許多文章、視頻也喜歡把量子力學往這個方向上引，大肆宣揚「看一眼」決定貓的生死，告訴你雙縫實驗有多「恐怖」，把意識和量子力學扯在一起等等。於是，量子力學在大眾眼裡就越來越玄乎，越來越詭異，越來越恐怖了。
其實，量子力學並不奇怪，你覺得它奇怪，主要是因為你老是從經典力學的視角看量子力學，就像古人眼裡閃電也很奇怪一樣。
我們從小就浸泡在經典世界裡，很多經典觀念已經成了潛意識的一部分，你這樣去看量子世界，自然會覺得它很奇怪。但是，如果你轉換一下視角，嘗試從量子的視角去看量子世界，就會發現一切都很自然。
那麼，如何從量子視角看待量子世界呢？
想了解量子力學看待世界的方式，我們就得先搞清楚經典力學看待世界的方式。只有清楚經典力學是如何看待世界的，我們才能知道哪些觀念是經典力學特有的，哪些觀念進入量子力學之後需要修改，才能知道如何建立全新的量子世界觀。
那麼，經典力學的世界又是什麼樣的呢？
01經典的世界
大家在中學都學過牛頓力學，我在《什麼是高中物理？》里也介紹過。
在牛頓力學里，想知道一個物體會如何運動，就要看它受到了什麼力F，然後利用牛頓第二定律F=ma計算它的加速度a。算出了加速度，我們就能知道物體的運動狀態會如何變化，就能根據物體此刻的狀態（比如物體在哪，速度是多少）算出它下一刻的狀態。
也就是說，在牛頓力學裡，只要我們掌握了物體的受力情況，就能根據物體的初始狀態知道它任意時刻的狀態。比如，我們知道蘋果下落是因為受到了地球的引力，知道引力就能知道蘋果下落的加速度，然後知道蘋果在任意時刻的速度和位置。
這是一個非常典型的例子，大家也習慣於這樣去處理物體的運動。但是，在這種非常自然的處理方式里，卻暗含了一個極為重要的假設：我們知道蘋果在某個時刻肯定在空間中的某個地方，也肯定有一個確定的速度，不管我們有沒有去測量。
什麼意思？
你去測量蘋果的位置和速度，肯定會得到一個數值。而且，你知道無論誰去測，測量多少次都不會改變這個結果。不可能說張三測量蘋果在樹上，李四去測，蘋果就跑到了地上，頂多就是測量儀器會帶來一點誤差。
也就是說，經典力學認為：蘋果的力學量在任何時刻都有確定的取值，它的位置和速度都是確定的，跟你測不測量，如何測量沒有關係。不管誰去測，也不管怎麼測，測多少次，測量結果在誤差範圍內應該都一樣。因為，我們都確信蘋果肯定有一個確定的位置和速度，測量只不過是想知道這個確定的值是多少而已，這是我們常識中的常識。
如果有個人跑來跟你說：不對，蘋果沒有確定的位置和速度，想知道蘋果在哪就得去測量，測量結果是哪就在哪。而且，不同人測量的結果完全可以不一樣，張三測得蘋果在樹上，李四可以測得蘋果在地面，你肯定認為這個人瘋了。
是的，任何力學量在任何時刻都有確定的取值，而且跟測量無關，這是經典力學刻在我們靈魂深處的信念。
但是，這種信念真的絕對可靠么？有沒有可能它並沒有想像中的那麼天經地義？
帶著這樣的疑問，我們來看一看大名鼎鼎的斯特恩-蓋拉赫實驗。
02斯特恩-蓋拉赫實驗
既然你覺得力學量在任何時刻都有確定取值，而且跟測量無關。那我們就來做個實驗測一下，測什麼呢？測量銀原子的自旋。
我們先甭管自旋是什麼，只要知道這是粒子的一個固有屬性，像質量和電荷一樣就行了。
然後，大家要知道銀原子的自旋在任意方向上都只能取兩個值，我們記為向上和向下。也就是說，你在任何方向測量銀原子的自旋，結果都只可能是兩個：要麼向上，要麼向下，沒有其它值了。
知道了自旋以及它的取值，我們就可以開始測量了，用什麼測呢？用磁場，準確的說是不均勻磁場。
我們讓銀原子通過不均勻磁場，銀原子就會發生偏轉，不同自旋會有不同的偏轉方向。我們約定，如果銀原子向上偏轉，就說它自旋向上；如果銀原子向下偏轉，就說它自旋向下。當然，這個對應關係並不重要，我們只要知道不同的自旋會有不同的偏轉就行了。
之所以選擇自旋，並不是因為自旋有多特殊，而是因為它足夠簡單，把自旋換成位置、動量也是一樣的。
然後，我們就可以開始實驗了。
首先，我們在z方向加一個磁場（以後沒有特別聲明，文中的磁場均指不均勻磁場），然後讓一束銀原子通過這個磁場。
由於銀原子有很多，有的自旋向上，有的自旋向下，不同自旋的銀原子在磁場中的受力不一樣，所以偏轉方向也不一樣。於是，這束銀原子在z方向上就分裂成了兩束，這沒什麼好說的（實驗圖片來自庄鵬飛老師的《現代量子力學》）。
接下來，就是精彩的級聯斯特恩-蓋拉赫實驗了。
03級聯斯特恩-蓋拉赫實驗
所謂級聯斯特恩-蓋拉赫實驗，顧名思義，就是在原實驗的後面再加上磁場，繼續做實驗。而後面加的磁場，可能與原磁場方向相同，也可能不同。
這些級聯斯特恩-蓋拉赫實驗一共有三組，我們來分別看一下。
第一組實驗：我們先讓銀原子通過z方向磁場，銀原子分裂成了兩束（原實驗）。然後，我們把下面那束銀原子擋住，讓上面那束再次通過z方向磁場（如圖一）。
大家猜結果會怎樣？
這個結果很好猜，因為銀原子通過了一次z方向磁場，並分裂成了兩束。那麼，上面那束銀原子在z方向的自旋就應該都一樣（都自旋向上），你讓它們再次通過z方向磁場，它們應該都向上偏轉，因而不會分裂。
沒錯，實驗結果也的確是這樣：讓z方向分裂的銀原子的其中一束再次通過z方向的磁場後，它們沒有再次分裂。
接下來，我們再看第二組實驗。
第二組實驗：還是讓銀原子先通過z方向磁場，分裂成兩束後，繼續讓上面那束銀原子再次通過一個磁場。不同的是，這次通過的不是z方向磁場，而是x方向磁場。
結果，我們看到銀原子又分裂成了兩束（如圖二）。
也就是說，被z方向磁場「篩選」過一次的銀原子，雖然在z方向的自旋一樣，但在x方向的自旋好像並不一樣。
這個結果雖然有點意外，但多多少少也可以接受。因為，你可能會認為所有的銀原子在z方向和x方向上都有一定的取值。第一個磁場把所有z方向自旋向上的銀原子篩選了出來，第二個磁場則把所有x方向自旋向上的銀原子篩選了出來。
這就好比選秀節目，每次從不同的維度篩選一批人。第一輪只有品行好的能通過，第二輪只有學習好的能通過，那麼，通過兩輪篩選的就都是品學兼優的精英了。
同理，你現在可能會認為：通過了z方向和x方向兩輪篩選的銀原子，肯定都是在z方向自旋向上，在x方向也自旋向上的銀原子。這些銀原子都是歷經兩輪篩選的精英，它們都很純了，以後不管是經過z方向磁場還是x方向磁場，它們都自旋向上，肯定不會再分裂了。
帶著這樣的想法，我們進入了第三組實驗。
第三組實驗就是在第二組實驗的後面再加了一個z方向磁場。也就是說，銀原子經過z方向磁場後分裂成了兩束，我們讓其中一束經過x方向磁場（第二組實驗）。再次分裂後，我們又讓其中的一束銀原子再次經過z方向磁場。
原本，我們以為銀原子經過兩輪篩選之後，在z方向和x方向上都自旋向上，再次通過z方向磁場時肯定不會再分裂。
但是，實驗結果卻讓所有人震驚了：它-居-然-再-次-分-裂-了（如圖三）！
這是一次讓人震驚的分裂，這是一次讓人百思不得其解的分裂，這是一次徹底與經典力學劃清界限的分裂，這是宣告量子力學來臨的分裂。
你盡可以去思考它再次分裂的原因，但是，只要你還在用經典力學的思維思考問題，你是找不到出路的。或者說，只要你能意識到這個分裂的核心原因，你就已經站在了量子力學的大門口。
為什麼？
04實驗初分析
你仔細想想第三組實驗，還是用選秀節目做類比。我們第一輪挑選出了品行好的（z方向自旋向上），第二輪挑選出了學習好的（x方向自旋向上），那麼，通過兩輪篩選的就應該都是品學兼優的人。
這時候，你再對這群品學兼優的人進行測試，按理說，不管是測品行（z方向）還是測學習（x方向），他們都應該是優秀（自旋向上）。但測試結果卻顯示：當我們對這群品學兼優的人再次測品行（z方向）時，他們竟然又分成了品行優秀和品行卑劣的兩撥人（在z方向上分裂成兩束），這如何不讓人震驚？
但震驚歸震驚，實驗的的確確發生了，不管你願不願意相信，現實就擺在眼前。
那麼，問題到底出在哪？到底是哪一個環節出了問題？一群已經通過兩輪測試而品學兼優的人，再次測品行時，為什麼又會分成品行優秀和品行卑劣的兩撥人？
有人說，是不是第一輪測試和第二輪測試的標準不一樣？比如，第一輪測試品行時標準低一些，第二輪測試品行時標準高一些，於是，那些通過了第一輪測試的人的確有可能無法通過第二輪測試，進而導致第二輪測試時再次發生分裂（z方向上的再次分裂）。
聽起來很有道理，但在實驗里是不可能的。原因很簡單，我們在實驗里是用磁場測量銀原子的自旋，而磁場都是一樣的。你可以懷疑選秀節目的裁判不公正，但你總不能說磁場不公正吧？
所以，如果你打算在測試環節找問題，那對不起，此路不通！測試環節沒問題，那就只能在被測人身上找原因了。
如果兩輪測試環境完全一樣，而一個人在第一輪測試時品行優秀，在第二輪測試時卻品行卑劣，那就只能說明：這個人在第一輪測試時確實品行優秀，但到第二輪測試時就變成品行卑劣的了。測試標準沒有變，那變的就只可能是這個人了，是他自己從品行優秀變成了品行卑劣的人。
我知道很多人難以接受這樣的結論，同樣的人，只不過先後經歷了兩輪測試，怎麼就變了呢？當然，我們可以說人心隔肚皮，他在兩輪測試中的確變了也未可知。但是，人心可以變，銀原子的自旋狀態是由物理定律支配的，它怎麼能說變就變呢？
同樣是測量銀原子在z方向的自旋，第一次測量時還是自旋向上，為什麼第二次測量時就自旋向下了？
如果我們把自旋換成位置，那這個事情就變成了：第一次測量銀原子的位置時，它在北京；第二次測量銀原子的位置時，它變成了武漢，這太荒謬了！
在我們的潛意識裡，一個物體在哪就在哪，它的位置是確定的，無論誰去測量，測量幾次的結果應該都一樣。在誤差範圍內，不可能一個人測得它在A位置，另一個人卻測得它在B位置。
但是，喜歡看偵探小說的朋友肯定聽過福爾摩斯的一句話：當你排除了一切不可能的情況，剩下的，不管多難以置信，那都是事實！
因為外部測試環境一模一樣，z方向的磁場也一模一樣，所以，造成前後兩次測量結果不一樣的原因，就不可能是來自外部環境，而必須是來自內部。必須認為是被測人的狀態發生了改變（從品行優秀變成了品行卑劣），必須認為是銀原子的狀態發生了改變（從z方向自旋向上變成了自旋向下），我們才能解釋上面的實驗現象。
也就是說，不管你願不願意相信，你都必須接受「銀原子在z方向上的自旋狀態確實發生了改變」這一事實，這樣兩次測量結果才會不一樣。而這，是經典力學打死也不相信的，所以，經典力學無法解釋斯特恩-蓋拉赫實驗。
05新的力學
那麼，銀原子在z方向的自旋狀態為什麼會改變呢？狀態改變了，當然是受到了其它因素的影響，受什麼影響呢？
我們再看看第一組級聯斯特恩-蓋拉赫實驗：如果銀原子通過z方向磁場後發生了分裂，我們讓其中一束再次通過z方向磁場，它是不會分裂的。
但是，到了第三組實驗，我們只不過在第一組實驗的兩個z方向磁場之間再加了一個x方向磁場，然後，第二次通過z方向磁場的銀原子就分裂了。第一組沒分裂，中間加了一個x方向磁場（第三組）以後就分裂了，這樣一對比就會發現：能夠影響銀原子z方向自旋狀態的，就只可能是中間測量銀原子在x方向自旋這個操作了。
也就是說，測量銀原子在x方向的自旋竟然影響了銀原子在z方向的自旋狀態。測量會影響系統狀態，這可新鮮了。
在經典力學里，系統狀態一旦確定，所有力學量的取值就都確定了，測量只不過是把這些值讀取出來，並不會影響它們。一個蘋果在那裡，它的位置和動量都是確定的，不論誰去測量，測量幾次，都不會改變蘋果的位置和動量。你去測量蘋果的位置，當然也不會影響蘋果的動量。
但是，第三組級聯斯特恩-蓋拉赫實驗卻告訴我們：通過第一個z方向磁場後，上面那束銀原子都自旋向上。通過第二個z方向磁場後，原來自旋向上的銀原子竟然有一部分變成自旋向下（所以才會分裂）。中間測量x方向自旋的操作的的確確改變了銀原子在z方向上的自旋狀態，這在經典力學里是不敢想像的。
到了這裡，相信大家也看出來了：如果我們想描述斯特恩-蓋拉赫實驗，就必須發展一套全新的力學體系，因為這個實驗展現出來的特性已經跟經典力學的根本觀念發生了衝突。在這種全新的力學體系里，「測量」將具有完全不同於它在經典力學裡的含義，它不再是簡簡單單地把某個確定的值讀出來，而是會改變系統的狀態，會參與到系統的演化中去。
這種全新的力學，自然就是大名鼎鼎的量子力學。
06測量與狀態
意識到「測量會改變系統狀態」是一個關鍵點，但僅僅知道這些還不夠。你知道測量可以改變系統狀態，那測量是如何改變系統狀態的呢？系統原來處於這個狀態，測量之後又會變成什麼狀態呢？你得把這些都搞清楚了才行。
怎麼搞清楚呢？當然還是回到斯特恩-蓋拉赫實驗。
我們再走一遍第三組實驗。一開始，銀原子雜亂無序，什麼狀態都有，它們經過第一個z方向磁場後分裂成了兩束。這時候，我們可以保守地下一個結論：向上偏轉的那束銀原子都自旋向上，向下偏轉的那束都自旋向下。
這個結論看起來很有道理，但對不對呢？我們剛剛踏進量子力學大門，下任何結論都要萬分謹慎，因為以前的直覺到現在還不一定有效。我們想判斷向上偏轉的銀原子是否都自旋向上，不能憑感覺，得去測量。
怎麼測量呢？你想知道銀原子在z方向的自旋狀態，讓它通過z方向的磁場就好了。如果向上偏轉的那束銀原子在z方向的確都自旋向上，那它們再次通過z方向磁場時就不會分裂。
這個實驗其實我們已經做過了，它就是第一組級聯斯特恩-蓋拉赫實驗（讓通過z方向磁場的銀原子再次通過z方向磁場）。實驗結果也很清楚：它的確沒有分裂！
這樣，我們才能下結論：在第三組實驗里，銀原子通過第一個z方向磁場之後，向上偏轉的那一束的確都自旋向上。
但是，這束銀原子通過x方向磁場後，再次通過z方向磁場時，竟然又分裂了（最後那個驚天大分裂）。也就是說，經過第一個z方向磁場後，銀原子們都自旋向上。但是，在經過第二個z方向磁場前，它們又變成了自旋向上和自旋向下都有的狀態，為什麼會這樣？
很明顯，夾在這兩個z方向磁場之間的只有一個x方向磁場，那這種變化就只可能是這個x方向磁場導致的。
所以，第三組級聯斯特恩-蓋拉赫實驗逼得我們不得不承認這樣一個事實：銀原子通過x方向的磁場後，它們就從z方向自旋向上的狀態，變成了z方向自旋向上和自旋向下都有的狀態。
07死結
這個結論雖然有點奇怪，但接受起來似乎也沒那麼困難。因為我們已經接受了「測量會改變系統狀態」，那麼，測量x方向自旋會稍微影響一部分銀原子在z方向的自旋狀態也不足為怪。
但是，事情有這麼簡單么？我們繼續往下挖。
你覺得測量x方向的自旋會影響一部分銀原子在z方向的自旋，讓原來都是自旋向上的銀原子變成一部分自旋向上，一部分自旋向下，然後就有了後面的分裂。但問題是：它會讓哪一部分銀原子的狀態發生變化呢？
大家都是平等的銀原子，現在有人說你們挑一部分出來變成自旋向下，那我挑哪一部分？你挑哪一部分大家都會不服氣，憑什麼？大家都一樣，憑什麼選中它而不是我？
為了把這個矛盾更加尖銳地暴露出來，我們再做一個假設：假設通過x方向磁場的銀原子不是一束，而是一個，你猜結果會怎麼樣？通過x方向的磁場後，它在z方向的自旋會是向上還是向下？
