16.如图,将矩形纸片ABCD折叠,折痕为MN,点M、N分别在边AD、BC上,点C、D的对应点分别为点E、F,且点F在矩形内部,MF的延长线交边BC于点G,EF交边BC于点H,EN=2,AB=4,当H为GN的三等分点时,MD的长为________
24.(1)如图1,ABO和COD是等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,OA=OB,OC=OD,点C在边OA上,点D在BO的延长线上,连接AD、BC,线段AD与BC的数量关系是_____
(2)如图2,将图1中的COD绕点O顺时针旋转(0<<90°),(1)问中的结论是否依然成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由;
(3)如图3,若AB=8,点C为线段AB外一点,AC=3√3,连接BC
①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD,连接AD,则AD的最大值为______
②若以BC为斜边的RtBCD(B、C、D三点按顺时针排列),∠CDB=90°,连接AD,当∠CBD=∠DAB=30°时,直接写出AD的值.
解:(1)AD=BC
(2)由AOD=BOC,OA=OB,OC=OD,故AODBOC,故AD=BC
(2)①以AC为直角边,作等腰直角三角形ACE,AD=BE,由瓜豆原理可知E点的轨迹为圆,
当B、A、E共线时,ADmax=8+3√6
点评:此题的难点在于手拉手模型的扩展,构造类似的模型,利用相似解决问题;当然,可能多数同学画图都有相当大的困难,多数同学拿不下!
24.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3的图像经过点B(6,0),D(4,-3),与x轴的另一个交点为A,与y轴交于点C,作直线AD.
(1)①求抛物线的表达式;②直接写出直线AD的函数表达式;
(2)点D是直线AD下方抛物线上一点,连接BE交AD于点F,连接BD,DE,BDF的面积记为S1,DEF的面积记为S2,当S1=2S2时,求点E的坐标;
(3)点G为抛物线的顶点,将抛物线图像x轴下方的部分沿x轴向上翻折,与抛物线剩下的部分组成新的曲线,记为C1,记点的对应点为C′,点G的对应点为G′,将曲线C1沿y轴向下平移n(0<n<6)个单位长度,曲线C1与直线BC的公共点中,选两个公共点为P和Q,若四边形C′G′QP为平行四边形,直接写出点P的坐标.
点评:题目不仅考查二次函数图像的翻折还考查了平移,函数解析式、平行四边形存在的情形、计算,都有一定的难度,对同学们是一个巨大的考验.