导数与零点,这种题目很综合:容纳了很多知识点

2025年04月13日21:20:38 教育 3566
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这篇我们继续说导数





上图这种压轴题,有时候是3问,有时候是两问。


通常第一问都是送分题,即便如此,第一问出的也是很有水平的。


就拿这道题来说。


x轴是函数的切线,说明什么?


  • 1,存在一个x,对应的导数值为0;

  • 2,存在一个x,对应的y值为0。


假设这个x=k.


那么,我们可以得到一个方程组。


然后我们再解方程,就可以求出k值和a值。


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小小一道题,融合了方程思维、导数概念、求导计算、解多元方程,是很考验功力的——学生的+老师的。


这就是为什么我强调,概念要非常熟!这是基础。


然后,在此之上去总结:


  • 什么样的概念经常组合在一起;

  • 当遇到某些说法时,你知道要调取什么知识。


下面看第二问。


难度直接升级,不过不要慌,咱先做简单的呗。


讨论h(x)的零点,h(x)是两个函数中最小的那个。


先找特殊情况,g(x)是对数函数,当x=1时,g(x)=0。


而f(x)则视a的情况而定。


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这么一讨论,一个零点就找到了。


好,再找特殊情况,x>1的时候,很显然g(x)<0。


f(x)不好判断,但可以肯定,无论a取什么值,它绝对有大于0的时候。


所以,h(x)=g(x)。


此时没有零点。


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做到这一步,就能拿8分了。


剩下4分,看你的了。


再努努力,我们讨论0<x<1的时候。


对数函数在这里>0,f(x)得看a,咱们不确定,所以重点讨论它。


我们先求导,然后还是从最好讨论的情况开始。


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接着再看-3<a<0的情况。


我们还是要讨论单调性,根据导数的正负,我们还得把a的区间再细分。


f’(x)=0,得到x的值,然后再划分区间。


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一减一增说明函数有最小值。


接着算出这个最小值,然后讨论最小值的情况。


  • 如果最小值都大于零,说明函数在x轴的上方,那么无零点;

  • 如果最小值等于零,最小值就是一个零点;

  • 如果最小值小于零我们又要讨论了。


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现在到最后一步,我们要讨论最小值<0的情况。


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到这里我们就全讨论完了。


最后还要总结一下:


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好了结束了。


难倒是不难,就是有点麻烦。


而且需要调动各种知识:


解不等式、二次函数、二次函数分区间讨论、增减性与零点。


再强调一下,基础不能差,该知道的必须熟悉!


多总结总结,也就会了。


最起码能得10分吧。


很多题目只要你对它祛魅,它就不难。

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