你敢肯定一定是自旋向上么？不，你不敢！
因為我是隨機取的一個銀原子，如果你敢肯定這個銀原子在通過x方向磁場後在z方向的自旋一定是向上，那其它銀原子是不是也都可以同理可得？如果所有的銀原子通過x方向磁場後，在z方向的自旋都變成了向上，那第二次通過z方向磁場後就不會有那個驚天大分裂了。
同理，你也不敢肯定這個銀原子在通過x方向磁場後，它在z方向的自旋一定向下。
但是，這束銀原子在通過x方向磁場後，的的確確變成了在z方向自旋向上和自旋向下都有的狀態，否則，它們第二次通過z方向磁場時就不會再分裂。
也就是說，面對完全相同的一束銀原子，通過同樣的磁場之後，你既不能肯定某個銀原子一定自旋向上，也不能肯定它一定自旋向下。但是，這束銀原子又必須包含了自旋向上和自旋向下兩種狀態，這樣才會有後面的分裂。
這看上去是一個死結，是一個無解的題目。因為這些銀原子的狀態都一樣，但是，對其中的每一個銀原子來說，它既不能是自旋向上，也不能是自旋向下。而實驗結果又要求這束銀原子里必須包含了自旋向上和自旋向下兩種狀態，否則，第二次通過z方向磁場後就不會有那個驚天大分裂，這怎麼看都自相矛盾！
怎麼辦？
看起來確實是身處絕境，但絕縫中還有一絲可能性，雖然這種可能性看起來太過石破天驚，太過不可能，但除此之外似乎也別無他法。這種可能性就是：我們只能假設每個銀原子本身就具有自旋向上和自旋向下的狀態，它本身就處在自旋向上和自旋向下的疊加態。
什麼意思？
08疊加態
意思就是，我們不能再非黑即白地看待銀原子的自旋。你不能認為一個銀原子要麼自旋向上，要麼自旋向下，它也可以同時具備這兩種狀態，處於它們的疊加態。你去測量銀原子的自旋，結果就既可能自旋向上，也可能自旋向下，一人分飾二角。
只有這樣，我們才能既滿足「所有銀原子的狀態都一樣」（都是自旋向上和自旋向下的疊加態），又滿足「包含自旋向上和自旋向下兩種狀態」，從而解開上面的死結。
以前，你以為一個人要麼是步兵，要麼是炮兵。現在，你發現他還可以是特種兵，可以既是步兵又是炮兵。一群完全一樣的特種兵，一樣可以根據戰場需求立馬「分裂」成步兵隊和炮兵隊，就像銀原子第二次通過z方向磁場後分裂一樣。
如果銀原子既可以處於自旋向上的狀態，也可以處於自旋向下的狀態，還可以處於自旋向上和自旋向下的疊加態，那我們就可以認為通過x方向磁場後的每個銀原子都是處於z方向自旋向上和自旋向下的疊加態。於是，第二次通過z方向磁場時，每個銀原子都既可能向上偏轉，也可能向下偏轉，這樣就分裂成了兩束。
這裡的核心要點是：第二次通過z方向磁場前，並不是說有一半的銀原子自旋向上，一半的銀原子自旋向下，通過磁場後自旋向上的那一半向上偏，自旋向下的那一半向下偏。而是，每一個銀原子都處於自旋向上和自旋向下的疊加態（狀態都一樣），每一個銀原子在通過z方向磁場前都不知道自己將會向上偏還是向下偏，只有通過磁場以後才知道。
雖然這兩種情況都會讓銀原子分裂成兩束，但本質卻完全不同：前者並非每個銀原子的狀態都一樣，而且每個銀原子的自旋都是確定的，這在經典力學里也能出現；後者是每個銀原子的狀態都一樣，都處於疊加態，是量子力學才有的情況。
這樣，我們就通過引入疊加態解開了那個死結，用一種比較合理的方式解釋了第三組級聯斯特恩-蓋拉赫實驗。
跟疊加態相對，我們把銀原子處於確定的自旋向上或自旋向下的狀態稱為本徵態。也就是說，現在的銀原子可以處於自旋向上本徵態、自旋向下本徵態以及自旋向上和自旋向下的疊加態。
09重走實驗
引入了疊加態和本徵態，我們再來走一遍第三組級聯斯特恩-蓋拉赫實驗。
銀原子第一次經過z方向磁場後分裂成了兩束，上面那束銀原子自旋向上（因為第一組實驗告訴我們，這束銀原子再次通過z方向磁場後不會分裂），也就是都處於z方向自旋向上的本徵態。
我一再強調，「測量」在量子力學裡具有完全不同於它在經典力學裡的意義，它不再是一個單純的顯示器，而是要參與到系統演化中來。
我們讓銀原子通過z方向磁場，這就是一次測量，測量什麼呢？測量銀原子在z方向的自旋。通過第一個z方向磁場前，銀原子處於什麼狀態我們不知道，但經過磁場的測量後，向上偏轉的那束銀原子就處於z方向自旋向上的本徵態，向下偏轉的那束銀原子處於z方向自旋向下的本徵態。
於是，我們發現：測量銀原子z方向的自旋，會讓銀原子從原來的狀態變成z方向的自旋本徵態，測量會這樣改變系統的狀態。
通過了第一個z方向磁場，上面那束銀原子接下來要通過x方向磁場。同樣，我們有理由相信，讓銀原子通過x方向磁場也會讓它從原來的狀態變成x方向的自旋本徵態。
通過x方向磁場後，銀原子又分裂成了兩束，很顯然，向上偏轉的處於x方向自旋向上本徵態，向下偏轉的處於x方向自旋向下本徵態。而這束銀原子能分裂，就說明它們在通過x方向磁場前必然是處於x方向自旋向上和向下的疊加態。
於是，我們就把銀原子通過x方向磁場前後的狀態都搞清楚了：通過x方向磁場前，銀原子處於x方向的自旋疊加態，同時還處於z方向自旋向上的本徵態（因為剛通過第一個z方向磁場）；通過x方向磁場後，銀原子處於x方向自旋本徵態。
也就是說，通過x方向的磁場後，銀原子在x方向的自旋確實從疊加態變成了本徵態，那z方向的自旋呢？通過x方向磁場前，銀原子在z方向處於自旋本徵態，那麼，通過x方向磁場後，它在z方向的自旋會不會發生改變呢？
10不對易
咋一看，這個問題有些奇怪：我們讓銀原子通過x方向磁場，測量的是銀原子在x方向的自旋，影響x方向的自旋就罷了，你z方向上的自旋來湊什麼熱鬧？z方向的自旋還是哪涼快哪呆著去，你通過x方向磁場前在z方向是自旋本徵態，那通過後就繼續保持本徵態好了，別瞎湊熱鬧。
但是，仔細一想我們就發現不對勁了：在第三組實驗里，通過x方向磁場的銀原子接下來會第二次通過z方向磁場，並且發生分裂（就是最後的那個驚天大分裂）。銀原子通過第二個z方向磁場後分裂了，就說明銀原子在通過第二個z方向磁場前必然是處於z方向的自旋疊加態。
而通過第二個z方向磁場前跟通過x方向磁場後是同一時刻，於是，在通過x方向磁場前後，銀原子在z方向的自旋狀態也都清楚了：通過x方向磁場前，銀原子處於z方向自旋向上本徵態；通過x方向磁場後（第二個z方向磁場前），銀原子處於z方向的自旋疊加態。
也就是說，測量銀原子x方向的自旋（通過x方向磁場），不僅讓銀原子在x方向上從疊加態變成了本徵態，也讓銀原子在z方向上從自旋向上本徵態變成了疊加態。
這是一個在經典力學看起來完全不可理喻的結論，你測量銀原子x方向上的自旋，影響x方向的自旋就罷了，為什麼還要影響z方向的自旋呢？這不是狗拿耗子多管閑事么？
而且，如果測量x方向的自旋會影響z方向的自旋，那它還會影響其它力學量么？y方向的自旋會不會被影響？動量、位置、能量會不會被影響？如果測量一個力學量，所有的力學量都要被影響，那豈不天下大亂了？
還好，事情並沒有亂到如此不可收拾的地步，測量x方向的自旋雖然會影響z方向的自旋，但它並不是誰都招惹，它只招惹跟它不對易的力學量。
如果兩個力學量是對易的，它們就互相獨立，先測量誰後測量誰不影響結果，它們可以有共同的本徵態，可以同時測准；如果兩個力學量不對易，它們就不獨立，一般來說先測量誰後測量誰結果就不一樣，它們沒有共同的本徵態，無法同時測准。
很顯然，x方向自旋和z方向自旋就不對易，所以測量x方向自旋會影響z方向自旋。測量x方向自旋後，銀原子就處於x方向自旋本徵態，同時也處於z方向的自旋疊加態。這時候，測量x方向自旋有確定值，測量z方向自旋就沒有確定值了。
因此，如果兩個力學量不對易（比如x方向和z方向自旋，位置和動量），它們就沒法同時處於本徵態。系統處於一個力學量的本徵態，測量這個力學量時能測准，另一個力學量就會因為處於疊加態而測不準。於是，你就沒法同時測准它們，這就是所謂的不確定性原理。
當然，關於不確定性原理，這裡只順便提一嘴。現在我們只要知道測量x方向的自旋不僅會讓銀原子處於x方向本徵態，也會影響z方向自旋，讓銀原子在z方向上從自旋向上本徵態變成疊加態就行了。
這樣，第三組斯特恩-蓋拉赫實驗就可以完全走通了：銀原子通過第一個z方向磁場後變成了z方向自旋本徵態，向上偏轉的銀原子通過x方向磁場後變成了x方向自旋本徵態。與此同時，由於z方向和x方向的自旋不對易，它們無法同時處於本徵態。所以，當銀原子處於x方向自旋本徵態的同時，在z方向就會從自旋向上本徵態變成疊加態。
於是，處於z方向自旋疊加態的銀原子通過第二個z方向磁場後自然就分裂了，這就是最後的那個驚天大分裂，就是那個讓經典力學百思不得其解的分裂。
至此，斯特恩-蓋拉赫實驗就全部走通了。
11量子力學
可以看到，為了解釋斯特恩-蓋拉赫實驗，我們引入了許多全新的假設。我們假設銀原子可以處於自旋向上和自旋向下的疊加態，假設測量會影響系統的狀態，假設如果兩個力學量不對易，測量一個力學量會影響另一個的情況……
這些假設已經完全超出了經典力學的範疇，但順著斯特恩-蓋拉赫實驗，你又會發現非如此不可。物理學家其實是很保守的，但凡經典物理修修補補還能用，大家也不至於掀桌子，量子力學是被逼出來的。
有了這些全新的假設，我們就能定性地分析斯特恩-蓋拉赫實驗了。但是，光有定性的分析還不夠，我們還要用數學語言定量地描述它們。
比如，你說銀原子可以處於自旋向上和自旋向下的疊加態，那如何描述這種狀態？系統處於疊加態還是本徵態，測量自旋的結果會完全不同，那自旋這種力學量要如何描述？系統狀態發生了變化，又要如何描述？等等。
我們知道，系統處於不同的狀態，測量力學量會有不同的結果：處於本徵態，測量結果是確定的；處於疊加態，測量結果不確定。如果系統狀態發生了變化，各個力學量的測量結果也會隨之發生變化。
在這樣的語境下，系統狀態就處在了一個非常核心的位置。所以，我們要先描述系統狀態，那麼，如何描述系統的狀態呢？老辦法，想知道量子力學里的情況，我們就先去經典力學看看。在經典力學里，我們是如何描述系統狀態的呢？
假設有兩個蘋果，一個在北京，一個在武漢，我們會覺得它們的狀態不一樣，因為位置不同。當然，就算它們的位置一樣，但如果一個靜止，另一個卻在運動，我們還是會覺得它們的狀態不一樣，除非它們的位置和速度都相同。
也就是說，在經典力學裡，我們可以用物體的位置和速度（或動量）這樣的力學量來描述系統的狀態。
如果兩個質點的位置和動量（速度）都一樣，它們在時空中的狀態就被唯一確定了。在和牛頓力學等價的哈密頓力學里，我們會以位置和動量為橫、縱軸構建一個叫相空間的東西，相空間里的一個點（有個確定的位置和動量）就代表了一個運動狀態。
與此同時，由於位置和動量都可以直接觀測，我們又用這些可觀測量來描述系統狀態，那系統狀態和可觀測量之間就沒啥區別了。另外，在經典力學裡，無論系統處於什麼狀態，測量結果都是確定的，所以，測量結果和可觀測量之間也沒啥區別了。
於是，在經典力學裡，系統狀態、可觀測量和觀測結果就都沒啥區別了，都可以用位置和動量來描述。你想確定一個粒子的狀態，確定它的位置和動量就好了；粒子的可觀測量也是位置、動量；最後的觀測結果，無非就是把位置和動量的值讀出來。
但是，量子力學里的觀測結果卻是跟系統狀態有關的，系統處於本徵態還是疊加態，觀測結果會很不一樣。自旋、位置這樣的可觀測量跟系統狀態也不是一回事。這樣的話，你再想用位置和動量打發它們三個就不可能了。
那麼，到了量子力學，我們要如何描述系統的狀態呢？
12系統狀態
能否還像經典力學那樣，直接用可觀測量來描述系統狀態？比如，銀原子的自旋可以取向上和向下，那我們就用S=0表示自旋向上的狀態，用S=1表示自旋向下的狀態，用這樣的變數S來描述系統狀態行不行？
不行！
如果銀原子只處於本徵態，我們確實可以用S=0描述自旋向上本徵態，用S=1描述自旋向下本徵態。但是，如果銀原子處於疊加態呢？
有人說，那我用S=0.5描述銀原子處於自旋向上和向下的疊加態，用S=0.7表示測量時有更大概率自旋向下，用S=0.3表示有更大概率自旋向上，行不行呢？
在這個特例里是可行的，但它無法推廣。我們這裡是碰巧自旋只能取S=0、S=1這樣的分立值，如果現在討論的不是自旋，而是位置呢？銀原子的位置x本身就可以連續取值，x=0.3也只能表示某個位置本徵態，那你要如何表示位置的疊加態？
所以，想用一個變數S描述銀原子的自旋狀態是不行的，變數不夠用。不夠用怎麼辦？簡單，一個不夠用那就再加一個唄，反正又不費電。
比如，我們可以用S0表示自旋向上本徵態，用S1表示自旋向下本徵態，如果銀原子處於疊加態，我們就把它們加起來，用S=S0+S1描述疊加態不就行了么？
如果想改變疊加的權重，調節S0、S1前面的係數就行了。比如，我們可以用S=0.6S0+0.8S1表示測量時有（0.6）²=0.36的概率自旋向上，有（0.8）²=0.64的概率自旋向下（為什麼是平方大家後面會明白）。
這樣，不管力學量是取分立值（自旋）還是連續值（位置），我們都能描述疊加態了。你取幾個值，我就弄幾個變數，你處於什麼樣的疊加態，我就相應調節變數前的係數，再把它們加起來就完了。
而且，當你把銀原子的疊加態寫成S=S0+S1這樣時，如果S0前面的係數為0，那就是S=0×S0+S1=S1，這不就是自旋向下的本徵態么？同理，讓S1的係數為0也可以表示自旋向上的本徵態。這樣，疊加態和本徵態就都可以用S=S0+S1的形式來描述，調節S0、S1的係數就可以表示不同權重的疊加態，本徵態就可以看成一種特殊的（除它以外係數都為0）疊加態。
所以，用S=S0+S1描述銀原子的自旋狀態是一個不錯的選擇。
那麼，當我們把系統狀態寫成S=S0+S1的時候，我們這是整了一個啥玩意出來了呢？有沒有覺得有點眼熟？如果不夠眼熟，那我把S0換成x，把S1換成y，這樣S就可以寫成S=x+y，這樣總眼熟了吧？
沒錯，這就是一個矢量啊！
你看，如果我們把S0和S1看成橫坐標和縱坐標，那它們就構成了一個平面，S=S0+S1就代表這個二維平面里的一個矢量。因為S0、S1的係數都是1，所以S=S0+S1就代表了從坐標原點(0,0)到(1,1)的一個矢量，記作S=(1,1)。
也就是說，如果我們想在量子力學裡描述系統的狀態，用一個數是不行的，得用一個矢量。這個用來描述系統狀態的矢量，就被稱為態矢量。
態矢量確定了，每個基矢的係數（坐標）就確定了，我們就能知道銀原子是處於本徵態還是疊加態，知道測量時有多大概率自旋向上，多大概率自旋向下。雖然不知道結果到底是自旋向上還是向下，但概率知道了，我們還能算出它的平均值。
也就是說，態矢量確定了，雖然自旋的具體取值不確定，但它的平均值卻是確定的。我們正是在這個意義上說態矢量完全描述了系統的狀態，這跟經典力學完全不一樣。
但大家也清楚，自旋是粒子的內稟性質，就像質量、電荷一樣，跟粒子在時空中的位置、速度無關。所以，當我們只考慮自旋時，粒子的自旋態空間其實是一種內部空間。如果我們不考慮自旋，而是考慮粒子在外部時空中的運動情況，那就要看它的位置和動量了。
