2020年11月09日20:32:58 科技 1431

這是一個非常詭異的數學猜想，因為它的表述異常簡單並且非常容易理解，而且問題的形式看起來那麼富有吸引力。

但是即使是最頂尖的數學家，也沒能給出一個證明！！

不要試圖自己解決這個問題！

雖然我已經發出了警告，但你一定還是會被這個問題所蠱惑，因為它的表述是那麼簡單，那麼容易理解，而且問題的形式看起來那麼富有吸引力。

任意選擇一個整數，如果它是偶數，就將它除以二；如果它是奇數，就把它乘以三再加一。對於新產生的數，我們對它進行上一步的操作，依次類推。

如果你這樣一直做下去，你一定會陷入一個循環中。至少我們猜想會是這樣。

接下來以10為例來說明這個問題：

10是偶數，所以我們將它除以2然後得到5；又因為5是奇數，所以用3乘以5再加1得到16；16是偶數，16除以2得8，接下來可以得到4，然後是2，再接下來是1。因為1是奇數，3乘以1加1是4，最後進入了4-2-1-4-2-1......的循環中。

如果以11為例，我們可以得到以下過程：11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1-4-2-1....最終我們還是掉入了相同的循環中。

這個「臭名昭著」的考拉茲猜想講的是，如果從一個正整數開始，你最終一定會陷入循環中。也許你會不顧我的警告而嘗試去解決它：因為它看起來很簡單也很容易理解。事實上，多數數學家都曾在這個問題上花過功夫。

我第一次在學校學習到這個猜想時就被它吸引了。我和我的朋友花了很長時間來思考這個問題，但是這並沒有讓我們得到答案。

考拉茲猜想之所以臭名昭著的原因是：即使你可以證明你見過的所有數字都滿足這個猜想，那你也不能證明它一定是對的。所以，它至今只是個猜想。

看似簡單 ·實則極難

為了理解考拉茲猜想，我們從下面這個函數開始：

你也許還記得學校里教的「分段函數」：上面的函數里包含一個作為自變量的正整數n，並且有兩種對它進行操作的規則，我們需要根據n的奇偶性來選擇兩個規則中的一個。

函數f代表我們對n進行操作的規則，例如：f(10)=10/2=5，f(5)=3*5+1=16。根據函數f對輸入的奇數的操作，考拉茲猜想也被成為3n+1猜想。

考拉茲猜想處理的是函數f的「軌跡」問題。軌跡指的是如果你從一個正整數開始計算函數值，並將上算出的值重新代入到函數中得到新的函數值。我們稱這種操作為函數的「迭代」。我們已經計算過了輸入為10時函數f的軌跡：

f (10) = 10/2 = 5

f (5) = 3 × 5 + 1 = 16

f (16) = 16/2 = 8

f (8) = 8/2 = 4

更方便的表達函數軌跡的方法如下：

10 5 16 8 4 2 1 4 2 1 …

在軌跡的尾部我們可以看到1 4 2 1 的循環。

類似地，對於11有：

11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 4 ….

我們同樣陷入了相同的循環中。在嘗試其他的例子後，我們會發現軌道最終總是會陷入到循環4 2 1 …中去。

考拉茲猜想聲稱，任意正整數的軌跡最終都會經過1。儘管沒有人能證明這個猜想，但是已經有人證明了，任何小於2^68的正整數都符合考拉茲猜想。所以，如果你想找一個反例的話，你要到大於300000000000000000000的整數里去找。

很容易證明某個數是否符合考拉茲猜想：只要計算相應的軌跡直到得到數字1。但是如果想要知道這個猜想為什麼這麼難證明，讓我們先研究一個稍微簡單一點的函數，g(n)。

函數g和f類似，但是對於奇數，函數g只是讓數字加1。由於函數f和g不同，數字在函數g中的軌跡和在f中的不同。例如，g中10和11的軌跡分別是：

10 5 6 3 4 2 1 2 1 2 …

11 12 6 3 4 2 1 2 1 2 …

可以看到，g中11的軌跡更快到達1。同樣的，27的軌跡在g中也更快的到達1.

27 28 14 7 8 4 2 1 2 …

在這些例子中，g中的軌跡也會陷入循環中，但是它比f中的循環更加簡單：

2 1 2 1 ….

