分形幾何是在本世紀70年代中期由美籍數學家曼德布羅特創立的一門新學科。它與孤立子理論、混沌理論並列為非線性科學研究中的三大理論。暫時不說它是一門數學學科，是因為有人反對把它看作數學的一個分支。不過事實上有很大一部分人認為它是數學，不過是不同於歐幾里得幾何的又一門新的幾何學分支，其研究對象是大自然中那些不規則的、粗糙的、具有自相似特點的幾何形狀，實踐還表明它是研究耗散結構、混沌動力學的有力工具。
在介紹分形幾何之前，先引用曼德布羅特在得Banad獎時弗里曼·戴森教授對其所創立的分形的一個精練的概括和評價∶
……這是一個將20世紀的現代數學和19世紀的古典數學區別開的偉大的思想革命．古典數學植根干歐幾里得的規則幾何結構和牛頓的連續演化力學，而現代數學則開始於康托的集合論和皮亞諾的空間填充曲線。
……這些新的結構被認為是「魔鬼的畫廊」，它們與幾乎是同時代建立的立體派藝術家的繪畫作品和無調的音樂作品一樣是讓人難以理解的。創造『魔鬼』集合的數學家們之所以認為這些集合是重要的，是因為它們反映了當時人們的一種數學觀∶即純數學世界是人們思想自由的創造物，而不僅僅是自然界中所看到的各種簡單結構的反映。20世紀的數學是在這樣一種信仰的基礎上發展起來的，它完全凌駕於自己固有的起源所強加給的極限。
作為研究幾何形狀的學科，佔據達 20 多個世紀統治地位的歐幾里得幾何學是大家熟知的。然而它能夠描述藍天下朵朵白雲的形狀和我們周圍連綿起伏的山巒形態嗎？它能夠刻畫那美麗的大海和群島的邊界線嗎？它又能夠描述物理學中無規凝聚的結構、粘性脂的圖形，人體中血管和支氣管樹的分佈，信息傳輸線路的噪聲以及商品價格波動等等問題嗎？它不能！
即使是在純數學中。像函數
這是個無窮級數，其和為連續函數，函數圖如下，
由所給的解析式可知，它是處處不可微的。從圖像上可以發現它處處沒有導數（即在曲線上的任何一點都畫不出切線）。應用傳統的數學方法我們可以對此圖像的幾何性質做出很好的描述嗎？也不能！
再如，瑞典數學家科赫在研究曲線的過程中，在1904年構造出一條如上圖所示的曲線。觀察圖形可發現它有下面的一些特點∶
- 分形圖表現出整體與部分的自相似，且相似係數為1/3；
- 分形圖在任意小的尺度下都包含整體的特性，如果將圖形放大到一定程度，則會看到開始操作時的圖形；
- 分形圖的定義非常簡單，但卻具有很複雜的結構；
- 分形圖是通過遞歸（迭代）過程獲得的；
- 分形圖是連續的，而且是無窮長的。
應用傳統的數學方法可以描述它嗎？答案是否定的。
還有很多很多類似的問題，都是傳統數學無法解決的。以前作為數學中邏輯推導的個別反例，人們認為它們是「怪異的」、「反常的」而不予理睬是可以的。然而，如今科學技術的發展、社會的進步卻提出了許多諸如此類的現實問題，是我們不能不加以解決的。像情報學中的詞頻分佈問題、信息傳輸中的噪聲問題、湍流問題、海岸線的長度問題、經濟學中的一些現象等等。
正是這些數學史上邏輯構造出來的「病態的」函數、曲線，以及當代社會發展提出的現實問題，為分形幾何的誕生提供了素材。曼德布羅特正是在對這些現象的研究中，創立了具有劃時代意義的新學科，一門新的幾何學。
那麼，什麼是分形幾何呢？借用曼德布羅特自己的話說，將「幾何混沌」類中具有「粗糙和自相似」特性的形態分離出來就是分形幾何的研究對象。由前面的簡單敘述可以發現，「粗糙和自相似」是形成分形思想的核心。但是，這僅僅是一種感性的直觀認識，還需要上升為理性的抽象，才能更為深刻地理解分形的本質特徵。因為「粗糙」和「自相似」都帶有模糊性，無法進行操作，因此必須要從理論上加以界定。當然，在分形幾何中不是直接對「粗糙」和「自相似」做出界定，而是對「分形」這個核心概念加以界定的。
最初，曼德布羅特是這樣描述分形的∶
一個分形集是這樣的一個集合，在度量空間中，它的豪斯多夫-貝塞可維奇維數嚴格大於其拓撲維數。
其中拓撲維數永遠是整數，豪斯多夫一貝塞可維奇維數常常被人稱為分數維數。在歐幾里得幾何體系中，拓撲維數是與斯多夫一貝塞可維奇維數相等的。但是很快，人們就發現了這個定義的不合理性，因為它把明顯是分形的集合排除在外了。曼德布羅特自己也意識到了這一點，所以後來他就補充說，分形的這個數學定義是不嚴格的，不過是暫時的，它需要不斷改進。