銀原子的自旋可以取兩個值，我們用S=S0+S1表示它的狀態，這是一個二維的態矢量，對應的自旋態空間是一個二維空間。而位置可以取無窮多個值，我們就要用S=S0+S1+S2+……表示它的狀態，這是一個無窮維的態矢量，對應的態空間一個無窮維空間。
如果你既想描述粒子的自旋，又想描述它在外部時空的情況，那就得把這兩個態空間「加」起來，在數學上就是對它們做一個張量積。
由此可見，大家常見的矢量都在二維、三維歐式空間里，而態矢量卻可以在無窮維空間。另外，量子力學裡的態矢量不再局限於實數，而把範圍擴大到了複數。這部分數學內容我不打算多講，大家只要知道態矢量所在的空間並不是歐式空間，而是一個範圍更大的空間就行了。這個空間，我們稱之為希爾伯特空間，態矢量是希爾伯特空間中的矢量。
也就是說，在量子力學裡，我們用希爾伯特空間中的矢量描述系統狀態，這是我們第一個非常重要的結論。
13力學量
知道如何描述系統狀是一個巨大的進步，但這裡有個問題：描述系統狀態的是希爾伯特空間中的矢量，而它是無法直接觀測的。你想想，態矢量是二維、三維、N維，甚至無窮維空間中的一個矢量，你能直接觀測么？
不能！
在經典力學里，我們用位置和動量描述系統的狀態，而位置和動量本身就可以直接觀測。到了量子力學，描述系統狀態的是希爾伯特空間中的態矢量，而它無法直接觀測，可以直接觀測的是自旋、位置、動量這些力學量。
所以，如果你的理論不想跟實際脫節，那就得想辦法描述這些力學量。我們用態矢量描述系統狀態，那自旋、位置、動量這些力學量要如何描述呢？
我們知道，測量自旋的結果跟系統狀態有關：銀原子處於本徵態，測量結果是對應的本徵值；銀原子處於疊加態，測量結果就有可能是自旋向上，也有可能自旋向下。如果態矢量確定了，每個基矢前面的係數（坐標）就確定了。係數確定了，測量時是各個結果的概率也就確定了。
如果概率分布確定了，力學量的平均值也就確定了。而平均值，是可以直接觀測的，這一點很重要。
也就是說，雖然態矢量無法直接觀測，力學量在一般情況下也沒有確定值。但是，如果態矢量確定了，力學量的平均值就確定了。態矢量無法直接觀測，但力學量的平均值可以直接觀測啊，我們可以從這裡入手。
由於自旋沒有經典對應，不方便理解，我們來看看大家更熟悉的位置。
假設電子只能處於x=1和x=2兩個位置，跟自旋類似，如果電子處於位置疊加態，測量位置時就有一定概率發現電子處於x=1處，有一定概率發現電子處於x=2處。如果兩種概率都是50%，那位置的平均值就是x=1×0.5+2×0.5=1.5；如果處於x=1的概率是70%，處於x=2的概率是30%，那位置的平均值就是x=1×0.7+2×0.3=1.3。
可見，態矢量確定後，概率分布也就確定了，雖然每個電子的位置依然不確定（可能在x=1，也可能在x=2），但位置的平均值卻確定了（兩個態矢量分別對應x=1.5和x=1.3）。
這裡要說明一下，經典力學里測量平均值的方法，通常是測一次記下一個數，再測一次，再記下一個數，最後求平均。但在量子力學里卻不能這麼干，因為量子力學裡的測量會改變系統的狀態。
電子處於某個疊加態，你測一下位置，它就會變成某個位置本徵態，你再去測量這個處於位置本徵態的電子，測量結果就會一直是這個本徵值，這顯然就不對了。
所以，如果你想測量處於疊加態電子的位置平均值，就得提前準備許多和它狀態完全相同的電子，然後分別測量每一個電子的位置。測量一個就記一個位置（注意，每個電子只測一次），然後測下一個電子，最後對所有的位置求平均，這樣才能測出這個狀態下的位置平均值。
於是，我們就清楚了：如果系統狀態確定了，雖然力學量不一定有確定值，但力學量的平均值卻一定是確定的。而平均值又可以直接觀測，這樣，我們就在系統狀態和可觀測量之間架起了一座橋樑。
在量子力學裡，系統狀態是用希爾伯特空間中的矢量來描述的。現在我們想求這個狀態下的力學量平均值，就必然要對這個矢量進行一些操作，讓它產生一個實數（平均值）。那麼，能對矢量進行操作、變換的東西是什麼呢？
是算符！
算符可以作用在一個矢量上，把它變成另一個矢量。比如，我們把一個矢量平移到另一個地方，完成這個操作的就叫平移算符；把一個矢量旋轉一下變成另一個矢量，就叫旋轉算符；把一個矢量投影到某個坐標軸，就叫投影算符。
也就是說，如果我們測出了電子在某個狀態的位置平均值，現在你要用算符對描述這個狀態的態矢量進行一番操作，讓態矢量「吐」一個實數出來（當然，算符直接作用在矢量上只能得到另一個矢量，想得到一個數還得藉助它的對偶矢量，這裡我們不細說），並且讓這個實數就等於我們測量得到的位置平均值。
這樣的話，看起來就是有一個算符作用在態矢量上，經過一番操作後得到了位置的平均值。在這個意義上，我們說這個算符描述了位置這個力學量，叫它一聲位置算符不為過吧？
在數學上，算符可以用矩陣來表示，一個矢量跟一個矩陣相乘，其結果還可以是一個矢量，這就相當於對矢量進行了一個變換。在各種變換里，有一種變換很特殊：它對某個矢量進行變換的結果，就好像是把原矢量拉長或縮短了一定倍數。
當然，矩陣的這種變換隻對一些特殊的矢量成立，我們把這些特殊矢量叫做這個矩陣的本徵矢量（特徵矢量），這個拉長或縮短的倍數就叫本徵值（特徵值）。
名字都取成這樣了，相信大家不難看出它跟量子力學的關係。在量子力學里，我們用矢量描述系統狀態，用算符描述力學量。而算符又可以用矩陣來描述，於是，對算符A來說，也可以出現當它作用在某個態矢量|Ψ>上時，就好像把這個態矢量|Ψ>拉長了a倍。
寫成方程就是：A|Ψ>=a|Ψ>，這就叫算符A的本徵方程，|Ψ>是本徵態，a就是對應的本徵值。
需要注意的是，這個方程左邊的A是一個算符，用矩陣來描述，右邊的a是一個數。所以，你可千萬別把方程左右兩邊的|Ψ>給約去了，然後得到A=a（很多初學者容易鬧這樣的笑話）。
於是，數學和物理就對上了：我們用矢量描述系統狀態，用算符描述力學量。算符可以寫成矩陣的形式，而矩陣有對應的本徵矢量和本徵值，它們就對應了本徵態以及測量力學量時可能出現的結果。
這樣的話，你想知道力學量可以取哪些值，解對應算符A的本徵方程A|Ψ>=a|Ψ>就行了。你想知道力學量在某個狀態下的平均值是多少，用算符A作用在對應的態矢量上，經過一些操作也能算出來。
而且，不同算符之間一般不能交換次序，也就是我們前面說的不對易，這是量子力學非常重要的一個特點。
這樣，只要知道了算符的情況，就能知道對應力學量的情況。於是，我們就得到了第二個極為重要的結論：在量子力學裡，我們用算符描述力學量，而且不同算符之間一般不能交換次序。
由於力學量和測量密切相關，因此，第三個極為重要的結論是關於測量的：我們測量一個力學量，測量結果只可能是對應力學量算符的本徵值之一。
這個結論幾乎不用作過多說明，因為我們一直就是這麼乾的。我們早就知道測量銀原子的自旋會讓系統從疊加態變成某個本徵態，測量結果就是對應的本徵值。現在，我們只不過是知道了，原來這些本徵態和本徵值是跟一個算符對應起來的。
在斯特恩-蓋拉赫實驗里，自旋對應的算符是泡利矩陣，解泡利矩陣的本徵方程就能得到兩個本徵矢量和兩個本徵值，分別對應自旋向上和自旋向下。去測量銀原子的自旋，結果也只能是泡利矩陣的兩個本徵值之一。
當然，由於測量結果必須是實數，這對算符會有一定的要求（必須是厄米算符），具體概率也都可以算，這些就不細說了。
這樣，力學量問題就圓滿解決了。
14靜態的圖像
此時，如果這裡有個電子，我們就能知道如何描述電子的狀態，知道如何描述它的力學量，也知道力學量可以取哪些值，對應的概率是多少，平均值又是多少，我們知道了電子此刻的一切。
如果你是一位畫師，你可以把電子此刻的物理圖像畫下來，但是，也僅僅是畫下此刻的一幀圖像。因為你並不知道電子在下一刻的狀態，於是就不知道下一刻的概率分布，不知道下一刻的力學量平均值，也就沒法畫出下一刻的物理圖像。
所以，我們現在描繪的是一幅靜態的量子圖像，它不能動。如果我們想讓靜態的量子圖像動起來，想描繪運動變化的量子世界，就得知道系統下一刻會處於什麼狀態。
也就是說，我們必須知道系統狀態是如何隨時間變化的，知道如何根據系統此刻的狀態求出它下一刻的狀態，這就是量子動力學的問題。
那麼，如何找出系統狀態隨時間的變化規律呢？能從上面的結論推出來么？不能，因為我們現在只知道要用矢量描述系統狀態，並不知道它如何隨時間變化。
還是老規矩，想知道量子力學里的情況，我們先去經典力學里看看。
在牛頓力學裡，知道了物體的位置和速度，就知道了物體的狀態。如果你還想知道物體下一刻的狀態，也就是想知道物體下一刻的位置和速度，要怎麼做呢？
很簡單，學過中學物理的朋友都清楚（不清楚的可以先看看《什麼是高中物理？》）：想知道物體在下一刻的位置和速度，就得先找到物體受到的合外力F，然後利用牛頓第二定律F=ma算出物體的加速度a。有了加速度，我們就能根據物體此刻的速度算出它下一刻的速度，進而求出下一刻的位置。於是，我們就知道了物體在下一刻的狀態。
也就是說，我們之所以能求出物體下一刻的狀態，關鍵就在於牛頓第二定律F=ma。正是因為有了F=ma，我們才能根據物體此刻的位置和速度求出它下一刻的位置和速度，才能知道系統的狀態會如何隨時間變化，才能描繪出物體的運動圖像。
同理，如果我們想讓量子圖像也動起來，想知道量子力學裡的系統狀態如何隨時間變化，我們也要找一個類似牛頓第二定律F=ma這樣的方程。
那牛頓第二定律是怎麼來的？它是從牛頓力學的其它結論推出來的么？
當然不是！每個理論都有一些最基本的假設，它們是這個體系里最底層的東西，是推不出來的（當然，如果以後發現了更深刻的理論，有了更基本的假設，能從那裡把這些假設推出來，那就是另外一回事了），它們的正確性只能由實驗來保證。很顯然，牛頓第二定律F=ma就是牛頓力學的一個基本假設。
同樣的，量子力學裡描述系統狀態隨時間變化的方程也應該是一個基本假設，它也沒法從量子力學的其它結論里推出來，它的正確性也只能由實驗來保證。
1925年，在白雪皚皚的阿爾卑斯山，在各種新思想的刺激下，在一位神秘女子的陪伴下，有個人得到了這個描述系統狀態隨時間變化的方程，得到了這個相當於牛頓力學裡F=ma的方程，這就是大名鼎鼎的薛定諤方程。寫出這個方程的大佬，自然就是薛定諤。
15薛定諤的工作
相信大家都聽過薛定諤方程，各種科普書也會提到它。但是，大部分人都只知道薛定諤方程很重要，卻不知道它為什麼重要，也不知道它到底在講什麼。
現在大家心裡有數了：薛定諤方程是描述系統狀態隨時間變化的，它能讓靜態的量子圖像動起來，就像牛頓力學裡的F=ma一樣，重要性不言而喻。
那麼，薛定諤方程是如何描述系統狀態隨時間的變化的呢？
我們知道系統狀態用態矢量來描述的（第一個結論），我們採用狄拉克的記號，把態矢量記作|Ψ>。這樣，你想知道系統狀態如何隨時間變化，就是想知道態矢量|Ψ>在不同時間t會取什麼樣的值，這就是一個關於時間t的函數，我們記作|Ψ(t)>。
t取不同的時間，|Ψ(t)>就會有不同的取值，這不就是態矢量|Ψ>隨時間變化的規律么？所以，薛定諤方程想描述系統狀態隨時間的變化，就是要說明|Ψ(t)>應該遵守什麼樣的規律。那麼，它會遵守什麼樣的規律呢？
由於薛定諤方程是量子力學的基本假設，無法從其它結論里推出來，那就只能靠「猜」了。當然，這不是亂猜，而是要基於事實分析，利用縝密的邏輯和合理的想像提出一些假設，然後用實驗來驗證。
薛定諤當年主要是看到了「光學和力學之間的相似性」，進而把光學的一些結論推廣到了力學，最終得到了薛定諤方程。
他是怎麼做的呢？
首先，薛定諤注意到幾何光學是波動光學的短波長極限。這個好理解，當光的波長越來越短時，光波看起來就越來越像光線，波動光學自然就慢慢趨近於幾何光學。
然後，薛定諤注意到，作為幾何光學基本方程的程函方程跟分析力學裡的哈密頓-雅克比方程非常相似。於是，薛定諤就想：如果幾何光學是波動光學的短波長極限，那麼，跟幾何光學相似的分析力學會不會也是某種波動力學的極限？
也就是說，有沒有可能說我們現在的力學只是「幾何力學」，它只是某種波動力學的極限（就像幾何光學只是波動光學的極限那樣）？並且，這種波動力學裡某個方程的短波長極限，剛好就是「幾何力學」里的哈密頓-雅克比方程？
答案我們都知道，這種波動力學就是量子力學，薛定諤方程的短波長極限就是哈密頓-雅克比方程。
當然，這不是什麼巧合，並不是說薛定諤無意中發現了一個方程，然後這個方程的極限剛好就是哈密頓-雅克比方程。而是反過來：薛定諤就是要找一個極限是哈密頓-雅克比方程的東西，然後才找到了薛定諤方程，而這種波動的力學就是量子力學。
按理說，這種想法是非常自然的。物理學家只要注意到了程函方程與哈密頓-雅克比方程的相似性，知道幾何光學和波動光學的關係，考慮是否存在一種波動力學就是很自然的一件事。那麼，為什麼直到薛定諤才開始認真考慮這個事呢？
其實，哈密頓本人就注意到了光學和力學之間的這種相似性，因此也有人說哈密頓距離發現薛定諤方程只差臨門一腳。
但是吧，物理畢竟不是數學，它是要對現實負責的，並不是說邏輯上成立東西現實中就一定存在。在當時，光的波動性已經取得了廣泛的共識，但誰會認為力學，認為石頭、蘋果也具有波動性？而且，當時經典力學也運行得非常好，人們對它信心十足，誰會跑去倒騰什麼波動的力學？
然而，到了薛定諤這會兒，情況就完全不一樣了。經典力學已經受到了嚴重的挑戰，量子革命正在如火如荼的進行著，德布羅意也提出了革命性的物質波思想。這時候，考慮一般物體的波動性，考慮是否存在一種波動力學，使得現有的力學只是波動力學的極限就有了非常現實的基礎。
於是，薛定諤就開始思考，如果現在的力學只是某種波動力學的極限，那現在的哈密頓-雅克比方程會是哪個波動方程的極限呢？
答案大家都知道，它就是大名鼎鼎的薛定諤方程。也就是說，如果我們讓薛定諤方程取短波長極限，也就是讓普朗克常數h趨近於0，它就會回到分析力學裡的哈密頓-雅克比方程。
所以，如果你想了解薛定諤方程，最好先了解一下分析力學。
16薛定諤方程
當然，這篇文章是科普量子力學的，這裡也只能非常簡單地講一點分析力學，讓大家知道為什麼薛定諤方程會寫成這樣就行了。至於分析力學的具體內容，以後再說，怕錯過的盯著我的公眾號就行。
簡單來說，分析力學是一套跟牛頓力學完全等價的力學體系，它並沒有什麼新東西，只是描述方式跟牛頓力學不太一樣。
牛頓力學的核心是力，我們分析物體的運動時要先受力分析，然後利用牛頓第二定律F=ma計算物體的運動情況；分析力學的核心是能量，我們不需要對物體進行複雜的受力分析，只要選擇合適的廣義坐標，找到系統的拉格朗日量L或哈密頓量H（這倆知道一個就能求出另一個），代入拉格朗日方程或哈密頓方程就能求出物體的運動情況。
