多项式方程的求根问题，直到1830年才由伽罗瓦解决，属于数学史上的一个大漏子。
早在1550年左右，意大利数学家卡尔达诺和塔尔塔利亚就给出了三次方程的求根公式：卡尔达诺公式。
这个公式的发明权在他们两个之间有争议，所以这里把他们的名字都提一下。
之后关于5次方程的根式解问题，有很多大数学家都研究过，其中就包括：高斯、拉格朗日、柯西、鲁菲尼、阿贝尔。
高斯（1777-1855）对这个问题的研究，已经很接近解决了。
他解决了正17边形的尺规作图问题。
正17边形的尺规作图，相当于做出复数也就是找到圆心角的17个等分点，也就是解代数方程
正多边形的作图相当于方程的求根
当然高斯的研究领域非常多，例如著名的欧几里德第五公设问题，就是由高斯解决的。
不管是微积分，还是微分几何，还是抽象代数，都有高斯的很多贡献。
但是在5次方程的根式解问题上，高斯确实“智者千虑，必有一失”了。
之所以会出现这种情况，我觉得，还是因为伽罗瓦是民科出身，他没有正规数学教育带来的思维局限。
伽罗瓦16岁才开始学数学，而一般的孩子到了这个年龄已经学了8-10年的数学了，思维被老师们影响了太多了，以致于很难重新思考加、减、乘、除、开方到底是什么。
但是，一个16岁才开始学数学的民科，他没有启蒙老师，自然也没有思维局限。
所以，他或许更容易把方程的求根这个复杂问题，一步步地递归求解[呲牙]
如果从编程的角度来考虑方程的求根问题的话，那么既然5个运算符太复杂了，就先研究其中的1个[捂脸]
在伽罗瓦这么做了之后，事后看来确实是很正常的思路，但在当时连高斯都没有想到。
伽罗瓦曾经把论文给了柯西，但柯西搞丢了，而且柯西的粗心大意还被拉格朗日临死前告诫过。
拉格朗日是柯西的老师，一直觉得自己这个学生不够仔细，简直是提前的预言。
后来，伽罗瓦又把论文给了傅立叶，但傅立叶恰好过世了，这论文简直是催命的[捂脸]
最后，伽罗瓦把论文给了刘维尔和高斯，并且特意要求高斯替他发表，但最后还是刘维尔替他发表的。
以上是几个大数学家之间的故事。
接下来，就先从1个运算符说起。
1，集合与它的二元运算符，
集合与定义在它上的二元运算符，如果满足结合律、单位元、逆元这3个公理，就叫群：
1)
2)
3)
这个运算符，通常叫做“乘法”：它可以是狭义上的数的乘法，也可以是广义上的“乘法”。
例如，时钟指针的旋转，也可以看做一个乘法：它实质上也是复数的乘法，使用欧拉公式的话。
如果还符合交换律，就可以把它叫做“加法”，而这个群也叫交换群、阿贝尔群。
乘法通常是不交换的，但整数乘法是交换的。
2，交换律是非常重要的，
4) ab = ba，
交换律在解方程时的作用，是它可以把根合成系数的过程，再拆回去。
ax = b的解：x = 1/a b，如果不符合交换律的话，就不能写成b 1/a或b/a，
因为群的定义里只规定了a有逆元（倒数），但没有规定“乘法”是交换的。
所以，a既然在x的左边，那么就只能左乘1/a，不能右乘1/a[捂脸]
整数是可以这么做的，但如果是矩阵方程AX = b，那么X = A^-1 b和b A^-1是不一样的，后者甚至可能不满足矩阵的乘法规则。
但是，群里有一个元素的乘法是肯定满足交换律的，就是单位元：见第1节的公理2和3。
3，群不一定就是整数的加法或乘法，而是只要满足第1节的3个条件就行。
所以把1、2、3、4变成2、3、4、1的置换，也可以是个群：
1 --> 2，
2 --> 3，
3 --> 4，
4 --> 1，
可以简写成(1, 2, 3, 4)，用C代码就是y = x % 4 + 1。
这样的群，叫做循环群。
广义上来说，可以有各种五花八门的群。
4，群的同构，
为了给这些五花八门的群进行分类，就定义了一个对应关系。
就跟与自然数一一对应的集合叫可数集一样，两个群之间也是用对应关系来定义的。
如果有2个群G和G'，它们上面的乘法分别为x和*，如果存在一个对应关系f:G-->G'，满足：
1) f(axb) = f(a)*f(b)，
2) f是双射，即一一对应关系，
对任意的a, b属于G成立，就说它们是同构。
例如，1-26与a-z是一一对应的，可以定义一个对应关系f，规定：
f(2x3) = f(2)xf(3)= ('b' - 'a' + 1)*('c' - 'a' + 1)，
在C语言上这么算出来是相等的，因为从a-z的ASCII是连续的。
正好手写时的乘法用x，编程时的乘法用*，因为x要表示第24个英文字母：x。