分形完善的數學定義到現在還沒有。為了改進分形的定義，人們提出許多種方案，但都有各自的缺陷。於是，一些分形幾何學家放棄追求嚴格的定義，轉而尋找分形體的一些特有的性質，用於判斷某種形態結構是否可以作為分形來研究。如英國分形學家法爾科內在其著作《分形幾何————數學基礎及其應用》中就指出，分形的定義可以如同生物學家給出「生命」的定義方法一樣，最好將分形看作是大部分分形所具有的性質的一個集合，而不是尋求分形的確切的定義。
由於分形幾何以不規則集合的空間結構和性質作為自己的研究對象，所以它一出現就吸引了許多自然科學家的興趣和研究，特別是研究混沌現象的學者的興趣，成為他們研究混沌的有力工具。目前分形幾何已經在自然科學中獲得了廣泛的應用，因此曼德布羅特也為科學做出了巨大的貢獻。但是像一切新生事物一樣，它的完善和發展需要一個過程，特別是它的結論大部分來自計算機的實驗作圖結果，缺乏理論上的論證，因此就帶來了一些爭論。
分形幾何的爭議
自從分形幾何的奠基之作《大自然的分形幾何學》出版後，就有一些人士一直都在為它是否是數學而爭吵不休。確實當你翻開曼德布羅特的著作時，你會發現；在分形幾何里幾乎就沒有嚴格的概念、原始的公理，也沒有從基本的定義、概念出發，按照嚴密的演繹規則進行的一系列證明，而這些卻是傳統數學所不可缺少的。它所擁有的是從計算機的實驗中獲得的大量的直觀圖像、猜想。可是從古希臘不可公度量的發現就已經知道，幾何直觀是不可靠的。所以也難怪引發數學界人士對分形幾何的爭議。在爭議的雙方中，反對派以克蘭茨為代表，而支持者當然是以分形幾何的創始人曼德布羅特為代表。
克蘭茨認為，格萊克在1988年出版的《混沌學————門新科學》「太壞了」。因為他把艱澀難懂的數學變成了通俗易懂的東西，使得「公眾對當今數學家們正在從事的工作的理解」發生了誤解。在反對派看來，分形之受歡迎，不過是一時的時髦而已，因為它裏面有太多漂亮的圖案而太缺少傳統意義上的定理及其證明。
面對克蘭茨等人的尖刻批評，曼德布羅特也很頑強，他認為證明是很重要，可是分形幾何中那些充滿想像力和具有挑戰性的工作同樣重要，而且與傳統證明帶給人不同的是∶它會更加促進人們對數學、對自然的理解。
除了曼德布羅特自己外，《上帝擲骰子嗎∶混沌之數學》的作者伊恩·斯圖爾特認為，分形和混沌是數學的兄弟，分形是描述混沌的語言。用他自己的話說就是∶
本世紀 70 年代、混沌和分形都處在草創階段，兩者表現得風馬牛不相及。但它們都是數學的兄弟。它們都與不規則結構斗得難解難分。在它們中間、幾何想像力至關重要、不過幾何學在混神中附屬於動力學、而在分形里則居統治地位、分形為我們提供了描述混沌形狀的一種新語言。
贊成分形幾何更多的是一些自然科學家。如日本的物理學家高安秀樹就說，
否定微分、這在歷史上恐怕也是劃時代的。
物理學迄今在解析大極限宇宙和小極限基本粒子上真不知費了多少精力，雖然也積累了不少知識，但對我們日常生活中所熟悉的中等大小的現象，卻很難說有較深的研究。這絕不是因為中等現象沒有意思，而是認為大極限與小極限事物容易考慮的緣故……與此相對應，中等大小的現象，本質上是多體系的，它們之間有着複雜的相互作用，如果只將特定的相互作用取出，則常會看不見其重要性質。
理論物理學家惠勒這樣評價分形，
一個人如果不能同樣熟悉分形，他就不能被認為是科學上的文化人。
中國科學院院士郝柏林教授說∶
曼德布羅特多年來苦心宣傳的分形幾何，不僅是更接近自然現象的幾何學，而且也正是混沌現象的幾何學。
分形幾何、符號動力學和重正化群，三位一體'地構成混沌理論的數學框架。兩派的爭論曾經有些相持不下，可是隨着實踐的發展，這種爭論在日趨減弱。從其爭論中，我們顯然可以看到他們在如何看待數學上有着相互對立、相互矛盾的意見。反對派認為數學主要是證明的問題，而贊成的人們則認為數學主要在於理解問題。追求理解的常常忽視證明，而執着於證明的人往往又不重視理解。數學到底應該是證明還是理解，是歐幾里得式的演繹還是實驗，似乎是公說公有理、婆說婆有理。但其爭論的實質是「什麼是數學」的數學觀問題。
