導數與零點,這種題目很綜合:容納了很多知識點

2025年04月13日21:20:38 教育 3566
導數與零點,這種題目很綜合:容納了很多知識點 - 天天要聞

這篇我們繼續說導數





上圖這種壓軸題,有時候是3問,有時候是兩問。


通常第一問都是送分題,即便如此,第一問出的也是很有水平的。


就拿這道題來說。


x軸是函數的切線,說明什麼?


  • 1,存在一個x,對應的導數值為0;

  • 2,存在一個x,對應的y值為0。


假設這個x=k.


那麼,我們可以得到一個方程組。


然後我們再解方程,就可以求出k值和a值。


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小小一道題,融合了方程思維、導數概念、求導計算、解多元方程,是很考驗功力的——學生的+老師的。


這就是為什麼我強調,概念要非常熟!這是基礎。


然後,在此之上去總結:


  • 什麼樣的概念經常組合在一起;

  • 當遇到某些說法時,你知道要調取什麼知識。


下面看第二問。


難度直接升級,不過不要慌,咱先做簡單的唄。


討論h(x)的零點,h(x)是兩個函數中最小的那個。


先找特殊情況,g(x)是對數函數,當x=1時,g(x)=0。


而f(x)則視a的情況而定。


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這麼一討論,一個零點就找到了。


好,再找特殊情況,x>1的時候,很顯然g(x)<0。


f(x)不好判斷,但可以肯定,無論a取什麼值,它絕對有大於0的時候。


所以,h(x)=g(x)。


此時沒有零點。


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做到這一步,就能拿8分了。


剩下4分,看你的了。


再努努力,我們討論0<x<1的時候。


對數函數在這裡>0,f(x)得看a,咱們不確定,所以重點討論它。


我們先求導,然後還是從最好討論的情況開始。


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接著再看-3<a<0的情況。


我們還是要討論單調性,根據導數的正負,我們還得把a的區間再細分。


f』(x)=0,得到x的值,然後再劃分區間。


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一減一增說明函數有最小值。


接著算出這個最小值,然後討論最小值的情況。


  • 如果最小值都大於零,說明函數在x軸的上方,那麼無零點;

  • 如果最小值等於零,最小值就是一個零點;

  • 如果最小值小於零我們又要討論了。


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現在到最後一步,我們要討論最小值<0的情況。


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到這裡我們就全討論完了。


最後還要總結一下:


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好了結束了。


難倒是不難,就是有點麻煩。


而且需要調動各種知識:


解不等式、二次函數、二次函數分區間討論、增減性與零點。


再強調一下,基礎不能差,該知道的必須熟悉!


多總結總結,也就會了。


最起碼能得10分吧。


很多題目只要你對它祛魅,它就不難。

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