在把16进制转化成10进制时，估计很多人写过a-f与10-15之间的变换，它的原理就是群的同构[大笑]
如果只满足第1条，而不满足第2条（一一对应），那么就是群的同态。
如果是同构，那么G'的单位元e'就会一一对应到G的单位元e。
如果是同态，那么G'的单位元e'就可能与G里的多个元素对应：
例如，x^2 = 1，那么x就可以是1或-1。
G里的这多个可以被f映射到e'的元素，叫做同态的核：ker f。
它的价值在于，f(ag) = f(a)*f(g)=f(a)*e'=e'*f(a)=f(g)*f(a)=f(ga)，即它是符合交换律的。
也就是说，在“同态映射f”之下：
a (Ker f) = (Ker f) a，(公式1)
搞了这么一通，就是为了看看什么情况下交换律能用。
把公式1的右边乘以a的逆元，可得：
Ker f是群G的一个子群，叫正规子群。
5，正规子群的作用就是aK = Ka，是可以使用交换律的。
以整数为例，K = {1}就是“正规子群”，如果a = 2那么2K就是所有偶数的集合。
整数的例子没什么用，看看这个例子：
数字之间的变换关系
假设由1、2、3、4之间的对应关系构成的群：
f：1 --> 2，2 --> 3，3 --> 4，4 --> 1，
g：1 --> (2) --> 3，2 --> (3) --> 4，3 --> (4) --> 1，4 --> (1) --> 2，
h：1 --> (2,3) --> 4，2 --> (3,4) --> 1，3 --> (4,1) -->2，4 -->(1,2) --> 3，
e：1 --> (2,3,4) -->1, 2-->(3,4,1) -->2, 3 -->(4,1,2) -->3, 4 -->(1,2,3) -->4。
G = {f, g, h, e}，由4个元素组成，这4个元素都是1234之间的对应关系。
其中e是单位元，因为它对数字的作用，没有改变数字。
所以，e是G的正规子群，fe(1) = f (e(1)) = f(1) = 2，ef(1) = e(f(1)) = e(2) = 2，所以fe = ef，即这是符合交换律的。
这种对数字的变换，可以用到多项式方程的几个根的下标上。
g实际上是把f连续作用2次获得的，可以认为g是f的2次方：
g = f(f(1, 2, 3, 4)) = (3, 4, 1, 2)，等号两边的括号里的数字顺序是对应关系。
同理，h是f的3次方，e是f的4次方。
这种用f的多次作用（直到没作用）生成的群，叫循环群。
f和g对数字1234的作用可以互换吗？
有的群里的元素可以互换，有的不能互换，这就引出了换位子群的概念。
6，换位子群，
fg = gf，这个等式不一定成立。
但是一定可以成立：因为它化简之后就是fg = fg。
所以，括号里的那4个组成的式子，叫换位子：也就是交换2个元素所需要的算子。
总之，一切都是为了交换律，因为群的定义里没有规定交换律必须成立。
只要能够使用交换律，怎么变换过来的，就还可以怎么变回去。
但要是交换律不能用，那就完了[捂脸]
单位元e与别的元素肯定是可以互换的，单位元e自己也可以组成群G的一个子群：因为exe = e = exe，结合律、单位元、逆元都满足。
G如果除了e之外，还有更大的换位子群（G1）的话，那就更好了。
如果它的换位子群G1，也有比e更大的换位子群G2，那么就可以组成一个链条：G -> G1 -> G2 -> e。
只要一个群的换位子群，能够沿着这个链条下降到单位元e，那么它就是可解群。
也就是说，可解群里的元素对数字排序的所有作用，都是可逆的！
怎么打乱的数字，还可以怎么恢复回去[呲牙]
恢复回去需要的步数，就是那条可解链的长度。
所以一元一次方程ax + b = 0 的求解，最多需要2步：考虑有理数Q到它自己的一一对应组成的群G：
1，G里的一个元素f，对其他数字的作用不变，但只把ax变到-b，
2，G里的另一个元素g，对其他数字的作用不变，但只把x变到-b/a，
按照数学惯例，把“变到”那两个字换成=号。
7，可解群，单群，
单群，不是可解群。
单群的换位子群等于它自己，构造不出来可解链。
PS：群的元素不一定是数字，也可以是数字之间的对应关系。
抽象代数跟泛函分析一样，群的元素可以是“函数”，空间的元素也可以是“函数”。
函数是什么？对应关系。
乘法是什么？函数关系[捂脸]
泛函泛的是什么？距离。
抽代抽的是什么？乘法[笑哭]
距离的定义