因為力是矢量，分析時要考慮大小和方向，而能量是標量，只考慮大小就行了。所以，在環境比較複雜，約束條件比較多的時候，從能量入手的分析力學往往會簡單很多。
當然，如果分析力學僅僅是一個更好用的牛頓力學，一個處理複雜問題更加簡單的牛頓力學，我們似乎也沒必要花很大精力去研究它。分析力學最大的優點，是它處理問題的這套方法可以很方便地推廣到經典力學以外，不管是電磁場還是量子力學都可以這麼處理，而牛頓力學卻不行。這是拉格朗日、哈密頓等分析力學創始人們始料未及的。
也就是說，牛頓力學處理問題的那一套方法沒法直接搬到量子力學，我們在量子力學裡也不會對物體進行受力分析，而是要用分析力學的那一套。在分析力學裡，只要知道了系統的哈密頓量H，把它代入哈密頓方程就能求出系統的運動情況，量子力學也是這樣。
也就是說，在量子力學裡，如果我們知道了系統的哈密頓量，把它代入一個方程，就能知道系統的狀態會如何變化。
在一般情況下，系統的哈密頓量H在數值上等於動能加勢能，也就是系統的總能量。因為能量也是一個力學量，量子力學用算符描述力學量，所以，哈密頓量H進入量子力學之後也要入鄉隨俗地變成哈密頓算符H。
而我們又知道，在量子力學裡描述系統狀態隨時間變化|Ψ(t)>的正是薛定諤方程。因此，如果把哈密頓算符H代入某個方程就能知道系統狀態隨時間的變化情況，那這個方程自然就是薛定諤方程。
所以，薛定諤方程就是這麼一個東西：你給出系統的哈密頓算符H(t)，把它代入薛定諤方程，求解方程就能得到系統狀態隨時間的變化|Ψ(t)>。
具體形式如下：
可以看到，薛定諤方程的主體就是哈密頓算符H(t)和系統狀態隨時間變化|Ψ(t)>的一個關係，i是虛數單位，ℏ是約化普朗克常數（ℏ=h/2π），讀作h bar。這是一個微分方程，因為它不僅包含了|Ψ(t)>，還包含了|Ψ(t)>對時間t的求導（d/dt）。
知道了系統的哈密頓算符H(t)，我們就能通過求解薛定諤方程把描述系統狀態隨時間變化的|Ψ(t)>求出來。知道了系統的狀態，就知道了概率分布，知道了各種力學量的平均值，也知道了測量時會發生的情況，然後啥都知道了，這是分析許多量子力學問題的一個大致思路。
於是，我們就有了第四個極為重要的結論：系統狀態隨時間的變化|Ψ(t)>遵守薛定諤方程。有了它，靜態的量子圖像就能動起來了。
17基本框架
至此，我們前前後後總結了四條非常重要的結論：
第一，用態矢量描述系統狀態；
第二，用算符描述力學量，而且不同算符之間一般不能交換次序；
第三，測量一個力學量，其結果是該力學量算符的本徵值之一；
第四，系統狀態隨時間的變化遵守薛定諤方程。
有了這些結論，量子力學的大致框架就搭建起來了。
我們知道如何描述系統狀態，也知道系統狀態如何隨時間變化，就等於知道了系統在任意時刻的狀態。於是，我們就能知道系統在任意時刻的概率分布、力學量平均值以及測量結果，也就知道了系統的一切。
很顯然，這四個結論並不是我隨便亂找的，它們是量子力學五大基本假設中的前四個，其重要性不言而喻。最後一個基本假設是所謂的全同性原理，這裡先不管，以後涉及多粒子時再說。
這樣，我們就從斯特恩-蓋拉赫實驗出發，一步步把量子力學的基本框架搭起來了。
看到這裡，估計很多人心裡在犯嘀咕：這怎麼好像跟我預想中的量子力學不太一樣？在我的印象里，量子力學不應該是談不連續、不確定，談黑體輻射、雙縫實驗、薛定諤的貓的么？你一直在這裡談系統狀態，談態矢量和算符，這還是我印象中的量子力學么？
當然是！
量子力學就是量子力學，我不可能編個其它東西來騙你。我們現在做的，就是把量子力學的基本框架搭了起來，至於你熟悉的那些東西，都能從這裡推出來。學習量子力學不能只圖看個熱鬧，我們不僅要知道這些現象是怎麼回事，還要知道它們是怎麼來的。
接下來，我們就來看看它們是怎麼從量子力學的基本框架里冒出來的。
18一個電子
先來看個最簡單的例子：一個電子。
在經典力學里，一個電子就像一個小球，你可以說它在哪，速度是多少，它在任何時候都有確定的位置和動量。你它一下，它的運動狀態就會改變，如何變的，接下來的位置和速度是多少都能計算出來。如果讓一堆電子通過雙縫，經典力學會覺得這就像是一堆子彈射過雙縫，是斷然不會出現干涉條紋的。
到了量子力學，情況就不一樣了。你不能再說這個電子在哪，因為，當你說「電子在哪」的時候，就暗含了此時的電子具有確定的位置。畢竟，只有位置是確定的，你才能說它在哪嘛。
而我們又知道，電子是否有確定的位置取決於它的狀態：處於位置本徵態時，電子的位置是確定的，測量時有確定值，你可以說電子在哪；處於位置疊加態時，電子的位置不確定，測量時有一定概率處於各個位置的本徵值，這時候你說「電子在哪」就沒什麼意義了。
所以，我們不能把一些觀念想當然地搬進量子力學，有些觀念在經典力學里沒問題，但到量子力學就不對了。我們要慢慢養成從量子框架思考問題的習慣，建立系統的量子觀念，逐步形成量子力學的思維方式。
在量子力學的基本假設里，我們用態矢量描述系統狀態，用算符描述力學量。電子的位置是否確定取決於它的狀態，那怎麼看它的狀態呢？
在斯特恩-蓋拉赫實驗里，銀原子的自旋可以取兩個值，對應的狀態就有自旋向上本徵態、自旋向下本徵態以及它們的疊加態。而電子的位置可以取無窮多個值，那對應就有無窮多個位置本徵態以及它們的疊加態，我們就要用無窮維空間中的態矢量來描述它。
態矢量確定了，電子處於位置本徵態還是位置疊加態就確定了，測量位置時有沒有確定值也就知道了。我們只能這樣談論電子的位置，而不能像經典力學那樣直接說電子在哪。
位置談完了，如果你還關心動量，想知道電子的動量有沒有確定值，怎麼辦？一樣的，想知道動量是否有確定值，我們就看系統是處於動量本徵態還是動量疊加態，還是看態矢量。
但這樣就有了一個問題：我們想看電子的位置是否確定，需要看態矢量是不是位置本徵態；想看電子的動量是否確定，要看態矢量是不是動量本徵態。這裡出現了兩個態矢量，它們是什麼關係？是同一個態矢量，還是兩個不同的態矢量？
稍微想一下就知道：它們必須是同一個！
態矢量是描述系統狀態的，如果系統已經處於某個狀態了，態矢量就應該確定了。這時候，分析位置還是動量是你的自由，並沒有影響系統，那描述系統狀態的態矢量自然就不會改變。
而且你看，薛定諤方程里用|Ψ(t)>描述系統狀態，時間t確定了，|Ψ(t)>就確定了。也就是說，態矢量只跟時間t有關，跟你分析位置還是動量無關。
再說了，電子的力學量可不止動量和位置，難道多一個力學量就要多一個態矢量出來？沒這道理。
因此，它們必須是同一個態矢量！也就是說，你想看電子的位置是否確定，要看這個態矢量是否處於位置本徵態；你想看電子的動量是否確定，還是要看這同一個態矢量是否處於動量本徵態。
那問題就來了：如果它們是同一個態矢量，那分析位置和動量時的這種差別又是怎麼來的呢？
19表象
如果電子處於某個狀態，位置說態矢量處於本徵態，測量位置時有確定值；動量說不對，態矢量明明處於疊加態，測量動量時沒有確定值。位置說態矢量處於本徵態，動量說態矢量處於疊加態，它們誰也不服誰，都認為自己是對的，對方是錯的。
這讓我想起了盲人摸象的故事：一群盲人在摸一頭大象，有人摸到了大象的身體，說大象像一堵牆；有人摸到了大象的鼻子，說大象像一條蟒蛇；有人摸到了大象的尾巴，說大象像一根繩子。盲人們爭吵了起來，誰也不服誰，都覺得自己是對的，其他人是錯的。
類似的，這裡只有一個態矢量，從位置角度看，態矢量處於位置本徵態；從動量角度看，態矢量處於動量疊加態。他們都對，只是看待態矢量的角度不同罷了。
什麼意思？
提到矢量，很多人的第一反應是一個箭頭，這是一個很抽象的形象。
如果想把這個抽象的矢量具體化，想用一組具體的數字描述它，就得先做一件事：建立一個坐標系。
坐標系建好了，比如建了一個笛卡爾坐標系，我們就可以把抽象的矢量投影到坐標系，投影到各個坐標軸的係數就是對應的坐標。然後，我們就可以用諸如(1,2)這樣的具體數字表示原來的矢量，抽象的矢量就被具體化了。
當然，你可以建立笛卡爾坐標系，自然也可以建立球坐標系或其它坐標系。坐標系不同，同一個矢量在坐標軸的投影就不同，對應的坐標也就不一樣。
態矢量也是矢量，它當然也可以被分解到不同的坐標系裡。
在斯特恩-蓋拉赫實驗里，我們用S0表示自旋向上本徵態，用S1表示自旋向下本徵態，然後用S=S0+S1表示它們的疊加態，調節S0和S1的係數就代表不同權重的疊加態。然後，我們發現如果把S0當作橫坐標，把S1當縱坐標，銀原子的狀態就可以用二維空間中的一個態矢量來表示。
同理，如果不考慮自旋，而是考慮粒子在時空中的位置，我們一樣可以用一個態矢量來描述它的狀態。
跟自旋不同，粒子的位置一般可以取無窮多個值，這樣它就有無窮多個位置本徵態，我們就要用無窮多個本徵矢量|a1>，|a2>，… ，|an>，…來描述（本徵態也是一種狀態，自然也要用矢量來描述）。
在自旋那裡，我們用代表自旋本徵態的S0、S1為坐標軸構建了一個二維坐標系；到了位置這，我們就要用代表位置本徵態的無窮多個本徵矢量|a1>，|a2>，… ，|an>，…構建一個無窮維坐標系，粒子的狀態就用這無窮維空間中的態矢量來描述。
也就是說，雖然粒子只在三維空間中運動，但描述粒子狀態的態矢量卻不在三維空間，而是在無窮維空間，這是很多初學者容易混淆的。
那麼，我們如何才能得到位置的本徵矢量呢？
前面講過了，在量子力學裡，我們用算符描述力學量（假設二），所以要用位置算符描述位置。知道了位置算符A，求解它的本徵方程A|Ψ>=a|Ψ>就能得到描述位置本徵態的本徵矢量|Ψ>。我們再以這些本徵矢量為基矢，就能構建一個位置相關的坐標系。
把態矢量分解到這個坐標系裡，如果態矢量跟坐標軸重合，也就是跟位置的某個本徵矢量重合，那就代表了位置本徵態；如果態矢量不跟坐標軸重合，那就代表了位置疊加態，相信這個不難理解。
同理，我們也可以以動量算符的本徵矢量為基矢構建一個坐標系，然後把態矢量分解到這個動量相關的坐標系裡。如果態矢量跟坐標軸重合，也就是跟某個動量的本徵矢量重合，那就代表了動量本徵態；如果態矢量跟坐標軸不重合，那就代表了動量疊加態。
很顯然，我們用位置算符和動量算符構建的是兩個不同的坐標系。當態矢量在一個坐標系裡跟某個坐標軸重合時，它在另一個坐標系裡完全可以跟坐標軸不重合。這樣，一個態矢量就完全可以在位置那裡是本徵態，在動量這裡是疊加態，並不矛盾。
當然，這裡還有個小問題：在N維空間里，一個力學量算符的本徵矢量能否組成基矢，從而構建一個坐標系？
一組矢量在Ｎ維空間里能否構成基矢，關鍵就要看它們是否有Ｎ個獨立的矢量。比如，在三維空間里，我們就要看是否存在三個獨立的矢量，直觀地看就是這三個矢量是否共面。如果共面，那不在這個面上的矢量就沒法由它們表示出來，它們就不能被稱為基矢了。
對於這個問題，雖然數學上有點麻煩，但結果卻很簡單：那些有不同本徵值的本徵矢量都是相互正交的，就算有多個本徵矢量對應了同一個本徵值（簡併），我們也總能找到一組基矢。總之一句話：力學量算符對應的本徵矢量總能構成空間中的一組基矢，你可以放心地用它們去構建坐標系。
在量子力學裡，選取這樣一組基矢就叫選取了一個表象。因為我們選取的基矢是位置算符的本徵矢量，建立起來的表象就叫位置表象，或者叫坐標表象。如果選取的基矢是動量算符的本徵矢量，那建立起來的就是動量表象。
這樣的話，之前的問題變成了：面對同一個態矢量，我們既可以在位置表象里分解，從位置角度看，系統處於位置本徵態；也可以在動量表象里分解，從動量角度看，系統處於動量疊加態，兩者並不矛盾。
20玻恩規則
表象選好了，我們就可以把抽象的態矢量投影到具體坐標系裡了，然後用具體的坐標來表示態矢量。而我們又知道，態矢量是描述系統狀態的（假設一），那進入具體表象後，態矢量的各個坐標又有什麼物理意義呢？
在斯特恩-蓋拉赫實驗里，為了描述銀原子的疊加態，我們用S0表示自旋向上本徵態，用S1表示自旋向下本徵態，然後用S=S0+S1表示疊加態。如果把S0看成橫軸，把S1看成縱軸，那矢量S的坐標就是（1,1）。這時候，如果我們去測量銀原子的自旋，就會有50%的概率自旋向上，50%的概率自旋向下，概率一樣大。
如果我們修改一下係數，把疊加態寫成S=0.6S0+0.8S1，對應的坐標就變成了（0.6,0.8）。這時候，測量得到自旋向上的概率是（0.6）²=0.36，得到自旋向下的概率是（0.8）²=0.64，兩個概率就不一樣了。
也就是說，當我們以一個力學量算符的本徵矢量為基矢構建了一個坐標系時，每個坐標軸就對應了一個本徵態，態矢量投影到各個坐標軸的係數（坐標）的平方就代表了測量結果是這個本徵態對應本徵值的概率。
說起來有點繞，其實想想也很簡單。我們的坐標系就是以力學量的本徵矢量為基矢構建的，態矢量在某個坐標軸的投影越長（坐標越大），自然就代表了它「含有」這個本徵態的比例越高，測量結果是這個本徵態對應本徵值的概率自然就越大。如果態矢量全都投影在某個坐標軸上，在其它坐標軸的投影為0，那測量結果是這個本徵態對應本徵值的概率自然就是100%。
態矢量的這種概率性解釋是玻恩最先提出來的，因而也叫玻恩規則，玻恩也因此獲得了1954年的諾貝爾獎。
通過玻恩規則，我們就把態矢量的坐標跟測量時得到對應本徵值的概率聯繫起來了。
21波函數
有了這些認識，我們就能在具體表象下討論問題了。
還是那個電子，當我們在位置表象下考慮問題時，我們其實是以電子的位置算符的本徵矢量為基矢構建了一個坐標系，再把描述電子狀態的態矢量投影到這個坐標系裡了。
現在只考慮一維情況，也就是假設電子只在x方向運動。如果電子處於x=1的位置本徵態，測量時就會在x=1這個位置發現它。因為這是一個本徵態，我們要用一個本徵矢量來描述它，而本徵矢量又是坐標系的基矢，會對應一根坐標軸。所以，x=1這個位置本徵態就會對應坐標系裡的一根坐標軸。
當然，除了x=1，電子的位置還可以在x=2，x=2.5等無窮多個地方，同樣，每個位置本徵態都會對應坐標系裡的一根坐標軸。這樣一來，這個坐標系裡就會有無窮多個坐標軸。
現在，我們把態矢量投影到這個擁有無窮多個坐標軸的坐標系裡去，它在每一個坐標軸上就會有一個投影係數，也就是態矢量在這個坐標軸上的坐標。
比如，x=1是一根坐標軸，代表了x=1的位置本徵態。態矢量在這個坐標軸上有一個投影係數，也就是它在這個軸上的坐標，我們記作Ψ(1)。同理，態矢量在x=2、x=2.5上也會有一個投影係數（坐標），我們分別記作Ψ(2)、Ψ(2.5)，以此類推。
而玻恩規則又告訴我們：態矢量在x=1這個坐標軸上的投影係數的模的平方|Ψ(1)|²，就代表了測量時在x=1處發現電子的概率。同理，|Ψ(2)|²就代表了測量時在x=2處發現電子的概率。電子的位置x還可以取3、3.5、4.1等無窮多個地方，每個地方都有一個對應的投影係數Ψ(x)，它的模的平方|Ψ(x)|²就代表了在這裡發現電子的概率。
也就是說，給定一個電子可以取的位置x，我們都能找到一個與之對應的投影係數Ψ(x)，使得|Ψ(x)|²就代表了在x處發現電子的概率。
