為了滿足你的好奇心，把你從數學術語中解救出來，簡單的解釋是：
x = 1 + 2 + 4 + 8 + …
x = 1+ (2 + 4 + 8 + …)
x = 1+ 2(1 + 2+ 4 + 8…)
x = 1+ 2x
x = -1
這與計算收斂無窮級數的方法幾乎完全相同。但對於收斂級數，如1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16…很容易可視化和理解，而發散級數則不然。
發散與收斂
收斂級數是其和趨於某個數字的級數。例如，收斂級數1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…顯然趨近於某個極限，即1，如下面的幾何圖所示。
我們也可以用它們的“部分和”來區分發散和收斂。顧名思義，“部分和”是數列中一部分項的和。我們可以用幾何級數的公式表示1/2 + 1/4 + 1/8的前n項的部分和。
通過這個公式，我們看到一個收斂級數的部分和似乎趨近於1，這在函數圖中更加明顯。
然而，在發散的情況下，部分和不趨近於一個值，而是發散到無窮大。
計算髮散級數的“規則”
定義（正則）：如果級數的求和方法給出了收斂級數的正確答案（即部分和數列的極限），則求和方法是正則的，
線性
要成為線性的，和必須是可分配和可分解的：
在線性條件下，長度相等的和的項可以分組，
穩定性
定義：當可以從求和中“提取”項時，求和方法就具有穩定性，
並不是所有級數求和方法都滿足這些條件（特別是穩定性）。注意，大多數對級數求和的方法並不適用於每個級數；目標是找到並使用儘可能多有趣和重要的級數相加的方法。
線性與穩定性結合
x = 1 + 2 + 4 + 8 + …
(1) x = 1+ (2 + 4 + 8 + …)
(2) x = 1+ 2(1 + 2+ 4 + 8…)
x = 1+ 2x
x = -1
顯然，這個發散級數的極限是無窮大，而我得到了一個有限值答案。但我們可以證明它確實符合線性和穩定性，
(1) x = 1+ (2 + 4 + 8 + …)
在(1)中，我們可以從求和中提取一項，這相當於
因此我們可以說求和法是穩定的。
(2) x = 1+ 2(1 + 2+ 4 + 8…)
對於(2)我們可以從和式中提出2，這就等於
這表明級數是線性的。
有了這個，就得到了1 + 2 + 4 + 8 + … = -1的答案。
這個答案似乎都很奇怪，但請注意，它們都代表了一個已知幾何級數公式的延續，
在微積分中，我們知道，只有當r∈（-1，1）時，級數才收斂。得到上述例子答案的一種方法是使用這個公式，但要代入收斂區間之外的值，即r= 2。當然，這不是一般的求和方法，但它確實給了我們一種直觀的感覺，讓我們知道答案是從哪裡來的。
蔡查羅求和
蔡查羅求和的方法如下：取無限級數部分和平均值的極限。假設一個級數，
s_k是其第k個部分和，那麼
k趨近於無窮大時的極限（如果存在）就是級數的極限。
例如，1-1+1-1+1-1+……，部分和是1,0,1,0,1……，級數是不收斂的，因為這個數列的極限不存在。但是部分和的平均值級數是，
它收斂與1/2，所以這個級數（1-1+1-1+1-1+……）是蔡查羅可求和的嗎，答案是1/2。
蔡查羅可求和性允許某些具有振蕩部分和序列的級數被“平滑”，但如果級數的部分和變成無窮大（如調和級數），部分和的平均值也會達到無窮。本文的例子“1 + 2 + 4 + 8 + …”不可蔡查羅求和。
阿貝爾求和
阿貝爾求和涉及冪級數的極限：如果極限存在，定義
這說明如果級數收斂，那麼上面方程右邊的極限存在並且等於這個和。注意1-1+1-1+1-1+……是可阿貝爾求和的，因為
事實上，任何可蔡查羅求和的級數也是可阿貝爾求和的，它們的和是一樣的。因此，阿貝爾可求和性更強。
黎曼zeta函數正則化
利用復值函數的解析延拓定義了一些求和方法。函數f的解析延拓是函數g，它定義在比f更大的集合上，它在定義域上處處可微。
最具啟發性的例子是黎曼zeta函數
只有當複數s的實部Re(s)大於1時，級數才收斂，但是有一個函數方程，它將zeta函數擴展為一個除了s= 1之外都定義良好且處處可微的函數。這個函數方程可進行如下計算，
所以代入s=-1到zeta函數的級數表示中，得到，
結果證明，這個和在弦理論和量子力學一維卡西米爾效應的計算中有實際應用。
函數
可能會收斂在一個復半平面上，但如果它可以解析地延拓到定義為s= -1的函數，則可以將函數在-1處的值與級數的和聯繫起來。注意，這種方法是穩定的，但不是線性的。
狄利克雷級數正則化
另一個有時被稱為zeta函數正則化的概念是狄利克雷級數
如果f可以解析延拓到0，那麼將f(0)的值賦值給右邊。這是一種不同於zeta函數正則化的方法，它是線性的，但不穩定。
發散級數的和通常在物理中有應用，如1+2+3+4+……，一般的思想是，如果一個物理情況由一個函數f描述，這個函數f由一個級數定義，它只收斂於一些不包括s的值集，那麼f的解析延拓g有一些更大的值集（包括s），它與f密切相關，以至於g(s)可以有一些有意義的物理解釋，即使f(s)沒有定義。
僅僅是對無窮髮散級數的研究就能讓我們得到一些有趣的見解，正如萊昂哈德·歐拉向我們展示的那樣——對數學整體有深刻的發現。
