物理宇宙中是否存在“凍結星”？從引力坍縮、高斯定理展開探索

文/一葉禪兒

編/一葉禪兒

引言

“黑洞”（black hole）在現代天文學和天體物理中扮演極為重要的角色。

目前普遍認為，大質量恆星演化到最後會坍縮形成黑洞，幾乎所有的星系中心都存在質量在數十萬到十億太陽質量的超大質量黑洞，而黑洞在吞噬物質的過程中釋放的大量的物質和能量對於恆星、星系、星系團、甚至宇宙的演化都有重要的影響。

普遍接受的廣義相對論的計算表明，當物質坍縮形成黑洞或者物質向黑洞坍縮時，在遠處的觀測者的有限的時間內物質堆積在黑洞視界外面而不可能穿越黑洞的視界。

這就是所謂的“凍結星”（“frozen star”）。

因此就引出幾個基礎和重要的問題：

（1）：廣義相對論預言的黑洞在自然界是否存在？

（2）：黑洞是否能夠通過吞噬物質而增長？

（3）：坐標原點處的奇異性(singularity)是否有物理意義？

“凍結星”概念

關於“黑洞”的概念及其分類，比如“數學黑洞”、“物理黑洞”和“天文黑洞”？

簡單地說，“數學黑洞”就是指愛因斯坦的廣義相對論引力場方程的奇點解。

“物理黑洞”是指一個物體它的全部引力質量都在事件視界（簡稱視界）以內（但是不一定都在奇點處，所以不一定是數學黑洞），“天文黑洞”則是指宇宙中通過合理的物理過程自然形成的物理黑洞。

奧本海默(Oppenheimer)和施奈德(Snyder)在 1939 年詳細研究了恆星演化晚期的結局。他們得到了三個重要結論：

（1）：如果一個恆星的初始質量足夠大，那麼當它內部的核燃料徹底耗盡之後，必定在自身引力的作用下不可逆轉地一直收縮下去（稱為引力坍縮）。

（2）：對於隨着坍縮物質一起下落的觀測者，在有限的時間內所有物質都會收縮到該球對稱引力系統的史瓦西(Schwarzschild)半徑、也就是“數學黑洞”的視界以內。

（3）：對於遠處的外部觀測者，下落的物質無限逼近黑洞的視界，但是永遠不能到達“數學黑洞”的視界，當然也不可能穿越“數學黑洞”的視界。

對於上述第一個結論，學術界沒有爭論，因為這是量子力學和廣義相對論結合的必然結果。

對於上述第二個結論，學術界普遍認為，這個結論表明大質量恆星演化到最後必然形成黑洞，因此“物理黑洞”在宇宙中普遍存在。

但是，也有很多學者認為，由於對恆星的引力坍縮的過程的觀測和研究只能由遠處的觀測者來進行，所以必須考察上述第三個結論。

這個結論告訴我們物質不可能在有限的時間內進入“數學黑洞”的視界，而宇宙的年齡是有限的(當然觀測者的壽命也是有限的)。

所以似乎“物理黑洞”在物理宇宙中並不能形成，也就是說“天文黑洞”是不存在的，至少不能通過物質的引力坍縮過程形成。

由於物質在有限的時間內都堆積在“數學黑洞”的視界以外，這種天體就被稱為“凍結星”。另外一個理解“凍結星”的方法是計算物質向“數學黑洞”的自由落體過程。

如圖所示，儘管隨物質下落的觀測者測量到物質越過視界時速度很大(接近光速)，但是遠處的觀測者測量到的物質靠近視界時候的速度越來越小，最後在視界處等於零。

也就是遠處的觀測者看到物質被“凍結”在了“數學黑洞”的視界外面，對於外部觀測者來說，這個“數學黑洞”就成為“凍結星”。

由於宇宙中沒有絕對的真空，即使有什麼原因宇宙中開始存在引力奇異點(也就是“數學黑洞”)，這些“數學黑洞”必然會吸引周圍的物質向其下落，那麼現在這些“數學黑洞”也都已經成為“凍結星”了。

我們在很多關於黑洞的科普書上看到的宇航員進入黑洞之前“凝固”的照片就是這個過程的生動描述。

“凍結星”疑難

由於“凍結星”的概念直截了當，似乎在物理宇宙中無法避免，但是黑洞又是現代天文學和天體物理中不可缺少的天體。

實際上也有眾多的天文觀測的間接證據揭示了黑洞視界的存在，因此很多學者都提出了把“凍結星”變成黑洞的途徑。

由於“凍結星”概念的實質是視界處度規的奇異性，所以廣義相對論的專著和教科書上普遍採用坐標變換去掉視界處度規的奇異性來解決這個問題。

比如上圖中隨下落物質一起運動的坐標系，稱為 Lemaître 坐標，是 Georges Lemaître 於 1938得到的。

在這個坐標系中，由於在黑洞視界處沒有奇異性，如圖所示，物質可以順利進入黑洞。但是在這個坐標系中，坐標原點仍然是一個奇異點，物質不可避免地必須在有限時間內到達原點。