給定一個位置x，就有一個數Ψ(x)與之對應，這種從數到數的映射是什麼？
是函數啊！是我們初中就學了的函數。
所以，進入位置表象以後，態矢量在各個坐標軸的投影係數（坐標）就是一個關於位置x的函數，我們把它記作Ψ(x)。而這個函數的名字，就是大名鼎鼎的波函數。
很多朋友對態矢量和波函數感到很迷糊，因為有的地方說「用態矢量描述系統狀態」，有的地方又說「用波函數描述系統狀態」，這樣他就暈了。明明一個是矢量，一個是函數，看起來八竿子打不著，為什麼系統狀態好像既可以用態矢量來描述，又可以用波函數來描述呢？
原因就在這了，因為波函數是跟具體表象綁定在一起的。我們只有選定了具體的表象，建立了具體的坐標系，把態矢量投影到具體坐標系的係數才是波函數。
所以，我們說「用態矢量描述系統狀態」沒錯，說「用波函數描述系統狀態」也沒錯。就好像我們既可以說矢量a，也可以把它分解到一個坐標系，說這是矢量（1,2）一樣。
建立了位置表象，態矢量在這個具體坐標系裡的投影係數就是波函數Ψ(x)，波函數的模的平方|Ψ(x)|²就代表了在位置x發現這個電子的概率。比如，Ψ(1)=0.1就代表在x=1這個地方發現電子的概率是0.1²=0.01，Ψ(2)=0.2就代表在x=2這個地方發現電子的概率是0.2²=0.04等等，這樣問題就具體化了。
當然，你能建立位置表象，自然也能建立動量表象。我們一樣可以以動量算符的本徵矢量為基矢構建一個坐標系，然後把態矢量分解到這個坐標系裡。這樣，態矢量的投影係數就是動量表象下的波函數，它的模的平方就代表了測量時發現電子具有這個動量的概率。
很顯然，不同表象之間是等價的。你既可以在位置表象下討論問題，也可以在動量表象下討論問題，就像你既可以選擇笛卡爾坐標系，也可以選擇球坐標系一樣。同一個態矢量，它既可以對應位置表象下的波函數，也可以對應動量表象下的波函數，它們就差了一個傅里葉變換。
因為大家平常對位置表象接觸得比較多，所以有些人就誤以為量子力學就是位置表象下的量子力學。他不太清楚位置表象和動量表象的關係，也不太清楚波函數和態矢量的區別，這樣就始終雲里霧裡的。
好，現在我們進入位置表象。
22位置表象
進入位置表象以後，我們就可以用波函數代替原來的態矢量了。而我們又知道，系統狀態隨時間的變化是遵守薛定諤方程的（假設四），而原來的薛定諤方程是用態矢量|Ψ(t)>來描述系統狀態的：
所以，現在我們可以用波函數代替原方程里的態矢量。
因為薛定諤方程描述的是系統狀態隨時間的變化，我們用波函數Ψ(x)描述系統狀態，那波函數隨時間t的變化自然就是Ψ(x,t)。因此，在位置表象下，我們就可以用波函數Ψ(x,t)代替原來的態矢量|Ψ(t)>。
但這樣還不夠，為了讓薛定諤方程更加具體，我們把哈密頓算符H(t)也一併展開。
關於哈密頓算符，我們前面講過一點。在這裡，大家只要知道：一般情況下，如果我們知道了系統的哈密頓算符，就知道了系統本身的情況（比如粒子的數量、質量以及它們之間的相互作用）以及系統所處的外部情況（比如粒子所在的外部電磁場）。基本上，知道了系統的哈密頓算符，我們就知道了系統的一切。
在經典力學里，如果系統與外界不存在能量交換，系統的哈密頓量H一般可以寫成動能（P²/2m）加上勢能V，在數值上就等於系統的總能量：
到了量子力學，力學量要用算符來描述。那麼，跟能量緊密相連的哈密頓量自然也要算符化，算符化的結果就是薛定諤方程里的哈密頓算符H。
很顯然，如果系統的哈密頓量H可以寫成動能（P²/2m）加勢能V，我們想把它算符化，就要把裡面的力學量，也就是動量P算符化。在位置表象下，動量P算符化的結果是-iℏ∂/∂x。為什麼長這樣我們先不管，但大家要記住，這只是動量算符在位置表象下的形式，它在其它表象下就不長這樣了。
於是，我們就集齊了在位置表象下寫出薛定諤方程的全部條件：用波函數Ψ(x,t)代替態矢量|Ψ(t)>，把哈密頓算符H展開成最常見的一種形式（P²/2m+V），並找到了位置表象下的動量算符（-iℏ∂/∂x）。
然後，我們就可以在位置表象下重新寫出薛定諤方程了（只考慮一維情況）：
這個方程比原來的長一些，看起來也複雜了一些。但是，它只是用Ψ(x,t)代替了|Ψ(t)>，並把哈密頓算符H(t)展開了而已。它們的核心區別是：原來的方程是一般的薛定諤方程，沒有指定表象，現在這個是位置表象下的薛定諤方程。
大家看看這個方程，i、ℏ是常數，m是質量，如果勢能函數（一般簡稱為勢函數）V(x,t)確定了，那未知量不就只剩下波函數Ψ(x,t)了么？一個方程一個未知量，求解方程就能得到波函數Ψ(x,t)了。
也就是說，對位置表象下的薛定諤方程來說，只要給定了勢函數V(x,t)，我們就能解出一個與之對應的波函數Ψ(x,t)（能否求出精確解就是另外一回事了）。
知道了粒子的波函數Ψ(x,t)，我們就能知道在任何時間t，任何位置x發現粒子的概率|Ψ(x,t)|²（玻恩規則）。概率分布確定了，力學量平均值也就確定了，我們正是在這個意義上說波函數完全描述了系統狀態。
在牛頓力學里，給物體一個外力，物體就會有一個加速度，它的狀態也會隨之變化。到了量子力學，我們不再用「力」來描述外界的影響，而用勢（能）函數。比如，牛頓力學談重力，我們這裡就談重力勢能；牛頓力學談彈力，我們就談彈性勢能。
分析力學是一套以能量為核心的體系，它跟以力為核心的牛頓力學不一樣。量子力學沿用了分析力學的邏輯，所以，在薛定諤方程里出現的是勢（能）函數，而不再是力。
因此，只要我們確定了勢函數，就能通過求解薛定諤方程得到描述粒子狀態的波函數，進而知道粒子的各種情況。事實上，大家一開始學習量子力學時，很大一部分工作就是求解各種勢函數下的薛定諤方程。
比如，對於自由落體的粒子，它的勢能就是重力勢能-mgx，所以勢函數V(x,t)就是-mgx（不含時間t）。我們把-mgx代入薛定諤方程，求解方程就能得到描述粒子狀態的波函數Ψ(x,t)。然後，我們就能知道1秒、2秒、n秒在某個地方發現這個粒子的概率以及各種力學量的平均值。
類似的，對於一個簡諧振子，它的勢函數是V(x)=mω²x²/2(也不含時間t)。我們把它代入薛定諤方程，解出波函數Ψ(x,t)以後，一樣可以得到它的各種信息。
也就是說，如果我們想了解一個量子系統，通常要先做兩件事情：第一，找出系統的勢函數V(x,t)；第二，把勢函數代入薛定諤方程，解方程求出描述系統狀態的波函數Ψ(x,t)。
一般來說，找勢函數是比較容易的，但是，薛定諤方程是一個偏微分方程，求解起來就沒那麼容易了。事實上，我們只在極少數情況下能精確求解薛定諤方程，在更多時候，我們只能採取一些近似方法。
這樣，相信大家對量子力學的基本框架，以及量子力學處理問題的一般方法就有了個大致了解。然後，我們就可以這樣去分析具體問題了，得到的結論是什麼樣就是什麼樣，大家平常熟悉的那些反常識、不可思議的量子力學特性都是這麼來的。不信的話，我們來看一看。
23不連續的問題
首先，我們來看一個大家都喜聞樂見的話題：不連續性。
很多量子力學科普都是從黑體輻射開始的，並告訴你正是普朗克創造性地把能量的傳播看成一份一份，而不是連續的，這才解決了黑體輻射難題，從而開創了量子力學。
當然，普朗克當時只是把這當作一個數學技巧，並不真的認為能量的傳播就是不連續的，後面到了愛因斯坦才把這當作物理現實。再往後，玻爾通過假設電子的軌道是分立的，無法連續吸收、釋放能量，初步解決了氫原子問題。
總之，如果單獨看量子力學的初期發展史，會讓很多人會誤以為量子力學就是讓一切都分立化，讓一切都不連續。似乎只要我們讓一些東西離散化，那些經典力學無法解釋的問題就會迎刃而解，似乎不連續性就是量子力學的核心。
有的同學還會覺得，想要建立量子力學，是不是只要讓經典力學的東西都離散化，讓經典力學全都變成不連續的就行了？
但是，你看看我們這裡講的量子力學，通篇都在講什麼用矢量描述系統狀態，用算符描述力學量，用薛定諤方程描述態矢量隨時間的變化等等，壓根都沒提什麼連續不連續。
有的同學走得更遠，他覺得量子力學裡到處都是不連續，那麼，量子力學裡的時間和空間肯定也是不連續的。剛好，他又知道普朗克時間和普朗克長度的概念，於是，他就在腦海里把時間和空間切成了一塊一塊，並認為這就是量子力學，然後說自己輕而易舉地解決了芝諾悖論。
不得不說，如果只是看了一點量子力學科普書，然後基於它們做了一些自以為合理的延伸，再加上點腦洞，得出這樣的結論是非常正常的。但是，如果稍微系統地學了一點量子力學知識，就會知道這樣的推論是錯得離譜的。
最簡單的證據，你看看薛定諤方程，裡面出現的是對時間t和空間x的求偏導∂/∂t、∂/∂x。求導意味著什麼？求導意味著一定連續啊，相信大家多多少少還記得「可導一定連續，連續不一定可導」。
薛定諤方程里有對時間和空間的求偏導操作，這明擺著就是在告訴我們：在量子力學裡，我們假設時間和空間是連續的，否則，薛定諤方程就沒有意義了。
確實，在有些量子引力理論，比如圈量子引力里就認為時間和空間是不連續的，但這並不是我們常說的量子力學。它屬於量子引力的前沿探索領域，理論本身都還存在許多問題，也還沒得到人們的共識。
而大家常說的量子力學，它在理論上是非常成熟了的，也經歷了無數實驗的考驗，它假定時間和空間是連續的。
也就是說，雖然量子力學裡可以有不連續的東西（比如能量），但時間、空間這個背景舞台卻依然是連續的。而且，我們說能量可以不連續，而不是一定不連續，它在有的情況下依然可以連續。所以，像「量子力學裡一切都是不連續的」這種簡單粗暴的念頭，趁早打消了吧~
那麼，既然量子力學裡的時間和空間都是連續的，而能量卻可以不連續，那這種不連續是怎麼產生的呢？
24直覺和反直覺
到了這裡，我要跟大家強調一件非常重要的事：學習量子力學時，我們要以量子的眼光看待世界，而不是以經典的眼光看世界。我們不要老覺得量子世界很奇怪，於是非要用自己更加熟悉的經典圖像去類比。量子力學是更加底層的東西，需要被解釋的不是量子力學，而是經典力學。
我們真正應該問的，不是量子力學為什麼奇怪，而是經典力學的種種現象是如何從量子力學湧現出來的？我們真正該奇怪的，不是量子世界為什麼是這樣，而是經典世界為什麼可以這樣？
量子力學已經誕生百年了，面對這個極其成功並且已經深刻改變了我們的思想和生活的理論，按理說，我們應該覺得它已經很自然了。但事實卻與此截然相反：很多人一提到量子力學，第一反應依然是反直覺、反常識，覺得這個理論稀奇古怪，難以琢磨，不可理喻！
但是，你想過沒有，當你在說量子力學反直覺的時候，你到底在說什麼？你能夠反直覺，說明你之前已經有了一個直覺。你有了一套看待世界的直覺以後，又發現了某些不符合這些直覺的現象，然後才會反直覺。
對大部分人來說，這個直覺就是中學階段學習牛頓力學所形成的直覺。
所以，當他們試圖把量子世界的種種現象納入原先的版圖，試圖用牛頓力學的思維和習慣理解量子現象時，發現理解不了，於是就覺得反直覺了。
這種事說來也正常，如果一個人已經積累了很多經驗，在遇到新事物以後，他自然會希望原來的經驗還能派上用場。所以，在量子力學初期，那些物理大師一樣希望能在經典框架內解決問題，他們有意無意地保留了許多經典物理的思維和概念，經歷了大約四分之一個世紀艱苦卓絕的探索後，才形成了比較系統的量子力學。
大概是量子力學前25年的歷史太過精彩，各種人物輪番登場，各種思想對經典物理髮起了一輪又一輪的衝擊。量子力學內部又有矩陣力學和波動力學兩股力量，後面還有玻爾和愛因斯坦的論戰，拿來說書再合適不過了。
這就引發了一個比較嚴重的問題：現在市面上關於量子力學的科普書，絕大部分都是在講量子力學這前25年的歷史。
他們從普朗克與黑體輻射開始，講愛因斯坦和光電效應，講玻爾和氫原子，講海森堡和神秘的矩陣，講德布羅意和物質波，講薛定諤的神秘女郎和薛定諤方程，再配合矩陣力學和波動力學的小論戰，以及玻爾和愛因斯坦的大論戰，一本精彩紛呈的量子力學科普書就完成了。
這樣寫的書，當成量子力學史來看是不錯的。但是，如果你把它當成量子力學科普書，希望從這裡學習量子力學的思維，了解量子力學的基本框架和處理問題的一般方法，那就非常容易出問題了。
原因也說了，量子力學前25年的歷史本身就充斥著各種混亂，那些大師們在思考問題時也摻雜了各種經典的東西。從經典視角看待量子力學，自然會各種反直覺，奇怪，乃至詭異。如果你想學習量子力學，沒有學到如何從量子視角看待世界，反而學來了一堆反直覺和詭異，這可不是什麼好事。
比如這裡的不連續性，很多人看完量子力學前25年的歷史後，對這個不連續性的印象極其深刻。於是，他很容易認為量子力學就是在說一切都不連續，時間不連續，空間也不連續，認為把經典力學全部離散化之後就能得到量子力學，然後開始各種胡思亂想。
25波粒二象性
類似的還有波粒二象性，這也是一個很典型的試圖用經典思維來解釋量子現象的東西。我們在經典力學裡談到波，就會想到類似水波這樣的東西；談到粒子，就會想到類似豌豆那樣的東西。
但是，在量子力學里，如果你還說粒子性，那也只是說它具有一定的質量、電荷這種屬性，一個電子的行為一點也不像一粒豌豆，它根本沒有確定的軌道；你在量子力學裡說波動性，那也只是說它具有相干疊加性，並不是說空間中真的有一個類似水波這樣的東西。
這樣導致的結果就是，你看啊，我們先是千方百計地讓讀者接受任何粒子都具有波粒二象性：一個電子既是波又是粒子，它有時候像波，有時候像粒子。當我們用波動的方式去測量時，它表現得像波；當我們用粒子的方式去測量時，它表現得像粒子。
等大家被這個攪得一團亂，卻只記住了「電子既是波又是粒子」之後，你又跑來告訴讀者：不好意思，我們量子力學裡說的這個波啊，它不是經典的波；量子力學裡說的粒子，它也不是經典的粒子。
讀者：……
你完全可以想像，經過這樣一輪科普之後，讀者能不迷糊么？他能不覺得量子力學玄之又玄，既反直覺又詭異么？如果腦洞再大一點，借著波粒二象性繼續發揮一下：電子既是波也是粒子，既有陰也有陽，陰陽五行相生相剋……這就很容易形成拳打薛定諤，腳踩海森堡，一記左勾拳撂倒玻爾和愛因斯坦的局面。
歸根結底，波粒二象性是在量子力學發展初期，在那個混沌階段，人們試圖用盡量多經典概念描述量子力學的產物。在量子力學還沒建立起來之前，人們的確需要這樣一根拐杖，但是，在量子力學已經建立起來的一百多年後，我們還有必要拄著一百年前的拐杖一步一拐嗎？
我們在文章里講用態矢量描述系統狀態，用算符描述力學量，用薛定諤方程描述系統狀態隨時間的變化，通篇都沒提什麼波粒二象性，也沒必要。
在經典力學里，波和粒子是兩種不能並存的實體，區分它們是很自然的。但到了量子力學，我們只要從量子力學的基本框架出發，就會發現粒子具有確定的質量、電荷，描述粒子狀態的波函數具有相干疊加性都是非常自然的事情，沒有必要刻意提讓人容易混淆的波粒二象性。以後學了量子場論，大家會覺得這更加自然。
