一转定乾坤,实在太奇妙了。抽丝剥茧,详细解析初中数学题106

2023年01月03日01:02:06 教育 1855

如图, P 是正方形 ABCD 内的一点,若 PA = 1,PB=2,PC=3,求∠APB 的度数。

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解析:因为四边形ABCD是正方形,

所以两边相等且垂直。

我们可将△ABP 绕点B 顺时针旋转 90°,得△CBE,连接 PE。

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由旋转的性质可得:

∠CEB =∠APB,

EB=PB,

EC=PA,

∠PBE=90°(因为是旋转90°),

所以△BEP 为等腰直角三角形,

所以∠BEP=45°。

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在Rt△PBE中,

因为PB=2,

所以PE=√PB²+EB²=2√2。

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在△PEC中,

因为PC=3,

PE=2√2,

EC=PA=1,

所以PC²=PE²+EC²

所以∠PEC=90°,

所以∠APB=∠CEB

=∠BEP+∠PEC

=45°+90°

=135°。

小结:对于正方形内一点可通过旋转90°,使得三条线段集中到同一个四边形中(如本题四边形PBEC),而作出四边形的对角线(如本题中PE)后可以发现其中一个三角形(如本题中△PBE)是等腰直角三角形,从而可以得出PE=√2BP。这样√2BP、PC、PA被集中到同一个△PEC中,的确非常奇妙。

这正所谓:一转定乾坤,将三个不在同一三角形的线段统一到同一个三角形中去了。

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