因此這個坐標系下描述的度規，即 Lemaître 度規的確描述的是黑洞的度規。另外兩個描述沒有視界處的奇異性的黑洞的坐標系分別是著名的 Eddington-Finkelstein 坐標和 Kruskal-Szekeres 坐標。

由於在這些坐標系中物質能夠順利穿越視界到達坐標原點形成奇異點，而廣義相對論的精髓就是在所有坐標系中物理規律都是相同的。

因此，學術界普遍以此為理由說明物質能夠穿越黑洞視界達坐標原點形成奇異點，也就是形成“數學黑洞”。

但是在上面這些坐標系中，或者史瓦西度規中視界的位置被變換到了無窮遠處，或者史瓦西度規中視界處的時間被變換到了無窮長。

因此，在這些坐標系中物質能夠到達坐標系原點並不能說明在自然界中(史瓦西坐標系中)物質能夠穿越視界到達坐標系原點。

因為科學家作為黑洞的外部觀測者和研究者，必須在宇宙的有限的年齡內(當然也是科學家的有限的壽命內、也就是史瓦西度規中有限的時間內)，確定物質能否穿越視界到達坐標系原點。

因此如果考慮有限的宇宙年齡，遠處靜止觀測者(比如地球上的觀測者)是不能採用坐標變換的方法把“凍結星”變成黑洞的。

另外一種辦法是試圖利用某些黑洞的量子力學效應(比如霍金輻射)使得物質在有限的時間內穿越黑洞的視界。

但是最近的研究表明，即使考慮黑洞的量子力學效應，物質在有限的時間內也無法穿越視界。

在無法避免物質在黑洞視界外面堆積形成“凍結星”的情況下，有些學者開始研究堆積在黑洞視界外面物質的性質和命運。

得到的結論表明，這些物質會通過類似霍金輻射的機制向外輻射能量，從而質量會逐漸變小，因此推測宇宙中可能不存在黑洞。

實際上，由於這個輻射的時標會超過宇宙的哈勃年齡，這些天體即使會對外發出輻射，實際上仍然是“凍結星”。

最後一種辦法就是坦承物質的引力坍縮就是形成“凍結星”，但是同時認為“凍結星”就是黑洞。

計算表明，即使自由落體的物質最後會堆積在視界外面，但是由於這些物質發出的光隨時間迅速衰減，對於遠處的觀測者來說，該“凍結星”很快就“暗淡無光”了，因此從觀測的角度和黑洞沒有不同，完全可以認為該天體就是黑洞。

這也是眾多廣義相對論的專著和教科書上普遍採用的說法。但是從邏輯上，這種說法並不成立，因為黑洞的最基本定義就是其所有質量都集中在坐標原點形成奇異點(“數學黑洞”)，最起碼也需要其所有質量都在其視界以內(“物理黑洞”)。

即使從觀測的角度，只要視界外面的物質能夠發出輻射，無論多麼微弱，都有可能被觀測到，該天體也就被證認為不是黑洞了。

再退一步，即使所有的望遠鏡都不能觀測到該視界外面的物質發出的輻射，當兩個“凍結星”碰撞在一起的時候，其凍結在視界外面的物質也會發出強烈的電磁波輻射，而兩個真實的黑洞碰撞在一起的時候只會發出引力波輻射。因此從觀測的角度是有可能區分“凍結星”和黑洞的。

因此認為“凍結星”看起來就是黑洞，無異於一葉障目。

綜上所述，種種避免“凍結星”的努力都沒有完全成功。這就是所謂的“凍結星”疑難。

由於物質不能穿越視界到達坐標系原點形成奇異點，似乎在真實的宇宙中並不存在奇異性，這就是“物理宇宙中的奇異性問題”的來源。

“凍結星”疑難的解決：物理宇宙中物質的引力坍縮

我們首先考察，其計算的是檢驗粒子自由落體運動的情況，也就是沒有考慮下落粒子本身的質量對度規的影響。

其次我們考察奧本海默和施奈德 1939 年計算的問題：真空中的引力坍縮問題，也就是沒有考慮在這個引力系統和觀測者之間的物質。

因此我們將克服上述兩個問題，具體計算在物理宇宙中有質量的物質向黑洞的引力坍縮問題，其模型如圖所示。

主要結果：

（1）：對於外部的觀測者，物質完全可以在有限的時間內穿越視界。

（2）：物質在有限的時間內永遠不能到達坐標原點。

上述第一個結果清楚地表明，在考慮了下落物質的質量對度規的影響以及被觀測的下落物質和觀測者之間仍然有下落物質的實際情況後，物質不可能在視界外面堆積，而是在有限的時間內順利穿越視界進入了黑洞。