當然，如果你執意要用波粒二象性，也不是不可以。但是，你一定要清楚當你在說波粒二象性時，你到底在說什麼，你要清楚量子力學裡的波動性、粒子性跟經典力學裡的有什麼區別。
我們都知道量子力學是比經典力學更加深刻的理論，經典力學能描述的東西量子力學能描述，經典力學不能描述的東西量子力學也能描述。既然這樣，為什麼我們學習量子力學的時候還要管經典力學怎麼看？為什麼我們還要做著「從經典力學的視角去理解量子力學」這種既荒誕又無用還容易製造各種混亂的事情呢？
我們就不能堂堂正正地學習量子力學，用量子的方式思考量子問題么？我們要做的不是「如何從經典視角理解量子力學」，而是應該反過來：如果我們更加底層的世界是量子的，那經典世界的種種現象是如何湧現出來的？
如果量子力學的基本假設里沒有不連續性，那我們常說的能量不連續是怎麼冒出來的？如果不用波粒二象性這種半經典半量子的東西，我們要如何解釋單電子雙縫干涉實驗？量子世界充滿了各種概率和不確定性，為什麼宏觀世界好像沒有？如何從量子力學出發，給物理世界一個完整而又自洽的描述？等等。
這是一系列非常宏大的話題，我們留到後面慢慢談。在這篇文章里，我們就先把量子力學的基本框架搭起來，學習量子力學處理問題的一般方法，把這些都搞清楚了，我們的頭腦就完成了一次從經典到量子的格式化。然後，你就會覺得量子力學很自然，而不再反什麼直覺，因為現在的量子力學才是你的直覺。
所以，我們要逐步嘗試用量子的方式思考量子力學問題。我們不是已經找到了量子力學的基本假設么？從這裡出發就好了。
那麼，我們就從這裡出發，看看能量為什麼可以是不連續的？再次提醒，這裡說的是「可以」，而不是「一定」。
26能量是否連續？
假設這裡有個粒子，我們想看它的能量是否連續。首先，我們要意識到：當我們在說這句話的時候，我們到底在說什麼？
在經典力學里，一個粒子的動能跟它的速度有關，而粒子的速度可以連續取值，它可以是1，可以是1.6，也可以是其它任何一個實數，於是，粒子的動能也可以連續取值。同樣的，粒子的勢能也可以連續取值，因為勢能依賴位置，而位置可以連續取值。
所以，在經典力學裡，粒子的動能和勢能都可以連續取值，那粒子的總能量當然可以連續取值，這沒什麼好說的。
到了量子力學，如果你還想通過粒子的速度去尋找動能，就會發現此路不通。原因也很簡單，經典力學的速度是指單位時間內的位移變化量。粒子此刻在A點，一秒後到了B點，我們用AB兩點間的距離除以時間，就能得到速度的大小，進而得到動能。
但是，我們在量子力學裡還能說粒子此刻在A點么？
不能啊！只有當粒子處於位置A的本徵態時，我們才能說粒子一定在A點。如果粒子處於位置疊加態，那測量時就有一定的概率在A點，有一定的概率在B點、C點等等。因此，粒子在一般情況下並沒有確定的位置，那你就不能說它此刻在A點。同理，你也沒理由說它下一秒就一定在B點。
位置都不確定，那如何確定粒子的速度呢？
所以，我們不能像經典力學那樣談論粒子的動能，也沒法像經典力學那樣談論能量的連續性。我們必須丟掉經典力學的經驗，直接從量子力學的框架出發考慮問題。
我們知道，量子力學裡是用算符描述力學量的（假設二）。能量也是力學量，那自然也要用算符來描述，用什麼算符呢？前面說了，用哈密頓算符。在經典力學裡，粒子的能量一般就等於哈密頓量，我們把它算符化以後，就得到了薛定諤方程里的哈密頓算符Ｈ。而我們又知道，測量一個力學量的結果是對應算符的本徵值之一（假設三）。
因此，如果我們想判斷粒子的能量是否連續，就不是像經典力學那樣看它的速度是否連續，而是要看哈密頓算符的本徵值是否連續。
前面講過了，經典力學裡的哈密頓量H一般寫成動能（P²/2m）加勢能V：
在位置表象下，動量P對應的算符長這樣-iℏ∂/∂x（為啥長這樣先不管了），把它代進去，就得到了位置表象下的哈密頓算符H：
也就是說，想看能量是否連續，我們就要看這個哈密頓算符H的本徵值是否連續。
想看一個算符的本徵值是否連續，前面也講過了，解這個算符的本徵方程（A|Ψ>=a|Ψ>，這裡的a就是算符A的本徵值，|Ψ>是對應的本徵態）就行了。
所以，我們現在的問題變成了：上哪找哈密頓算符H的本徵方程？
27定態薛定諤方程
想找哈密頓算符的本徵方程，你得先找一個含有哈密頓算符的方程吧？大家看看位置表象下的薛定諤方程：
哈密頓算符Ｈ跟薛定諤方程的右邊是不是有點像（廢話，沒進入表象的薛定諤方程的右邊就是哈密頓算符，能不像么~）？
如果我們可以像代數乘法那樣把Ψ提出來，那這個方程的右邊是不是就只剩下哈密頓算符Ｈ了？也就是說，如果可以把Ψ提出來，那位置表象的薛定諤方程的右邊就可以寫成HΨ，我們就能看到哈密頓算符H了。
但是很可惜，這個方程的右邊並不是代數乘法，位置表象下的波函數Ψ(x,t)和勢函數V(x,t)也都是既跟時間t有關，又跟空間x有關的多元函數，不是隨隨便便就能提出來的。
因此，如果想把Ψ提出來，你就得先想辦法把波函數Ψ(x,t)和勢函數V(x,t)的時間和空間部分分開，怎麼做呢？
先看勢函數，現在的勢函數V(x,t)是既跟時間t有關，也跟空間x有關，那怎麼才能把它們分開呢？簡單，我們就直接假設勢函數不依賴時間t好了。也就是說，我們就只考慮不依賴時間t，只考慮跟空間x有關的勢函數V(x)。
大家想想我們平常遇到的情況：一個物體的重力勢能只跟高度有關（跟時間無關），一個彈簧的彈性勢能只跟位置有關（跟時間無關），我們做電磁學題目，一般也是先給定一個電磁場（不隨時間變化）。可見，不依賴時間t的勢函數V(x)是非常常見的，我們先考慮這種簡單情況，以後再考慮更加複雜的也不遲。
勢函數解決了，那波函數呢？
為了把波函數的時間和空間部分也分開，我們把波函數Ψ(x,t)寫成只包含位置的ψ(x)和只包含時間的φ(t)的乘積：
當然，你可能會說憑什麼把波函數寫成這種形式？的確，可以寫成這種形式的波函數只是很少的一部分。但後面大家會看到，更一般的解都可以通過這少部分的解構造出來。所以，我們先尋找這一小部分解集還是非常有意義的。
於是，我們就通過假定勢函數V不依賴時間，並把波函數Ψ(x,t)寫成ψ(x)φ(t)這樣的形式，把薛定諤方程的時間和空間部分分開了。
然後，我們就把波函數的新形式ψ(x)φ(t)代入位置表象下的薛定諤方程，經過一個簡單地懂的都懂，不懂也沒關係的求導、替換工作，原來的薛定諤方程就變成了這樣：
為了方便區分，我們把既包含時間，又包含空間的波函數用大寫的Ψ(x,t)表示，把只包含空間的部分用小寫的ψ(x)表示，把只包含時間的部分用φ(t)表示。
可以看到，由於Ψ(x,t)被拆成了ψ(x)和φ(t)相乘的形式，原來方程里的求偏導∂/∂x，∂/∂t都變成了普通的求導d/dx，d/dt，這樣形式就簡單了。這麼一來，方程的左邊就真的只跟時間t有關，方程的右邊就只跟空間x有關了（因為右邊的勢函數V不依賴時間，ψ(x)也不含時間）。
一個跟時間相關的東西（方程左邊）等於一個跟空間相關的東西（方程右邊），看起來好像不太可能，兩個互不相關的函數怎麼會相等呢？
但是，它們還是有相等的可能性的，那就是：它們都恆等於一個常數！
你想啊，左邊的東西是隨時間變化的，可能8點一個值，9點一個值；右邊的東西是隨位置變化的，可能北京一個值，武漢一個值。左右兩邊沒有任何關係，你現在讓它們強行相等，那它們就只能都等於一個常數了，我們姑且把這個常數記為E。
於是，上面的方程就可以拆成這樣兩個：
第一個方程非常簡單， 求解也很容易，這裡先不管，我們重點看第二個方程。如果把方程二的左右兩邊都乘以ψ，它就可以寫成這樣：
這個方程有個很響亮的名字，叫定態薛定諤方程。
為什麼叫定態呢？從表面上來看，「定」應該是不動，不隨時間變化的意思。但是，我們這裡只是假設勢函數V不依賴時間，波函數Ψ(x,t)雖然寫成了ψ(x)φ(t)的形式，但依然是跟時間φ(t)相關的，似乎談不上「定」。
但是，我們想一下玻恩規則：|Ψ(x,t)|²表示在時間t，在位置x發現粒子的概率。也就是說，雖然波函數Ψ(x,t)跟時間t相關，但波函數本身卻不對應什麼物理現實，真正有物理意義的是波函數的模的平方|Ψ(x,t)|²，它代表我們在某時某地發現粒子的概率。
但是，當我們計算|Ψ(x,t)|²的時候，卻發現時間因子在計算過程中竟然相互抵消了，最後的結果反而跟時間無關。更具體的說，|Ψ(x,t)|²就等於|ψ(x)|²，它只跟空間部分有關。
於是，當勢函數V不依賴時間時，雖然波函數Ψ(x,t)本身跟時間相關，但概率分布|Ψ(x,t)|²=|ψ(x)|²卻跟時間無關。這樣，任何力學量的平均值就也跟時間無關，所以我們才說這是「定態」，是概率分布和力學量平均值都不隨時間變化的狀態。
28能量本徵態
明白了定態的意義，我們再來追問那個常數E的意義，那個讓時間和空間部分相等的常數E是什麼？
大家都知道，在物理學裡，我們一般用E表示表示能量（Energy），那這個常數E跟能量有沒有什麼關係呢？
有關係！這個E，正是系統的能量。
為什麼？我們再來看看定態薛定諤方程：
這裡的ψ只跟空間x有關，是個一元函數ψ(x)。這樣的話，我們就可以把方程左邊的ψ提出來，那剩下的部分就是哈密頓算符H了。
於是，我們就可以把定態薛定諤方程寫成Hψ=Eψ這種非常精簡的形式了。溫馨提示，這裡的H是哈密頓算符，是一個算符，而E是一個數。大家可不要大筆一揮把ψ約掉了，鬧出一個H=E的笑話來~
很多人應該還記得，我們在講「用算符描述力學量（假設二）」時講過算符的本徵方程：如果力學量用算符A描述，那當系統處於力學量的本徵態ψ時，力學量的取值就是確定的。無論你測量多少次，測量結果都會是本徵值a，對應的本徵方程就是Aψ=aψ。
我們再看看定態薛定諤方程Hψ=Eψ，跟算符的本徵方程（Aψ=aψ）是不是很像？一般情況下，能量對應的算符就是哈密頓算符H，如果ψ又是能量本徵態，那Hψ=Eψ不就是能量的本徵方程了么？
但問題是：這個ψ是能量的本徵態么？
如果ψ不是能量本徵態，那定態薛定諤方程Hψ=Eψ就不能看作能量本徵方程。因此，如何判斷這個ψ是不是能量本徵態呢？
首先，我們回想一下這個ψ是怎麼來的：我們假設勢函數V不依賴時間，然後把波函數Ψ(x,t)拆成了時間和空間部分的乘積ψ(x)φ(t)，而這個ψ就是空間部分。
咋一看，這個ψ似乎跟能量本徵態沒啥關係，但光看不行，我們還得計算。
如果ψ真的是能量本徵態，那E就是對應的能量本徵值。這時候，你去測量系統的能量，測量結果就一定是本徵值E，平均值也一定是E。
因此，如果你想證明ψ是能量本徵態，就得先證明哈密頓算符Ｈ在狀態ψ的平均值等於Ｅ。如果平均值都不等於Ｅ，那這肯定就不是本徵態了。通過計算，我們發現哈密頓算符H在狀態ψ的平均值確實等於E。
當然，光平均值等於E還不夠，因為能量本徵態的意思是：無論你測量多少次，結果都是E。現在你只說哈密頓算符H在狀態ψ的平均值是E，萬一這個E是由0.5E和1.5E平均出來的呢？也就是說，如果我們測量粒子的能量，它有50%的概率是0.5E，有50%的概率是1.5E，這樣平均值依然是E。但是很顯然，這並不是能量的本徵態。
所以，除了平均值等於E，我們還要保證它沒有彌散，沒有波動，用統計語言說就是方差和標準差都必須為0。通過計算，哈密頓算符H在狀態ψ的標準差也確實為0（計算過程都略了，我這隻講思路，大家最好自己去算一算）。
平均值等於E，標準差為0，這樣我們才能保證每次測量的結果都是Ｅ，才能確定ψ是本徵態。於是，我們才能光明正大的說：當勢函數V不依賴時間時，定態薛定諤方程Hψ=Eψ描述的狀態，正是能量的本徵態，定態薛定諤方程就是能量的本徵方程。而這個常數E，不是別的，它正是本徵態ψ下系統的能量，大功告成！
也就是說，如果勢函數V不依賴時間，系統就處於定態，也就是能量本徵態。在這種狀態下，測量系統的總能量，總會得到確定值E。
為什麼勢函數不依賴時間，總能量就是確定的呢？我舉個簡單的例子大家就明白了。
一個蘋果往下落，蘋果下落時重力勢能轉化成了動能。但大家都知道，這個過程中蘋果的總能量（動能+重力勢能）並沒有改變，它是守恆的，有一個確定值E。為什麼蘋果下落時能量守恆呢？因為蘋果的重力勢能mgh不依賴時間，它只跟蘋果的高度h有關。也就是說，讓蘋果的勢能函數mgh不依賴時間，結果就導致了能量守恆，導致了蘋果的總能量一直是定值E。
如果蘋果的勢函數V依賴時間，那它的動能和勢能之和就不再是一個定值（最簡單的，蘋果靜止不動時，動能不變，但勢能隨時間變化，所以總能量必然也隨時間變化，就不再守恆），總能量也就不再是定值E了。
這裡的言外之意是：蘋果這個系統還跟外界系統存在能量交換。比如，我們拿根繩子上下拉蘋果，那蘋果的動能和重力勢能的和就肯定不是定值。因為我們的手會對蘋果做功，蘋果跟我們之間存在能量交換。
這樣，大家明白定態薛定諤方程Hψ=Eψ的意義了吧？
29勢函數
我們前面不是在講能量的連續性么，為什麼這裡要花這麼大篇幅講定態薛定諤方程呢？
因為能量也是力學量，而力學量要用算符來描述，力學量的取值就是算符對應的本徵值之一。所以，你想知道能量可以取哪些值，就得知道對應的哈密頓算符有哪些本徵值；想知道哈密頓算符有哪些本徵值，就得知道它的本徵方程是什麼。
現在，我們找到了哈密頓算符H的本徵方程，發現它竟然就是定態薛定諤方程Hψ=Eψ。於是，我們才能繼續討論能量的連續性問題。
大家再來看看定態薛定諤方程，也就是能量本徵方程：
從方程上看，系統的一個狀態ψ（能量本徵態）就對應了一個能量E（能量本徵值）。你想知道能量E的情況，就得先知道系統狀態ψ的情況。
那麼，如何知道描述系統狀態的波函數ψ呢？
這個前面講過了：解薛定諤方程就行了！順便提一句，雖然一開始說的波函數是指跟時間t相關的Ψ(x,t)，但習慣上，我們把定態薛定諤方程里這個只跟空間x相關的ψ(x)也稱為波函數，大家知道就行。
也就是說，如果我們想知道粒子的能量是如何取值的，是連續的還是離散的，就得知道描述粒子狀態的波函數ψ可以如何取值。想知道波函數ψ如何取值，就得解定態薛定諤方程。
在定態薛定諤方程里，除了能量E和波函數ψ，還有一個未定的勢函數V。也就是說，不同的勢函數（比如不同的電磁場）會有不同的解，進而得到不同的波函數ψ，以及不同的能量取值。
所以，我們不能籠統地說量子力學裡的能量是連續的還是離散的，而是要根據不同的勢函數區別對待。
30自由粒子
一如既往，我們還是由易入難，從最簡單的入手。那什麼樣的勢函數最簡單呢？當然是勢函數V=0，也就是沒有任何外界約束的時候。
在牛頓力學裡，如果合外力為0，粒子就會做最簡單的靜止或者勻速直線運動。到了量子力學，如果勢函數為0，粒子會如何運動呢？
很顯然，當勢函數V恆等於0時，它依然是不依賴時間的。那麼，我們就可以繼續使用定態薛定諤方程來處理問題。
在定態薛定諤方程里，如果V=0，方程就變成了這樣：
