“数学”数学分析中的梦魇—“无穷”，微积分困难之所在

18世纪，牛顿和莱布尼兹的微积分被广泛地应用来解决前代人感兴趣的问题，如面积问题、极大极小值问题及描述悬挂着的链子的形状（即悬链线）或者振动着的弦上的点的位置问题；还有对于天体力学的应用，以及与函数性质有关的研究，所有这些领域还有其他领域在整个 18世纪发展了起来。这要归功于于泰勒、约翰·伯努利和丹尼尔·伯努利、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日等人。

这些人使用了许多大师般的论证，但是这些论证的有效性又多有可疑之处。对这些大师来说，对发散级数的运算、虚数的应用以及对实无穷的运算，用得是得之于心、应之于手。然而这些方法，对于普通人，又总是很难解释清楚，所以有些结果再重复起来就不太可靠了。要做欧拉的计算，你就得自己就是欧拉，这种情况延续到了下一个世纪。

一些特定的争论突出了一些问题，而今天看来这些问题是来自基础上的混淆不清。例如，在无穷级数问题上，就有着形式表达式的适用范围上的混淆。考虑级数

按照今天通用的初等定义，将把这个级数考虑为发散级数，因为它的部分和序列1，0，1，0……不趋向任何极限，但是关于这个式子却有争论。例如欧拉和伯努利就讨论过，一个无穷和的和与值可能有区别，伯努利认为，像1-2＋6-24＋120＋…这样的东西并没有和，但是这个代数表达式可以有值。欧拉则为下面的观念辩护说，级数的和就是产生这个级数的有限表达式的值，也不管这些名词究竟是什么意思。在他的1755年的一本书里，以

这个式子是由1/（1＋x）得来的，所以后来欧拉在为自己的观点辩护时，就说1-1＋1＋……=1/2。他的观点并未得到普遍接受。在把函数的值推到其通常的区域以外时，例如对于负数的对数，也产生过类似的争论。

对于18世纪的分析的语言和方法的最著名的批评家大概就是哲学家贝克莱。他的名言“存在即被感知”表明了他的唯心主义立场。他认为，这些对象应该是被感知的东西，而且应该是作为一个整体而被感知的。感知无穷小的大小的物体的不可能性，再加上它的明显的抽象性，使得贝克莱在他1734年出版的著作《分析学家：或致一位不信神的数学家的信》里讥讽地称无穷小为“消逝的量的鬼魂”，他的辩词是：在数学论证里、忽略去一个量，不论它多幺小，都是不合适的。他引用了牛顿关于这个问题的话："在数学中，哪怕是最小的误差，也是不许可的。"贝克莱接下去又说，正是这门学科的晦涩使得牛顿把这类推理强加于他的追随者。

所有这些都表明，微积分需更深入的解释。

欧拉

欧拉对于分析的一般发展所作的贡献多于18世纪的任何人，他为了论证他的方法所给出的论据，由于他所写的重要的教科书的成功与被广泛采用，甚至在他身后仍然有极大的影响。欧拉的推理有时被认为是很不严谨，因为用起微积分记号来很是随心所欲，他的许多论证按后来的标准看也都是有缺陷的。特别当这些论证涉及无穷级数和无穷乘积时更是如此。一个典型的例子是他对以下式子的早期的证明：

他的方法是这样的，利用sinx的已知级数展开式

欧拉考虑左式的零点，其位置在

应用适用于有限代数方程的因式定理（而对此未作任何论证），他把这个式子写成

现在可以看到，双方x的系数应该相等。右式的系数是-1/6，而欧拉把左方各个括号都乘开，其中除了一个括号外都取1，这一项则取

这样欧拉得到

双方乘以π^2即得所求证明的式子。

我们现在认为这个处理途径有几个问题。无穷多个因子的乘积可能表示一个有限值，也可能不表示，今天就会要求确定它何时才表示一个有限值。还有把适用于（有限）多项式的结果用于无穷级数，是需要论证的步骤。欧拉在他的晚年对此结果给出另一个论证。他可能已经知道有反例一说。但是，这样的事实，对于欧拉却不是决定性的障碍。这样的观点，即在一般能行而可能有少数例外的情况下，仍然进行推理，在欧拉的时代并不少见，直到19世纪末，人们才通过协调的努力做到了这样的地步 ，即达到了这样的共识：在宣布分析的结果时，要确切地阐明这个定理成立的条件。

欧拉并没有细想过如何解释无穷和以及无穷小。有时，他轻率地就把无穷小当作零，而且从问题的上下文来导出微分之比的意义：

这个声明见于欧拉1755年写的Institutiones Calculi Differentialis一书，紧接着他就来讨论在比例中有一个比为0/0的问题，这样来论证在普通的数的计算中微分可以略去。这个声明很准确地描述了欧拉的实践的很大一部分——例如他在研究微分方程时就是这样做的。

然而，确实发生了冲突的事，而关于定义的辩论也不少见。最著名的例子涉及关于所谓振动弦问题的讨论。欧拉、达朗贝尔和丹尼尔·伯努利都卷进来了。这些辩论紧密地关乎函数的定义，以及在分析中所研究的函数有哪些可以用级数（特别是三角级数）来表示的问题。一条形状任意的曲线都可用作振动弦的初始位置，这样的思想推广了函数的思想，而傅里叶在19世纪早期的工作又使得这些函数在解析上可以处理。在这样的背景下，具有折断的图像的函数（一类不连续函数）就被纳入人们的视线了。后来，当与代数和三角运算相联系的"更自然"的对象让位于更一般的现代的函数概念时，如何对待这类函数，成了分析基础的决定性的问题。