一题搞定因式分解7种方法，速通

英式分解这里有七道题，把英式分解几乎所有的方法都涉及到了。

·第一题是一个简单的题，公英式法。大家看这里有三项，这三项首先发现ab是公英式对不对？先把ab给提出来，剩下边三倍a平方b减去六倍的ab平方加上四分之二十七。再来看括号里面是不是还可以提公因数？可以把四分之一给提出来就变成了四分之一的ab，一十二倍a平方b减去二十四倍的ab平方加上二十七。

再来看这里面的常数项是不是又能提一个三出来就变成了四分之一倍的ab乘以四倍a平方b减去八倍的ab平方加上九。第一题就做完了，就是一个不断的提供应式，找到最后实际上真正的供应式是四分之一倍的ab，也可以一步到位。

·如果足够熟练再来看第二题，第二题很明显，平方以及这两个字母一次方的乘积，所以很明显想到一个公式法中的完全平方公式。九倍x平方可以写作三x的平方减去二十四倍的xy加上四倍y的平方。二十四是不是可以写成两倍的三再乘以四，所以最后就变成了三x减四倍y的完全平方。这是一个什么方法叫公式法？

·再来看第三题，第三题看起来很复杂，但是发现有一个内在的规律就是xn次方。大家看x四次方、三次方、二次方、一次方和零次方，有这个规律并不能帮助解题。进而再来看x的四次方和两倍x的平方和一就是一的平方，这三个是不是能分在一组构成一个完全平方的公式。

所以第三题的方法首先用分组分解的方法，如何分组？x的四次方、二倍x平方和一分在一组，剩下的x3次方加x再分在一组。然后再结合，大家看看这一个括号里面是用公式法，另外一个括号是不是可以提一个公因式？所以分组加上公式法，再加上公式法。

再来看看，首先处理第一个括号变成了x平方加一的平方加上第二个括号提一个x出来变成x平方加一。这里首先它不是因式分解最后的结果，因为因式分解是和差化积，要写成n个因式相乘，这里有一个加号肯定是不可以的。

然后再来看x平方加一，x平方加一这么进而再提一个公因式，x平方加一乘以x平方加一再加x。这里就做完了。

·再来看第四题，第四题首先给出这个式子有两项，这是第一项这是第二项，第一项和第二项似乎没有公因式可以提，也找不到相应的公式，所以首先先把它们给展开，展开之后得到。a、b、c的平方减a、b、d的平方减去a平方、c、d加上b、e平方、c、d，一共得到了四项。这四项原来前面两项和后面两项分别是一个分配率，也就提了供应式。

能不能重新分一个组？把第一项和第三项放在一起，第二项和第四项放在一起，有新的供应式可以提。现在看第一项和第三项放在一起之后，它们的供应式是a、c，对不对？a、c乘以b、c减去a、d。

再来看剩下的第二项和第四项放在一起之后，它们的公因式是写作加上b、d乘以第四项的b、c减去第三项的a、d。这样分完组之后发现这两项又有新的供应式可以提，这个括号里面的于是就变成了b、c减a、d乘以a、c加上b、d就做完了。

所以这第四道题的方法首先重新分组叫分组分解，再加上公因式法。而且提了两是公因式，重新分组之后第一次分组分别提了公因式a、c和b、d，然后又提了公因式括号里面的b、c减a、d。

再来看第五题，第五题a的四次方，b的四次方，然后平方的成绩大家看看，这很像完全平方的公式，a的四十方是不是可以写作a平方的平方？b的四十方可以写作b平方的平方，中间就是a平方乘以b平方，再加一个a平方乘以b平方是不是完全平方的公式？

所以加一个a平方乘以b多加一个a平方、b平方，然后再减去一个a平方、b平方。这里有四项，这四项是不是就变成了a平方加上b平方的平方，然后剩下的一个减去a平方、b平方。这就做完了吗？这肯定不是因式分解最后的结果，因为它还不是乘积的形式。

又来看这个平方减去一个ad的平方，那不就可以利用平方差的公式？a平方加b平方减去ab乘以a平方加b平方加上ab，这不就做完了。所以这第五题的方法是什么？是天象。天象体现在哪里？体现在关于a平方、b平方这里有一个a平方、b平方，加上一个a平方、b平方，然后再减去一个a平方、b平方，这个a平方、b平方是不是添出来了一个？添出来一个之后就变成了两个，变成两个之后就是不是就可以变成完全平方了？

