直和分解判定定理

直和分解判定定理（由幂等元导出）

一、定理陈述

从 2 个直和推广到 n 个直和的完整版 ——有限直和判定定理（加法范畴）

有限直和判定定理（n 个子对象版）

简单记忆：

幂等元定理其实就是 n=2 的有限直和判定定理的构造版本：

自乘恒等，互乘为零，相加为一，必是直和。

范畴论：有限直和（双积）判定定理（加法范畴）

幂等元 ⇒ 直和分解

简单记忆：

自乘为恒等，互乘全是零，加起来是一，必定是直和。

下面是总逻辑图：Ker ⇄ Im ⇄ Cok ⇄ 单射 ⇄ 满射 ⇄ 同构 ⇄ 直和

五、幂等元 ⇒ 直和

六、直和判定

七、一句话总结

Ker 管压扁 ⇒ 单射

Cok 管覆盖 ⇒ 满射

又单又满 ⇒ 同构

幂等就是投影

投影自动把空间切成两块直和