我們可以猜想，g中的軌跡最終也會到達1。我可以把它稱作「諾拉茲」猜想，但是我還是想叫它n+1猜想。我們會通過檢驗更多的數的軌跡來研究它，即便是證明了很多數都滿足這個猜想，我們也不能認定所有的數都滿足這個猜想。幸運的是，諾拉茲猜想可以被證明，方法如下：

首先，我們知道一個正整數的一半總是小於這個數字自身。因此如果n是正偶數， g(n) = n/2 <>

如果n是奇數，g(n) = n + 1，得到的數字會變大。但是由於n是奇數，n+1一定是偶數，下一個數是(n+1)/2，所以一個奇數的軌道如下：

… n n + 1 (n+1)/2 …

可以看出(n+1)/2 = n/2 + 1/2。因為n/2 <>當n>1，總有n/2 + 1/2<>

這些性質告訴我們，當g中的軌道到達了一個大於1的奇數，我們總是可以在兩步之後獲得一個更小的數。

現在我們可以給出證明諾拉茲猜想的思路了：在軌跡中的某一個點，無論它是偶數還是奇數，那麼之後的點總是會逐漸變小，最終，軌跡會到達1。然後它就陷入了循環中，就像我們猜想的那樣。

問題在哪？

可以用類似的方法證明考拉茲猜想嗎？讓我們回到最初的函數形式。

就像函數g那樣，函數f會讓一個偶數變小，也會讓一個奇數變成偶數，接下來再讓新的得到的偶數減半。而一個奇數的軌道如下：

… n 3n + 1 (3n+1)/2 …

而這裡正是我們的策略會失敗的地方。和前面的例子不同的是，(3n+1)/2 >n。證明諾拉茲猜想的關鍵是奇數在被函數g作用兩次之後會變小，但是這在考拉茲猜想中是不適用的。所以我們的策略失敗了。

那考拉茲猜想是不是錯的呢？畢竟軌道上的數似乎一直在變大，那它怎麼可能慢慢變成1呢？這就要考察接下來會發生什麼了，接下來發生的事情會解釋考拉茲猜想為什麼這麼難證明：因為我們不能確定(3n+1)/2 是奇數還是偶數。

我們知道3n+1是偶數。如果3n+1可以被4整除，那麼(3n+1)/2是偶數，軌跡上的數會變小。如果3n+1不能被4整除，那麼(3n+1)/2是奇數，接下來軌跡上的數會變大。我們不能預測接下來的情況是什麼，所以證明諾拉茲猜想的方法在這裡失效了。

但是，這種方法並不是毫無用處。因為有一半的整數是偶數，所以 (3n+1)/2有一半的可能性是偶數，這樣下一個數就是(3n+1)/4。

對於n>1，(3n+1/)4所以從平均的意義上講，所有軌跡都必須減少。雖然這在概率論中說得通，但沒有人能夠完整證明考拉茲猜想。

還是有一點進展...

然而，幾位數學家已經證明考拉茲猜想「幾乎總是」正確的。這意味着他們已經證明，相對於他們知道的滿足考拉茲猜想的正整數，還沒有被證明的數字的個數可以忽略不計。1976年，愛沙尼亞裔美國數學家Riho Terras證明，在反覆應用考拉茲函數之後，幾乎所有的數字最終都會低於最初的值。正如我們在上面看到的，表明軌跡上的數字會不斷變小是證明它們最終會達到1的一條途徑。

2019年，著名數學家陶哲軒改進了這一結果。當Terras證明了幾乎所有的數n的考拉茲軌道最終都會變小後，陶哲軒證明了對於幾乎所有的數，n的考拉茲軌跡最終小得多：低於n/2，低於√n，低於lnn。但是陶哲軒說，這個結果是「在沒有真正解決它的情況下，最接近完全證明它的工作。」

儘管如此，這個猜想會繼續吸引大量的數學家和愛好者的注意。所以你可以選擇一個數字嘗試一下。記住，有人警告過你：不要陷入無休止的循環中。

下面給大家幾個小練習

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1. 證明有無窮多個數可以讓考拉茲軌跡經過1

舉個例子，我們很容易注意到：

24 23 22 2 1 …

既然2的冪可以寫出無窮多個，那麼很顯然有無窮多個數的考拉茲軌跡經過1。

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2.讓n的考拉茲軌跡到達1的最小的操作次數被稱為「停止時間」。例如，10的停止時間是6，11的停止時間是14。找出兩個停止時間是5的數。

很容易注意到， 25的停止時間是5，因為 25242322 2 1 ….

而 24的停止時間是4，那麼從24開始往外數一步的數的停止時間都是5，比如5 16 8 4 2 1