梅涅劳斯定理与相似三角形

2025年06月23日07:12:02 教育 1814

梅涅劳斯定理因为都是线段比例关系,所以极易和相似三角形扯上关系,下面是一道初中竞赛题,便是运用梅涅劳斯定理得出三角形相似,从而最终解决问题。

如下图,凸四边形ABCD的对角线AC、BD交于M,过M作AD的平行线分别交AB、CD于E、F,交BC延长线于O,P是以O为圆心,以OM为半径的圆上一点,求证:∠OPF=∠OEP。

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用梅涅劳斯定理的另一个好处是,不用做辅助线,但截线关系不容易发现。

证明:直线OCB是△DMF的截线,由梅涅劳斯定理(DB/BM)(MO/OF)(FC/CD)=1同时OCB也是△AME的截线,同样可得:(AB/BE)(EO/OM)(MC/CA)=1。

变形可得OF/MO=(DB/BM)(FC/CD)

EO/OM=(BE/AB)(CA/MC),两者相乘得OF·EO/OM²=(DB/BM)(FC/CD)(BE/AB)(CA/MC)

因为EF//AD,所以DB/MB=AB/EB,FC/DC=MC/AC,代入上一步所得式子可得OF·EO/OM²=1,由于OP=OM,所以OF·EO=OM²=OP²,即OF/OP=OP/EO,又∠POF为公共角,所以△OFP∽△OPE所以∠OPF=∠OEP。

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