...
現在我來嘗試解答那些留言中的疑問，我嘗試為大家挖掘一下華羅庚都漏掉了一些啥命題。
華羅庚說，如果√2是有理數，那麼它就可被寫作兩個整數之比的形式，即p/q的形式。
① 那麼網上就有人問了，為什麼有理數可以被寫成兩個整數之比的形式？或者說為什麼有理數可以被寫成分數的形式？
對此，陶哲軒在《實分析》中沒有給出解釋：
陶哲軒：《實分析》
王昆揚：關於 rational number 的譯法.英語單詞 rational 是「有理」的意思，類似於reasonable.但作為number的定語， 應該是 ratio 即比例的意思，所以 rational number 應是ratio-number 即比例之意。故通篇譯為比例數，而不是有理數.相應地，irrational number 譯作非比例數或非比數，而不是無理數。（陶哲軒：《實分析》，王昆揚 翻譯）
我覺得，最好的解釋可能就在《幾何原本·第五卷·定義5》之中：
DEFINITIONS
5. Magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second and the third to the fourth, when, if any equimultiples whatever be taken of the first and third, and any equimultiples whatever of the second and fourth, the former equimultiples alike exceed, are alike equal to, or alike fall short of, the latter equimultiples respectively taken in corresponding order.
設a、b是同類的兩個量，c、d也是同類的兩個量，對任意的整數m與n，若三個關係式ma > = < nb 中之一成立時，必有三個關係式 mc > = < nd 中相應的一個成立，則說a比b與c比d有相同的比，即四個量成比例，稱為a比b如同c比d（a：b = c：d）。 這就是歐幾里得對四個量成比例所下的定義， 這個定義與現代對比例所下的定義是等價的。
（歐幾里得：《幾何原本》，蘭紀正、朱恩寬 譯）
歐幾里得想告訴我們的潛在意思是：你隨便寫出任何一個有理數，無論它是整數，或者有限小數，還是無限循環小數，它們都能被套進《幾何原本·第五卷·定義5》這個模式之中去，它們都是被這個數學模型所籠罩着的。
例如：
2 = 2：1 = 4：2
1.5 = 3：2 = 6 ：4
－1 = （﹣1）：1 = 2 ：（﹣2）
0 = 0：1 = 0：2
0.333... = 1：3 = 2：6
我們還可以任意地寫出一個無限循環小數，然後再求出它的分數形式，例如我們寫出的是 3.3...
設：
X = 3.3...
給此方程的兩邊同時乘以10得到：
10X = 33.3...
然後用 10X - X 就能得到3.33...的分數形式了：
10X － X = 33.3...－ 3.3...
9X = 30
X = 30/9
3.3... 的分數形式是 30/9
其實《幾何原本·第五卷·定義5》所闡釋的是整數與整數之間的一種關係，就是用一個整數去度量（去比較）另一個整數所產生出來的性質。
這個性質就是：你隨便寫出任何一個有理數，無論它是整數，或者有限小數，還是無限循環小數，它們都能被套進《幾何原本·第五卷·定義5》這個模式之中去，它們都可顯示為一種比較的關係。
《幾何原本·第七卷·定義》
② 其實《幾何原本·第五卷·定義5》這個數學模型還回答了另一個問題，它回答了華羅庚授課視頻下方留言區所問的另一個問題：為什麼表達有理數的兩個正整數之比一定可以被化簡為互質的形式p/q（化簡為只能被單位「1」公共度量）？
能被同一量量盡的那些量叫作可公度量，而不能被同一量量盡的那些量叫作不可公度量。
（歐幾里得：《幾何原本·第十卷·定義1》，蘭紀正、朱恩寬 譯）
因為《幾何原本·第五卷·定義5》說的是取任何倍數（any equimultiples），這就告訴我們，一個分數是可以被分寫成無數種形式的：
1/2 = 2/4 = 4/8 = 8/16 = ......可一直這樣無限延伸擴展下去
然而，這樣從分子分母取相同倍數所得到的所有分數在本質上又都是同質的，前項（分子）佔後項（分母）的比值是固定不變的；這些擴展分數像射線一樣發射出去，沒有終點，只有出發點，它們的出發點就是如1/2這般分子分母互質的分數。反過來講，就是我們可以從延伸之後的任何點（擴展後的任何分數）返回到這個原始的起點（分子分母互質的分數）。