這是個非常簡單的微分方程，我們可以輕而易舉地寫出它的一般解，此時的波函數ψ長這樣（不會解的自己去翻書，我就不在這裡科普如何解微分方程了~）：
這個解是什麼意思呢？大家中學都學過三角函數，像Asinkx這樣的是一個正弦波。A越大，正弦波震蕩得越高，波峰跟波谷的距離越大；k越大，正弦波就越密，兩個波峰之間的距離就越小。
很顯然，如果A和k不受任何限制，可以隨意取值的話，那這個正弦波的圖像就也可以隨意變化。它可以隨意的高，也可以隨意的密，餘弦波Bcoskx類似。
因此，我們解勢函數V=0的定態薛定諤方程，得到的波函數ψ(x)是一個正弦波Asinkx和餘弦波Bcoskx的疊加，即ψ(x)=Asinkx+Bcoskx。由於勢函數V處處為0，對粒子沒有其它約束，所以，我們就沒有其它條件來約束A、B、k的取值。換句話說，A、B、k可以隨意取值。
A、B我們可以先不管，但這個k是跟能量E緊密相連的：
k越大，波越密，對應的能量E就越大。
現在，我們說這個k可以隨意取值，那這個E自然也可以隨意取值。也就是說，當勢函數V=0時，這個自由粒子的能量E可以取任意的正實數，它顯然是連續的。
於是，我們就得到了第一個結論：自由粒子（勢函數V=0）的能量取值是連續的，它可以取任何正的能量值。
是不是有點吃驚？可能在你的印象里，量子力學裡的能量肯定都是不連續的。卻沒想到我們的第一個結論，最簡單的自由粒子的能量竟然就是連續的。
大家要記住，「能量是否連續」並不是量子力學的基本假設，基本假設就是前面說的態矢量、算符、測量、薛定諤方程那些。我們從這些假設出發，算出能量是連續的就是連續的，算出能量是離散的就是離散的，僅此而已。
那問題來了，大家熟悉的那種不連續的能量，那種一份一份的能量是怎麼來的呢？
31一維無限深方勢阱
你想想，自由粒子的能量E之所以連續，是因為它對波函數ψ(x)=Asinkx+Bcoskx沒有任何約束，於是Ａ、B、k可以隨意取值。如果我們再加上一些限制條件呢？如果我不讓k隨意取值，那對應的能量E是不是也就不能隨意取值了？它是否會因此變成不連續的呢？
空想是沒有用的，我們還得用計算來說話。我們給自由粒子加上一個非常簡單的限制：把粒子關在一個「地牢」里，不讓它出去。
什麼意思？自由粒子不是任何地方的勢函數都為0，在任何地方都沒人管么？現在我在左右兩邊加兩塊銅牆鐵壁，把它關起來。
如上圖，在0到a這個範圍內，勢函數V依然等於0，粒子在這個範圍內依然是自由的。但是，在這個範圍以外，也就是小於0以及大於a的地方，勢函數V都是無限大，粒子別想過去。
這個東西很像一個陷阱，因為是一維的，又是方形的，而陷阱外的勢函數又是無限大，所以就叫它一維無限深方勢阱。
那麼，這樣一個勢阱會對波函數做出什麼樣的限制呢？在勢阱內，也就是0到a的範圍內，勢函數還是0，跟自由粒子的情況沒啥區別。但是，到了勢阱外，勢函數就是無限大，粒子無法「出去」，這就不一樣了。
在經典力學里，我們說一個粒子無法出去，是說它的位置坐標不可能離開那個範圍。但到了量子力學，粒子在一般情況下壓根就沒有確定位置，只有在某個位置發現粒子的概率|ψ(x)|²。現在勢阱外的勢函數無限大，我們說粒子無法出去，意思是在勢阱外發現粒子的概率為0，也就是|ψ(x)|²=0，即ψ(x)=0。
由於x=0和x=a是勢阱的左右邊界，所以這兩個地方的波函數也必須為0：ψ(0)=0，ψ(a)=0。於是，我們就得到了兩個約束條件。
那麼，這兩個約束條件會給系統帶來什麼變化呢？它又會使粒子的能量E發生什麼變化呢？我們來一個個的看。
先看第一個ψ(0)=0，因為ψ(x)=Asinkx+Bcoskx，所以ψ(0)=Asin0+Bcos0=B（因為sin0=0，cos0=1）。如果ψ(0)=0，那我們就得到了B=0。這樣，波函數ψ(x)就只剩下了第一項ψ(x)=Asinkx。
如果波函數ψ(x)=Asinkx，而第二個條件又告訴我們ψ(a)=0，代進去就得到了Asinka=0，這又是什麼意思呢？
前面講過了，正弦波sinx的圖像是這樣的：
所以，Asinka=0就有兩種可能：A=0或者sinka=0。
A=0是一種非常無趣的情況，因為B已經等於0了，如果你再A=0，那就直接是整個波函數ψ(x)=0了。翻譯一下就是：在任何地方發現粒子的概率都為0，這就是說沒有粒子嘛。所以，這是一個平庸的解，也不符合現在的情況。
真正有意思的是後面那個解，也就是sinka=0的情況。我們看一下正弦函數sinx的圖像，它的取值是可以為0的，你看它跟x軸不是有很多交點么？這些交點就是sinka等於0的地方。
也就是說，如果我們想讓sinka=0，我們只需讓ka取正弦函數跟x軸相交的那些地方就行了。學過中學三角函數的朋友都知道，正弦函數跟x軸相交的地方，只考慮正半軸，正好就是π，2π，3π，…
這麼一來，ka就不能隨意取值了，而是只能取π，2π，3π等等，寫成更加緊湊的形式就是：
而我們又知道，這個k是跟粒子的能量E直接相關的。解勢函數V=0的定態薛定諤方程時，為了讓形式更加簡單，我們給能量E做了一個簡單的替換：
現在k的取值知道了，能量E的取值簡單替換一下就行了：
於是，這個能量E就真的是離散的了，因為這裡的n只能取1、2、3等自然數。現在，大家看明白這個離散的能量是怎麼來了的么？
32不連續性
自由粒子時，勢函數V處處為0，它對波函數ψ(x)沒有任何限制，所以k能隨意取值，對應的能量E也能連續取值。但是，當粒子不再自由，而是被束縛在一個有限寬的勢阱時，它就不能亂跑了，k也不能隨意取值了。於是，對應的能量E也不能隨意取值了，也就是不連續了。
在一維無限深方勢阱里，我們要求波函數ψ在勢阱兩邊的取值都為0，即ψ(0)=ψ(a)=0，這相當於固定住了一根繩子的兩端。於是，在0到a之間，這根繩子可以彎成一個波形，也可以彎成兩個波形、三個波形，就像下圖這樣：
因為ψ(x)代表了系統狀態（能量本徵態），所以，這每一種可能的波形，就代表了系統可能的一種狀態，對應了一個確定的能量E。
在經典力學里，我們用一個粒子的位置和動量描述它的狀態。就算我們把粒子關在一個牢房裡，限制它的活動範圍，它在牢房裡的位置和動量依然可以連續變化，能量也可以連續變化，它在牢房裡依然可以連續走動，沒人管它。
但到了量子力學，這個牢房不僅限制了它的活動範圍，還限制了它的狀態，限制了它的能量，讓它不能再隨意取值。
在一維無限深方勢阱里，求解定態薛定諤方程得到的波函數是一個正弦波。作為一個波，它有自己的傲氣和傲骨，即便身陷囹圄，活動範圍受到了限制，它還是要保持波的樣子。所以，粒子的狀態和能量就出現了離散化。
這樣，大家對量子力學裡的不連續性是否有了更深刻的認識？
33氫原子
在量子力學的基本假設里，我們沒有對能量是否連續做出任何假設，我們只說用態矢量描述系統狀態，用薛定諤方程描述系統狀態隨時間的變化。
當勢函數V不依賴時間時，系統就處於定態（能量本徵態），這時候測量能量就有確定值。能量有確定值，我們才能談論能量的取值是連續的還是離散的。如果系統處於能量疊加態，都沒有確定的能量值，那這問題就沒啥意義了。
勢函數確定後，我們求解定態薛定諤方程就能得到描述系統狀態的波函數，進而得到能量的情況，然後就知道了能量的取值是連續的還是離散的。
當勢函數V=0時，粒子完全自由，它的能量是連續的；當勢函數不為0，而是一維無限深方勢阱時，粒子的能量就變成離散的了。如果我們再換一種環境，再換一個勢函數，這個操作流程還是一樣的，都是把對應的勢函數代入薛定諤方程求解，再根據波函數分析能量的取值情況。
比如，我們知道氫原子是由一個質子和一個核外電子組成。那麼，這個電子的能量可以取哪些值呢？是連續的還是離散的？
同樣的，要分析電子的行為，我們就要知道它的勢函數。而我們很清楚，電子和質子會互相吸引，根據庫侖定律，這個勢函數V可以寫成：
然後，我們把這個勢函數代入定態薛定諤方程，經過一系列我們覺得非常複雜，但在量子力學裡還算簡單的計算，就能得到氫原子里電子可以取的能量：
這就是著名的玻爾公式，玻爾從他的模型里得到了這個公式，進而名揚天下。現在，我們可以從薛定諤方程里把它非常自然地推出來。
這個求解過程我就不說了，任何一本量子力學教材都會寫。但結果很明顯，跟一維無限深方勢阱一樣，庫倫勢下的電子可以取的能量值一樣是離散的，它只能取一些特定的值。n=1是能量的最低狀態，也叫基態，其它情況被稱為激發態。
34原子模型
在量子力學歷史上，氫原子問題一直都很重要。現在我們知道了量子力學裡處理氫原子的方式，那不妨再回過頭，看看經典力學是如何處理氫原子的，看看它遇到了什麼困難，這對我們深入理解量子力學也很有好處。
在量子革命前夜，困擾經典力學的有四大難題：包括大家很熟悉的黑體輻射和光電效應，以及大家不太熟悉的原子光譜和原子穩定性問題。後兩個問題都跟原子模型有關，而氫原子又是最簡單的原子，所以它非常重要。
說到原子模型，首先出場的是湯姆生。他認為原子是個球體，帶正電的物質均勻分布在球內，帶負電的電子一顆一顆鑲嵌在球內，這個模型被稱為「棗糕模型」。
但是很快，湯姆生的模型就被他的學生盧瑟福打臉了。盧瑟福用α粒子轟擊金箔時，發現絕大部分α粒子都會通過金箔，但有極少數α粒子竟然會反彈回來。
這是什麼意思呢？如果原子裡帶正電的物質都均勻分布，那用α粒子轟擊原子，就會像用子彈轟擊蛋糕一樣，是絕不可能被反彈回來的。現在有極少量α粒子被反彈回來了，那就說明原子內部有極少量非常堅硬的東西。
盧瑟福經過反覆的實驗和思考，認為帶正電的物質只能集中在一個非常小的範圍內，原子的質量也主要集中在這裡，這就是我們說的原子核。這樣，帶正電的原子核就像太陽，帶負電的電子就像圍繞太陽轉的行星，盧瑟福的原子模型就被稱為「行星模型」。
行星模型雖然跟實驗符合得很好，但卻存在一個巨大的理論問題：如果電子真的在繞核轉動，那根據經典電磁理論，電子轉動時就會不斷釋放能量。這樣的話，當電子的能量消耗殆盡以後，它就應該墜入原子核，原子也就隨之毀滅了。
但我們都知道，世界很穩定，原子並沒有毀滅，電子也沒有墜入原子核。那問題就來了：原子為什麼能保持穩定？電子為什麼沒有因為不斷釋放能量而墜入原子核？
這就是原子的穩定性問題，它是經典物理無法回答的。
盧瑟福無法解決這個問題，就把它丟給他的學生玻爾。玻爾搗鼓了一段時間，在充分吸收了普朗克、愛因斯坦的量子化思想後，提出了一套全新的原子模型。
玻爾認為，電子的軌道並不能隨意選，它只能處在一些特定的軌道上。當電子處在這些特定軌道上時，電子並不發射、吸收能量（所以不會墜毀），只有當電子從一個軌道躍遷到另一個軌道時，才會發射和吸收能量。
玻爾的模型是一個經典和量子的混合體，裡面既有量子化軌道這樣的概念，也有電子繞核轉動這種經典模型。從理論上來說，這樣一個「縫合怪」必然槽點滿滿（當時也確實沒人相信它），這個模型也確實無法解釋更複雜的原子。
但是，相比理論，物理學家更看中你的模型能否解釋實驗現象。當越來越多的實驗站在玻爾這邊時，大家就慢慢接受了玻爾模型的主要思想，承認這裡面確實有部分正確的東西。同時，大家也在期待一個更完美的理論，希望能從那裡導出玻爾模型，並解釋玻爾模型無法解釋的東西。
大概十年後，隨著量子力學的全面建立，一切都清晰了。那麼，現在的量子力學是如何看待玻爾模型的呢？
首先，我們要明確：在量子力學裡，電子是沒有軌道概念的。什麼是軌道？電子這一秒在這，下一秒在那，它每個時刻的位置都能精準算出來，這是軌道。但是，量子力學裡電子在一般狀態下並沒有確定的位置，我們只能計算在各個地方發現電子的概率，所以根本談不上軌道。
但我們也知道，玻爾模型是符合實驗的，它肯定也包含了一些正確的東西。那麼，如果量子力學裡並沒有確定的軌道，那玻爾說的軌道又是什麼？
在前面，我們已經解了庫倫勢下的薛定諤方程，並得到了玻爾公式：
這裡每一個可能的E，都代表了電子可能的一種狀態。沒錯，這其實就是玻爾說的「軌道」。
每一個「軌道」，其實就是一種定態，是一種能量本徵態。因為庫倫勢下電子可以取的狀態和能量都是離散的，所以玻爾才會覺得電子只能待在一些特定而離散「軌道」上。
為什麼電子沒有墜入原子核呢？因為在這些允許的能量E里，有一個最小值，即n=1時的基態能量（這裡能量取負值，負號代表電子受到了原子核的束縛，E1=-13.6eV，E2=-3.4eV…），電子的能量無法比它再小，所以無法墜入原子核。
這樣，大家對原子問題有更深刻的認識了么？
35雙縫實驗
我寫這篇文章，主要是想幫大家把量子力學的基本框架搭起來，讓大家知道如何從量子力學的視角看問題。
很多人覺得量子力學奇怪、詭異，甚至恐怖，根本原因就是：他們並不是從量子的角度看待量子問題的。他們有意無意地保留了許多經典的概念和思維，用半經典半量子的眼光看待量子世界，這樣不覺得奇怪才怪了。
在量子革命初期，在量子大廈還沒建起來之前，那些大師們用更加熟悉的經典思維思考問題無可厚非。他們四處碰壁，經過各種艱苦卓絕的探索才建立起了成熟的量子力學框架。一百多年後的今天，難道我們還要用半經典半量子的視角看問題，還要在量子初期的那些泥潭裡一直摸爬打滾么？
很多人覺得量子力學很奇怪，覺得沒人能懂量子力學，並引以為傲地說許多物理大師也是這麼說的。但請相信我，絕大部分人覺得量子力學奇怪，僅僅是因為他們對量子力學的基本概念、基本框架缺乏最基本的認識，他們陷在半經典半量子的泥潭裡出不來，跟物理大師眼中的奇怪根本不是一回事。
就像同樣是數學，有人說解一元二次方程太難了，有人說黎曼猜想太難了，都說數學難，但這能是一碼事么？如果大家把量子力學的框架搭起來了，學會了從量子視角看問題，那原先很多看起來非常反直覺，非常不可思議的東西都會變得非常自然。
比如，被無數科普文扣上恐怖、細思恐極、顛覆三觀帽子的單電子雙縫干涉實驗，如果從量子力學的角度看，它就是一個平平無奇的實驗。
為什麼那麼多人覺得雙縫實驗恐怖呢？因為他們是從經典視角看這個實驗的。
從經典視角看，單電子雙縫干涉實驗比較「詭異」的地方有兩個：第一，大家熟悉的干涉實驗都是有大量粒子參與的，不同粒子之間產生干涉容易理解。但是，現在我們每次只發射一個電子，時間一長，屏幕上居然還能出現干涉圖案，這就難以理解了。
每次只發射一個電子，你跟誰干涉？沒有干涉對象怎麼會有干涉圖案呢？這就好像每個電子都有意識，知道自己前後的電子要往哪走似的，這種氛圍再配上點恐怖音樂，就顯得很詭異了。
更加「詭異」的是第二個：我們一個個放出電子時，屏幕上會慢慢出現干涉圖案。但是，一旦我們在縫隙後加了一個探測器，想看看電子到底通過了哪條縫隙，干涉條紋就消失了。
從經典視角來看，這裡原本有個干涉圖案，我「看」一眼電子要從哪經過，干涉圖案就消失了。彷彿意識可以影響實驗，或者電子能讀懂我的心靈似的，這裡再渲染一下氣氛，那就不是詭異，而是恐怖了。
我去網上搜了一下「雙縫實驗」，大家看看這些熱搜詞：
