微分几何是现代数学和物理学的一个重要分支，它研究具有曲率和弯曲性质的几何结构。黎曼度规和里奇张量是微分几何中的两个基本概念，它们为描述和分析曲面和流形上的几何性质提供了基础工具。
把一个桔子切成两半，挖掉桔肉，再试着把剩下的半球形桔皮展平，那就会撕破桔皮。如果想把一个马鞍或者一片泡软的薯片展平，这一次就会遇到相反的问题。曲面的一部分"多出来"了，展平的时候就会折叠起来了，然而，如果有一卷墙纸、而想把它也展平，这一次就没有困难了（只需要把纸卷散开就行了）。球面这样的曲面，我们说是正向弯曲的，马鞍形的曲面是负向弯曲的，而一片墙纸则说是平坦的。
有许多方法把上面所说的曲率的概念弄精确，而且使之量化，这样，曲面的每一点都有一个数来表示曲面在此点是"如何地弯曲"。为了做这件事情，曲面需要有一个黎曼度量来定义路径的长度。
黎曼度量
黎曼度量（Riemannian metric）是微分几何中的一个基本概念，它为切空间上的向量赋予长度和角度的概念，从而使得在流形（manifold）这样的几何结构上可以进行距离和角度的度量。
直观上，流形可以被视为在每个点附近看起来像欧几里得空间的空间。换句话说，尽管流形在大尺度上可能具有复杂的形状，但在局部范围内，我们可以用欧几里得空间来近似描述它。这种局部与欧几里得空间相似的性质使得流形成为研究各种几何和拓扑问题的理想对象。
流形可以具有不同的维度。例如，一维流形可以是曲线，二维流形可以是曲面，而更高维度的流形可以表示更复杂的空间结构。根据流形的光滑性质，可以将流形分为不同类型，如可微流形（有连续导数的流形）、光滑流形（有无限次连续导数的流形）等。
切空间（Tangent space）用于描述流形上某一点附近的局部线性近似。简单来说，切空间可以看作是在流形上某一点切着该流形的线性空间，它为我们提供了研究流形上的局部特性的数学工具。
给定一个n维可微流形 M 和其上的一个点 p，切空间 T_pM 是一个 n 维向量空间，包含了所有从 p 出发的切向量。这些切向量是从 p 出发的可微曲线在该点的导数，它们描述了流形在 p 附近的局部线性结构。通过切空间，我们可以研究流形上函数的导数、积分等数学操作。
在欧几里得空间中，切空间可以用平面或高维平面的概念来直观理解。例如，在二维曲面上的某一点，切空间就是刚好切到该点的平面；而在三维曲面上的某一点，切空间则是刚好切到该点的二维平面。
给定一个n维可微流形 M，黎曼度量是一个将切空间中的两个向量映射到实数的双线性对称正定函数。更具体地说，黎曼度量 g 是一个将 M 上每一点 p 的切空间 T_pM 中的两个向量 u 和 v 映射到实数的函数，满足以下性质：
- 双线性（Bilinearity）：g(au + bv, w) = a g(u, w) + b g(v, w)，其中 a 和 b 是标量，u、v 和 w 是切空间中的向量。
- 对称性（Symmetry）：g(u, v) = g(v, u)，对于切空间中的所有向量 u 和 v。
- 正定性（Positive-definiteness）：g(u, u) > 0，对于切空间中的所有非零向量 u。
有了黎曼度量，我们可以在流形上定义长度、角度和体积等概念，从而将几何分析的方法应用于微分几何中。此外，黎曼度量还在爱因斯坦的广义相对论中扮演关键角色，其中引力作用被解释为由于存在质量而产生的时空曲率。
里奇张量
曲率这个概念也可以推广到高维情况，这样，我们就可以谈论一个d维黎曼流形的某一点处的曲率。然而，当维数高于2时，流形在一点处弯曲的方式比较复杂，它不是用一个数来表示，而是用里奇张量来表示的。
里奇张量（Ricci tensor）是一个描述黎曼流形局部曲率性质的二阶对称张量。它是黎曼曲率张量的一个收缩，捕获了曲率在各个方向的平均值。
给定一个n维黎曼流形 (M, g)，其中g是度量张量。黎曼曲率张量R是一个四阶张量，可以表示为 R^i_jkl。里奇张量 R_ij 是从黎曼曲率张量 R^i_jkl 获得的二阶张量，通过对第一个和最后一个指标求和并消去：
R_ij = R^k_ikj
里奇张量是对称的，即 R_ij = R_ji。它描述了流形上不同方向的平均曲率，因此反映了流形的局部几何特征。在特殊情况下，如果流形上的里奇张量在所有点都为零，则称流形为“里奇平坦”。