天象是一个方法，还有公式法。再来看第六题，第六题又有x平方、y的平方还有x乘以y，但是很难把它变成完全平方的公式去用，也就是说第一项很难把它变，不可能用根号一十二x的。这个是根号7的y的平方，再去用完全平方法就很难，不可能这样去构造了。该怎么办？首先很容易观察得到x等于y是原式等于零的解，所以这道题方法是待定系数法。

这个待定系数法可以去看我的网课白体闯关，因此分解七种武器中最后一种武器有详细的说明，我的网课用户如果没有可以发给你。也就是x减y是整个代数式的一个因式，只要把后面括号里面的因式给确定就可以了。

用代定系数法也就是命第二个括号里面a倍x加b倍的y加c，为什么是a倍的x加b倍的y加c？因为x最高次数是二，左边已经有了一次了，所以第二个括号里面x的最高次数应该是一，同理y的最高次数是二，左边括号有一个y的一字方法，同理第二个括号里面y的最高次数也是一，再设一个常数c，也就是只要把a、b、c这三个系数给求出来，整个英式分解是不是就做完了？

这是一种方法，有同学问怎么知道x等于y是整个方程的解的？这个时候为了回答这个问题可以用另外一种方法叫主元法，什么意思？x和y都是代数式的两个字母，可以把任意其中的一个字母当做主元，比如把x当做主元，这就是一个关于x的一元二次方程，y就当做了常数，主元把x当做主元，于是就变成了十二倍x平方减去一十九倍的xy加上七倍y平方等于零，这个方程中x是圆，二次项的系数是十二，一次项的系数是负十九倍的y，就写在这里，负十九倍的y，常数项就是七倍y平方去解这样的一个方程。

这个方程是关于x的方程，可以用十字相乘或者用公式很容易解得x等于y或者x等于十二分之七y，这没问题吧？这个方程把y当做常数，x当未知数很容易解得这样的解，都解出这样的解了，原式不就直接写作x减y乘以x减一十二分之七y，这不就分解完了？这是主元法。

再回到待定系数法，得到了x等于y，如何把a和b、c给求出来？其实就是把这个式子给展开，这个方法在我百题闯关是讲过的，展开之后得到a、x平方加上b减a倍的xy加c，x减c，y减去b、y的平方，左边圆式绿色的部分的圆式要等于这块式子，就是对应字母，和字母的次数要相等，x平方和x平方相等，a就等于12，包括xy相乘和xy相乘相等，b减a就等于-19。

所以最后按照这种思路就得到了一个方程，a等于12，b减a等于-19，负b等于7，c等于0。也就是a、b、c全部求出来了，a、b、c求出来再带回去，还是得到右边这种形式。所以d第六题可以用两种方法，一个是代定系数，一个是主元法。

第七题看似更复杂，其实思路和第六题一样的。首先用主元法，然后再做因式分解就可以了。把最后第七问的结果写在上面，写在这里。第七问大家看这个式子很复杂，非常的长，而且字母有a、b、c也很多，该怎么办？

先选择一个主元，可以选a也可以选b，就选a，把a这个组元的次数从最高次数往下排，最高次数就是a的平方，把a的平方都写在一起，变成了a平方乘以b加c减去a的一次方的b平方加c平方加三倍bc乘以a，最后不含a的加上b平方c加bc平方。

这就是原式通过变形之后得到的关于a的降次排列，a的二次，a的一次和a的零次。接下来把a当做主元之后就解它等于零这个方程，很难解对不对？但是可以通过十字相乘，发现这一项和这里就变成了a的b加c，这是a的一次方，a乘以一，右边这个长竖向提的公因式负bc，另外就是负b加c，然后十指相乘，十指相乘刚好就能拼凑出中间这个结果。

也就是这道题是可以用十指相乘得到的因式分解的结果，最后就变成了这项和这项放在一个括号里面，ab加c减bc，下面的也放到一个括号里面，a减b减c。这个题因式分解也就做完了，最后的结果还是相乘的形式。

关于因式分解的所有方法这七道题就已经给大家讲完了，最后的待定系数和主元法稍微复杂一点，但其实换汤不换药，在这个百计闯关也是能够看到的。这道题就讲正，大家好好体会一下。