因此所謂的“凍結星”在物理宇宙中是不存在的。物質不但能夠通過引力坍縮而形成黑洞，而且黑洞還可以繼續通過吞噬下落的物質而增長。

仔細考察計算得到的精確解的度規後，發現這個結果定性地有別於以前結果的原因：

下落物質的質量影響了全局的引力場，而黑洞的視界就是引力場的全局，而非局部性質。在物質下落的過程中，整個引力系統的視界不斷膨脹，最終和下落物質相遇而吞噬了下落物質。

所以可以形象地說，是視界吞噬了物質，而不是物質落入了黑洞。而在檢驗粒子的計算中，由於檢驗粒子沒有質量，所以視界的位置不會變化，因此檢驗粒子無論如何也不能進入視界。

事實上，計算表明，球殼 2 的存在和下落運動也對於球殼 1 的下落運動和整個引力系統的視界的運動有影響。

換句話說，即使對於球對稱質量分布的系統，外部物質也可以影響內部的度規和內部物質的運動。這和牛頓引力的情況完全不同，因為在牛頓引力的情況下一個球對稱的球殼對其內部所產生的引力之和為零，這是平方反比力的情況下高斯定理的直接結果。

本文作者和很多國內外的學者進行過當面討論，感覺絕大多數的學者對廣義相對論中的 Birkhoff 定理都存在不同程度的誤解：

絕大多數的學者認為一個球對稱的無旋轉、無電荷、無壓力的純引力系統任何半徑處的度規就是由該半徑以內的總質量所決定的史瓦西度規，也就是說誤認為高斯定理也適用於廣義相對論，或者誤認為 Birkhoff 定理就是高斯定理的直接結果。

實際上，Birkhoff 定理本身和高斯定理無關，其證明過程要求在無窮遠處的度規是平坦的，恰好說明了度規的全局性。

因此 Birkhoff 定理只能應用於球對稱質量系統的外部，也就是外部度規是由其總引力質量決定的史瓦西度規，其內部度規必須根據連續性條件求解廣義相對論場方程才能夠得到，不能想當然地應用 Birkhoff 定理。

由於在球殼中以及球殼內任何位置處的度規都需要和球殼 2 外部的史瓦西度規連續過度，而球殼 2 外部的史瓦西度度規是由該系統的全部引力質量所決定的，因此一個引力系統任何地方的度規都是由該引力系統的全局性質、而不是局部性質所決定的。

詳細計算結果證實不但兩個球殼中的度規和該半徑外部的質量分布有關，即使兩個球殼之間以及球殼1和初始黑洞之間的“真空”區域的度規也和該半徑外部的質量分布有關。

由於對 Birkhoff 定理的廣泛誤解，很多廣義相對論的應用中都錯誤地使用了 Birkhoff 定理。但是，詳細的計算表明，一般情況下外部物質對內部度規的影響遠遠小於內部物質的作用，所以在大多數情況下這個誤解不會帶來明顯的影響。

不過對於強引力場中需要進行精確計算的情況下，比如計算星系或者星系團的引力透鏡效應，這個誤解帶來的影響也許不能忽略不計，因此需要進一步的研究。

結論：物理宇宙中可能不存在奇異性？

上圖的結果已經表明物理宇宙中不存在“凍結星”，也就是物質的引力坍縮能夠形成“天文黑洞”，而向黑洞自由下落的物質也能夠順利穿越黑洞的視界。

這就徹底解決了所謂的“凍結星”疑難。

另一個結果表明：

儘管物質能夠穿越黑洞的視界進入黑洞，但是在外部觀測者有限的時間內不可能到達坐標的原點，也就是說物質在黑洞內部是以分布形式存在的，而不是集中在坐標原點形成奇異性。

因此，“天文黑洞”不是“數學黑洞”，而且通過引力坍縮無法形成具有時空奇異性的“數學黑洞”。

也就是說奧本海默和施奈德 1939 年研究的恆星演化的晚期不會像學術界普遍認為的那樣在有限的時間內形成時空奇異性。

那麼，在自然界能否有其他途徑形成時空奇異性呢？時空奇異性是否具有物理意義呢？

這些重要而基礎的問題，有待於進一步的研究。

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