如果上邊的解釋還不夠明確，那我們還可以再換一種解釋：
我們假設一個不互質的有理數為 x = p/q（p≠0、q≠0），並假設這個有理數的分子分母約分後的互質分數為p'/q'
那麼 p、q 的最大公因數就會是大於 1 的數
設p、q的最大公因數為 y
則 p' = p/y， q' = q/y
則 p = p'y，q = q'y
則 x = p/q = （p'y）/ （q'y） = p'/q'
推導顯示，有理數最終會被化簡為分子分母互質的分數。
③ 華羅庚說：在2q² = p²這個式子中，p一定能被2整除，p一定是偶數。那麼留言區就在問：為什麼p一定是偶數？
看到2q² = p²中的p一定是偶數這樣的結論，我們就會猜想這樣一個命題：如果一個整數 p 的平方是偶數，那麼 p 一定是偶數。
我們可以先假定 p² 是偶數，同時假設 p 是奇數，看看會出現什麼結果：
因為 p 是奇數，所以 p 可表示為 p = 2k + 1（k是整數）
所以 p² =（2k + 1）²
= （2k）² + 2 x 2k x 1 + 1²
這裡用到了八年級數學上冊里的完全平方公式，課本習題讓七年級的學生遭遇了還沒學到的八年級的內容，你還會認為數學課本里的講解和習題都太簡單了嗎？
= 4k² + 4k + 1
= 2（2k² + 2k）+1
推導出來的結果是 p² 是奇數，這與我們所假定的 p² 是偶數相矛盾，所以 p 不是奇數，而是偶數。
如果還嫌不夠明朗，我們再把 p 假設為偶數（p = 2k，偶數可表示為 2k 的形式）試試：
p² =（2k ）²
= 4k²
= 2 x 2k²
推導結果顯示 p² 是偶數，與假定相一致。
丘成桐：還有一個有趣的事實，中國數學家幾乎從來不用反證法來證明定理，大概原因：反證法雖然可以指出定理的真實性，卻無法得出實際的應用。在歐幾里得證明存在無窮多個素數時，西方數學家已經知道反證法的威力。古代中國對邏輯的運用遠不如西方，對純粹科學真理的興趣也不如西方。（丘成桐：《數學史與數學教育》）
④ 最後一個問題，那麼這個命題的最早給出者到底是誰？此問題不但百度百科不知道，甚至連有的數學家也搞錯了，Tobias Dantzig說此命題是歐幾里得給出的：
Tobias Dantzig：...Euclid』s beautiful proof, which isgiven below... Euclid』s proof of the incommensurability of the diagonal of the square with its side is of the type reductio ad absurdum. It is geometrical only in appearance,for it is based on pure consideration of the theory of numbers...（Number: The Language of Science. by Tobias Dantzig）
這個命題的具體身世被記錄在《幾何原本·第十卷》的附錄之中，遺憾是它沒被翻譯成中文，國內所有的中文版《幾何原本》都沒有翻譯它，所以搞得百度百科也不知道它的具體出處[呲牙]
The Thirteen Books of Euclid's Elements.by Euclid(Author), T.L.Heath(Translator)
古希臘數學史家Thomas Heath說這個命題的證明是畢達哥拉斯學派給出的，從畢達哥拉斯 → 亞里士多德 → 歐幾里得三人在世的順序看，此結論的可信度很高。因為亞里士多德在他的《前分析篇》中引述過這個命題，而歐幾里得很可能是在亞里士多德離世之後才出生的，亞里士多德不可能生前穿越到未來（歐幾里得所在的時代）去盜竊研究成果。
丘成桐：中國學者很少注意數學發展的歷史和支持數學的基本哲學，大部分學者蕭規曹隨，解決一些問題而已......當我們讀歷代大數學家的生平和研究方法時，我們會知道數學思想的始源，因此在接觸到美麗的自然現象時，會有自然的反應，可以開創新的思維。
（丘成桐：《數學史與數學教育》）
亞里士多德：《亞里士多德全集 1 · 前分析篇 》余紀元 翻譯
讓我們回到最初的問題，學課本里的講解和習題真的都太簡單了嗎？
也許你會說，你不能只用如何證明√2是無理數這一道命題來證明數學課本里的內容都是很難的。
對此我的回答是，如果你仔細一點，並喜歡思考的話，課本里到處都隱藏着高深莫測之內容：
陳省身：考試只是一時表現，學問最要緊。