都是些什麼恐怖、騙局、真相，更誇張的連「雙縫實驗看見鬼」都冒出來了。一個科學實驗搜出一堆這樣的東西，也是沒誰了。
當然，從經典視角看，雙縫實驗的確非常詭異，非常恐怖。但是，從量子視角看，你會發現這是一個非常自然的實驗，它所體現的，無非就是量子力學最基本的一些特性。
首先，為什麼每次發射一個電子也會出現干涉圖案呢？
在量子力學裡，我們用波函數（態矢量）描述電子的狀態，而這個狀態是可以疊加的。也就是說，如果ψ1是電子的一個可能狀態，ψ2也是電子的一個可能狀態，那麼，它們的線性疊加ψ=ψ1+ψ2就也是電子的一個可能狀態（ψ1、ψ2前面可以有不同的係數），這叫態疊加原理。
這個大家應該覺得很自然。在斯特恩-蓋拉赫實驗里，銀原子可以處於自旋向上的本徵態ψ1，也可以處於自旋向下的本徵態ψ2，那麼，它就也可以處於自旋向上和自旋向下的疊加態ψ=ψ1+ψ2，這再正常不過了。
而且，我們還知道測量力學量的概率是跟波函數的模的平方|ψ|²掛鉤的。
然後，我們就會發現：疊加態對應的概率|ψ|²=|ψ1+ψ2|²並不等於原來各個狀態的概率之和|ψ1|²+|ψ2|²，它們之間還差了一個交叉項，小學數學老師也會經常強調「和的平方不等於平方的和」。而這個交叉項，就是干涉出現的原因。
其實，經典力學里波的干涉也是因為交叉項。因為波的強度也是平方相關的，所以，兩個光波疊加的強度就不等於每個光波的強度之和（強度跟平方相關，會多出交叉項），而我們看到的明暗程度又跟光的強度有關，於是就出現了干涉條紋。
在量子力學裡，兩個波函數疊加的概率並不等於每個波函數的概率之和（|ψ1+ψ2|²≠|ψ1|²+|ψ2|²），所以疊加態的概率分布圖像就不是原來兩個概率圖像的簡單疊加，這樣就出現了一種概率上的干涉。時間一長，概率大的地方就會積聚更多的粒子，於是，概率上的干涉圖像就變成了真正的干涉圖像。
也就是說，量子力學裡的單電子雙縫干涉跟經典干涉沒啥區別，都是因為疊加性。經典力學裡兩個波可以疊加，量子力學裡描述系統狀態的兩個波函數（態矢量）也可以疊加，而它們的可觀測量（強度和概率）又都是平方相關的，所以疊加後就會多出一個交叉項，然後就出現了干涉圖案。
至於「看一眼乾涉圖案就消失了」那就更簡單了。不管你用什麼看，人眼、儀器或者一隻狗，只要我們知道了電子是從哪個縫隙通過的，本質上就是通過跟系統的相互作用完成了一次測量。而量子力學裡的測量是會改變系統狀態的，它會讓系統從原來的狀態變成被測力學量的某個本徵態，這我們太熟悉了。
所以，當你測量電子會通過哪個縫隙時，這個操作就改變了電子的狀態，讓電子從原來的狀態變成了某個本徵態。狀態變了，概率分布也就變了，於是干涉圖案自然就消失了。有的書上說單電子的雙縫干涉是電子自己跟自己干涉，其實是說這是電子的兩個狀態（通過縫隙1的狀態和通過縫隙2的狀態）之間的干涉。而測量過程會改變電子的狀態，於是就破壞了干涉圖案。
可見，如果我們建立起了量子力學框架，從量子視角看，雙縫實驗就是非常簡單而且自然的。它無非就是在說「系統狀態可以疊加，測量會改變系統狀態」，這些基本結論有什麼好奇怪的？又哪裡有半分恐怖？你非要用經典視角看問題，然後自己嚇自己，說哎呀媽呀好恐怖，三觀震裂，那我還能說什麼呢？
當然，這裡只是對雙縫實驗做了一個非常簡單的介紹（後面再單獨寫文章詳細談），目的就是讓大家知道：如果我們學會了從量子視角看問題，很多你之前覺得奇怪、詭異、恐怖的問題都會變得非常自然。你覺得雙縫實驗恐怖，跟古人覺得閃電恐怖沒啥區別，一旦掌握了看待這些問題的正確視角，它們都是非常自然的現象。
36不確定性原理
此外，很多人覺得不確定性原理也很神秘，其實它也很自然。大家看一張格里菲斯的《量子力學概論》里的插圖很快就明白了：
上面那個圖，你很難說這個波在哪，但卻很容易說兩個波峰之間距離（也就是波長）是多少；下面那個圖，你很容易說這個波在哪，卻說不出它的波長是多少。
也就是說，如果波長越精確（上圖），波的位置就越不精確；如果波的位置越精確，波長就越不精確（下圖）。
在量子力學裡，我們用波函數描述系統的狀態，而波長λ跟動量p之間有一個簡單的關係：p=h/λ。用動量代替上圖的波長，於是就有：動量越精確，位置就越不精確；位置越精確，動量就越不精確。
此外，我們也能看到，一個波的位置越確定，它的波長就越不確定，這是系統的內在屬性，跟你測量不測量無關。海森堡一開始以為是測量干擾了其它物理量，進而導致測不準，後來才知道並不是這樣。
關於不確定性原理，這裡就先簡單地聊這些，因為這篇文章讓我意外地發現：原來公眾號的文章最多只能寫5萬字，再多就發不了了！我這已經是在極限邊緣瘋狂試探了，更詳細的以後再聊吧~
37量子力學詮釋
量子世界還有許多激動人心的話題，比如薛定諤的貓、玻爾和愛因斯坦的論戰、貝爾不等式、多世界理論、狄拉克方程、量子場論、量子糾纏、量子通信和量子計算等等，這裡就先不說了。但大家要清楚，我們能愉快討論這些話題的前提，是你已經掌握了量子力學的基本框架，知道如何從量子視角思考問題，否則就只是看個熱鬧。
例如，很多人都知道玻爾和愛因斯坦的論戰，但很少有人知道他們到底在爭什麼。有些人只是給愛因斯坦貼了一個「反量子力學」的標籤，認為愛因斯坦先是參與了量子力學的建立，成為權威後變保守了，又開始反對量子力學，那也太膚淺了。
為了搞清楚玻爾和愛因斯坦到底在爭什麼，我們要先搞清楚一件事，一件很重要，但又很容易被忽略的事：量子力學的形式理論（或者說對量子力學的數學描述，也叫裸量子力學）和對量子力學的詮釋是不一樣的，我們一定要區分兩者。
什麼意思？我們觀察自然界的各種現象，發現物理規律，然後用數學語言描述它。一開始，我們只要理論能給出正確的預言，計算結果能跟實驗符合就行了，並不追問這些數學語言背後代表了什麼樣的物理現實。
比如，德布羅意提出了物質波假說以後，薛定諤就找到了對應的波動方程，也就是大名鼎鼎的薛定諤方程。通過薛定諤方程，我們能很好描述各種量子現象。但是，對於薛定諤方程的解，也就是波函數到底是什麼？大家卻莫衷一是。
也就是說，雖然我們用波函數描述系統的狀態，而且這樣工作得非常好。但是，這個波函數到底是個什麼東西？它是描述了粒子的真實狀態（實在的），還是說只是我們認識粒子的工具，描述的僅僅是我們對粒子的認識狀態（非實在的）？這其實是一個哲學上的本體論問題，我在文章里對此類問題隻字未提。
我在這裡介紹的量子力學框架，實際上只是一套量子力學的數學描述，我們可以說它是量子力學的形式理論或裸量子力學。如果我們想追問這套數學語言背後的物理圖像，就涉及量子力學詮釋了。
所謂詮釋，就是對一套數學語言背後的物理圖像進行解讀。我們用態矢量描述系統狀態，用算符描述力學量，用薛定諤方程描述系統狀態隨時間的變化，這些都是對量子現象的數學描述，是量子力學的形式理論。對於這些，是所有人都承認的，不管愛因斯坦還是玻爾。
但是，如果我們想知道這套數學語言的背後對應了一個什麼樣的物理世界，想知道波函數到底是什麼，詮釋就出現了。面對同樣一套形式理論，詮釋可以是多種多樣的，於是，玻爾和愛因斯坦的分歧就出現了。
以玻爾為首的哥本哈根詮釋認為：波函數並不描述粒子的真實狀態，它只是我們認識量子世界的工具，波函數只有認識論上的意義。當我們測量時，波函數會瞬間坍縮。而且，雖然系統狀態的演化遵守薛定諤方程，但測量導致波函數坍縮的過程卻不遵守薛定諤方程……
哥本哈根詮釋還有很多觀點，這裡就不一一列舉了。玻爾他們通過這樣一種詮釋，構建了一幅相對完整的量子圖像。這樣，大家在處理量子力學問題時腦袋裡就會有一個具體的畫面。
當然，雖然哥本哈根的量子圖像跟實驗對得上，但它理論上的問題也很多：波函數在測量過程中瞬間坍縮，而且這個過程不滿足薛定諤方程，那坍縮過程是如何發生的？測量在這裡如此重要，那什麼樣的行為可以算是測量？為什麼會有兩類演化過程，一類遵守薛定諤方程，另一類不遵守？量子世界和經典世界如此不一樣，你給它們划了一條界線，那這條界線到底在哪？
更加重要的是，哥本哈根詮釋說波函數並不描述電子的真實狀態，它只是一個認識工具。他們認為根本就不存在什麼真實的電子狀態，只有當我們測量時發現了電子，才能說電子存在。因此，站在哥本哈根的角度，是我們的測量過程創造了電子，你不測量時電子就不存在。
這種說法徹底激怒了愛因斯坦，他說：「難道我們不看月亮時，月亮就不存在了么？」。大家更熟悉愛因斯坦的另一句「上帝不投骰子」，但其實，相比投不投骰子，愛因斯坦更在意月亮存不存在。大家經常在科普書里看到玻爾和愛因斯坦的論戰，愛因斯坦反對的不是量子力學（沒人反對量子力學的形式理論），他反對的是量子力學的哥本哈根詮釋。
愛因斯坦非常討厭哥本哈根詮釋（薛定諤、德布羅意也是），於是，他就一邊挑哥本哈根詮釋的漏洞，一邊找一些新詮釋。但是，雖然哥本哈根詮釋的問題很多，但它跟實驗也都對得上，而它的競爭對手們當時又太弱，愛因斯坦的超一流挑刺功力也在不斷幫哥本哈根詮釋打補丁。再加上玻爾、海森堡、玻恩這幫人在量子領域的權威，愛因斯坦到死也只能一邊看它不爽，一邊拿它也沒什麼好辦法。
愛因斯坦去世兩年後，一個叫埃弗雷特的人提出了一種了全新的量子力學詮釋：多世界詮釋。
這是一個在理論上極其簡潔，但在推論上似乎極其「荒誕」的詮釋。多世界甚至可以說是不要詮釋的詮釋，因為它的基本假設就兩條：第一，系統狀態由態矢量描述；第二，態矢量隨時間的演化遵守薛定諤方程（可見，它跟我們這裡講的形式理論並不太一樣，所以，多世界也不只是一個詮釋，它還是一個獨立的理論）。
哥本哈根詮釋的那些額外假設（測量導致的坍縮，量子和經典的邊界問題等等）它通通不要，玻恩規則也不要，這些東西在多世界這裡不是假設，而是結論。它一樣能跟所有實驗符合，也不存在什麼「不看月亮，月亮就不存在」的問題。
在多世界詮釋（理論）里，波函數描述的是粒子的真實狀態（實在的），測量只不過是儀器跟系統的相互作用，測量過程也遵守薛定諤方程，並沒有什麼波函數坍縮。它還有很多其它觀點，這些觀點一起也構成了一幅完整的量子力學圖像，但是很明顯，這是一幅完全不同於哥本哈根詮釋的圖像。
細節這裡先不講，以後再說。不過，從這裡我們起碼能看到：哥本哈根詮釋里有波函數坍縮，多世界詮釋里沒有波函數坍縮；哥本哈根詮釋里波函數不描述粒子的真實狀態，多世界詮釋里波函數描述粒子的真實狀態；哥本哈根詮釋里有量子-經典邊界問題，多世界詮釋里沒有……
這兩個詮釋有很多不一樣的地方，但它們都跟實驗符合，你說我聽誰的？
哥本哈根詮釋有時也被稱為正統詮釋，很多教材也都是以哥本哈根形式寫的。時至今日，多世界詮釋也有了非常多的支持者。然而，不管是哥本哈根、多世界，還是其它什麼詮釋，支持者的比例都很低，更多物理學家的選擇是：不要詮釋！不要詮釋！不要詮釋！
他們就拿量子力學的形式理論來做計算，能算、有用就行！至於它背後的物理圖像，去你的玻爾和愛因斯坦，我誰都不信，他們是閉嘴計算派。當然，閉嘴計算並不代表他們不關心詮釋，沒有哪個物理學家會真的不關心量子理論背後的圖像。只不過，現有詮釋的說服力實在都不太夠，沒有哪個詮釋能讓人特別信服，所以他們就乾脆不管了。
因此，很多量子力學教材也會有意識地避免詮釋問題，它們就只介紹量子力學的形式理論，只介紹我們是如何運用數學語言描述量子現象的，只介紹這套所有人都承認的東西。
形式理論壓根就不談波函數有沒有坍縮，它只說測量結果是對應算符的本徵值之一。至於測量過程中到底發生了什麼，是波函數坍縮了，還是世界分裂了，它不管。
有些朋友可能會感到很困惑：我學物理這麼久了，為什麼好像只在量子力學這裡有詮釋問題，學習其他理論時好像壓根就沒這事？比如，我們學習牛頓力學時，哪有什麼詮釋啊。
牛頓力學當然也有詮釋，只不過，我們在牛頓力學裡是採用三維空間中的實數和函數來描述質點和場的，這種描述具有很直接的空間意義。所以，大家對牛頓力學裡什麼概念代表什麼物理意義，都能取得廣泛的共識。一個石頭往下落，描述這個過程的數學公式是這樣的，大家腦中的物理圖像也都是這樣的，沒人有異議。
但是，在量子力學里，我們是用希爾伯特空間中的矢量和算符來描述系統狀態和力學量的，這是很抽象的數學結構。希爾伯特空間並不是我們日常接觸的三維空間，這樣一來，如何把數學概念和物理現實對應起來就比較麻煩了。於是，有人認為波函數描述了現實，有人認為並沒有；有人認為測量時波函數坍縮了，有人認為沒有坍縮等等。
不存在共識，也說明我們對量子世界的認識還不夠深刻。隨著理論和實驗的進步，我們以後或許能區分不同的詮釋，能搞清楚許多現在還不懂的事情，形成一幅所有人都同意的量子力學圖像。到那時，自然就沒人再提什麼量子力學詮釋了。
量子力學詮釋是一個非常宏大而且深刻的話題，它不僅跟物理學有關，也跟哲學有關，可以說愛因斯坦的後半輩子一直都在思考它。
在這篇文章里，我們只要知道有量子力學詮釋這麼回事，知道形式理論和詮釋的關係，知道我們這裡介紹的只是量子力學的形式理論就行了。關於量子力學的詮釋更多問題，我們以後再慢慢聊。
這樣，文章就接近尾聲了。
38結語
在經典力學裡，系統狀態、可觀測量和觀測結果都是一樣的，我們沒必要刻意區分它們。到了量子力學，為了描述斯特恩-蓋拉赫實驗以及其它量子現象，我們必須區分三者。
我們用態矢量描述系統狀態，用算符描述力學量，測量結果是對應算符的本徵值之一，系統狀態隨時間的變化遵守薛定諤方程。
為了把抽象的態矢量具體化，我們要建立坐標系。然後，我們發現以力學量算符的本徵矢量為基矢建立的坐標系是極好的，選取這樣一組基矢就叫選取了一個表象。以位置算符的本徵矢量為基矢建立的就叫位置表象，以動量算符的本徵矢量為基矢建立的就叫動量表象，它們之間可以通過傅里葉變換相互轉換。
選定了表象，我們就可以把態矢量投影到具體的坐標系裡了，投影係數（坐標）就是波函數。於是，除了態矢量，波函數也可以用來描述系統的狀態。
然後，我們也寫出了位置表象下的薛定諤方程，求解方程就能得到波函數。要解薛定諤方程，就得先確定勢函數。
如果勢函數不依賴時間，概率分布就不隨時間變化，力學量的平均值也就不隨時間變化，這樣的狀態我們稱之為定態。因為定態下的能量具有確定值，所以定態也就是能量本徵態。能量有確定值，求解定態薛定諤方程就能得到系統可以取的能量，這樣能量是連續的還是離散的一看便知。
於是，我們就知道了量子力學裡能量不連續的原因，也知道了量子力學處理問題的一般方法。掌握了量子力學的思考方式，你會發現很多大家熟悉的量子力學性質（比如能量可以不連續）都能推出來，很多大家覺得奇怪、詭異，甚至恐怖的問題（比如雙縫干涉實驗）都會變得非常自然。
建立了量子力學的基本框架以及處理量子力學問題的一般方法，這篇文章的目的就達到了。限於篇幅，很多大家非常感興趣的話題這裡只能一筆帶過，我們以後再講，怕錯過的盯著我的公眾號「長尾科技」就行。
最後，我們還區分了量子力學的形式理論和詮釋，這些東西後面會引申出非常多超級精彩的話題。但是，理解它們的前提，是已經把量子力學的形式理論搞清楚了。
文章來源：長尾科技
