今天我们将谈论的是物理学中影响最深远的思想之一，它被称为最小作用原理，它是从牛顿力学到相对论再到量子力学和量子场论的大量知识的基本思想。
假设我们有一个粒子，从A点运动到B点，到达那里的路径是什么？牛顿力学给了我们一种回答这个问题的方法，但是牛顿方法应用到向量，如果在多粒子情况下，计算将变得非常复杂。在18世纪拉格朗日和其他人提出了一个不同的建议，他们为每条可能的路径分配了一个称为作用量的数字，然后证明了粒子所遵循的轨迹实际上是作用量最小化的轨迹。
牛顿力学
我们要回答的问题是，一个质量为m的粒子，在时刻t1处于位置X1，在时刻t2时位置为X2，这个粒子会遵循怎样的轨迹？在这里，我们只使用一个维度X来减小复杂性，但得出的结果可以推广到三个维度中去。
牛顿告诉我们，要回答这个问题，我们应该写下粒子上的所有力，然后让它等于质量乘以加速度。此外，我们也知道了力是势能U的导数关系，结合这两个式子，可以得到一个全新的公式，写下来就是：
事实上，我们将用最小作用原理得到这个新的公式。也就是说，从新方法中也能得出牛顿力学。
最小最用原理
在拉格朗日的方法中，我们将定义一个拉格朗日量L，其值为动能减去势能，如下说所示：
我们可以通过沿粒子轨迹积分拉格朗日量来定义S，这个量被称为作用量：
粒子有非常多条可能的轨迹，但我们要寻找的是使作用量S最小化的轨迹（实际上最大化也可以），它才是粒子的真实轨迹。
如果我们成功找到了最小化作用量的轨迹，那么对于任意时间t，我们都加上一个微小变化ε(t)，那么我们只是在轨迹上加上一些小摆动x(t)+ε(t)，极限情况下作用量S应该是不会变的。因此我们重写拉格朗日量：
扩展第一项，并略去高阶小量：
同样我们也要扩展第二项，使用泰勒级数展开并略去高阶小量：
于是，我们重写扩展后的拉格朗日量：
那么，拉格朗日量之差ΔL就有如下公式：
那么，在极限的情况下，我们就希望作用量ΔS=0：
先看前一项：
虽然它的轨迹添加了一些微小的摆动ε，但是起点和终点的是固定的，也就是说ε=0，所以这一项就等于零了。因此，我们就剩下后一项为零：
所以，被积函数就得等于0：
这正是之前从牛顿力学推导出的方程。此外，由于有以下关系：
我们可以得到：
这就是我们所熟悉的欧拉-拉格朗日方程，在求解多粒子系统的某些情况下，比直接使用牛顿力学更好用。
