「數學」數學分析中的夢魘—「無窮」，微積分困難之所在

18世紀，牛頓和萊布尼茲的微積分被廣泛地應用來解決前代人感興趣的問題，如面積問題、極大極小值問題及描述懸掛着的鏈子的形狀（即懸鏈線）或者振動着的弦上的點的位置問題；還有對於天體力學的應用，以及與函數性質有關的研究，所有這些領域還有其他領域在整個 18世紀發展了起來。這要歸功于于泰勒、約翰·伯努利和丹尼爾·伯努利、歐拉、達朗貝爾、拉格朗日等人。

這些人使用了許多大師般的論證，但是這些論證的有效性又多有可疑之處。對這些大師來說，對發散級數的運算、虛數的應用以及對實無窮的運算，用得是得之於心、應之於手。然而這些方法，對於普通人，又總是很難解釋清楚，所以有些結果再重複起來就不太可靠了。要做歐拉的計算，你就得自己就是歐拉，這種情況延續到了下一個世紀。

一些特定的爭論突出了一些問題，而今天看來這些問題是來自基礎上的混淆不清。例如，在無窮級數問題上，就有着形式表達式的適用範圍上的混淆。考慮級數

按照今天通用的初等定義，將把這個級數考慮為發散級數，因為它的部分和序列1，0，1，0……不趨向任何極限，但是關於這個式子卻有爭論。例如歐拉和伯努利就討論過，一個無窮和的和與值可能有區別，伯努利認為，像1-2＋6-24＋120＋…這樣的東西並沒有和，但是這個代數表達式可以有值。歐拉則為下面的觀念辯護說，級數的和就是產生這個級數的有限表達式的值，也不管這些名詞究竟是什麼意思。在他的1755年的一本書里，以

這個式子是由1/（1＋x）得來的，所以後來歐拉在為自己的觀點辯護時，就說1-1＋1＋……=1/2。他的觀點並未得到普遍接受。在把函數的值推到其通常的區域以外時，例如對於負數的對數，也產生過類似的爭論。

對於18世紀的分析的語言和方法的最著名的批評家大概就是哲學家貝克萊。他的名言「存在即被感知」表明了他的唯心主義立場。他認為，這些對象應該是被感知的東西，而且應該是作為一個整體而被感知的。感知無窮小的大小的物體的不可能性，再加上它的明顯的抽象性，使得貝克萊在他1734年出版的著作《分析學家：或致一位不信神的數學家的信》里譏諷地稱無窮小為「消逝的量的鬼魂」，他的辯詞是：在數學論證里、忽略去一個量，不論它多麼小，都是不合適的。他引用了牛頓關於這個問題的話："在數學中，哪怕是最小的誤差，也是不許可的。"貝克萊接下去又說，正是這門學科的晦澀使得牛頓把這類推理強加於他的追隨者。

所有這些都表明，微積分需更深入的解釋。

歐拉

歐拉對於分析的一般發展所作的貢獻多於18世紀的任何人，他為了論證他的方法所給出的論據，由於他所寫的重要的教科書的成功與被廣泛採用，甚至在他身後仍然有極大的影響。歐拉的推理有時被認為是很不嚴謹，因為用起微積分記號來很是隨心所欲，他的許多論證按後來的標準看也都是有缺陷的。特別當這些論證涉及無窮級數和無窮乘積時更是如此。一個典型的例子是他對以下式子的早期的證明：

他的方法是這樣的，利用sinx的已知級數展開式

歐拉考慮左式的零點，其位置在

應用適用於有限代數方程的因式定理（而對此未作任何論證），他把這個式子寫成

現在可以看到，雙方x的係數應該相等。右式的係數是-1/6，而歐拉把左方各個括號都乘開，其中除了一個括號外都取1，這一項則取

這樣歐拉得到

雙方乘以π^2即得所求證明的式子。

我們現在認為這個處理途徑有幾個問題。無窮多個因子的乘積可能表示一個有限值，也可能不表示，今天就會要求確定它何時才表示一個有限值。還有把適用於（有限）多項式的結果用於無窮級數，是需要論證的步驟。歐拉在他的晚年對此結果給出另一個論證。他可能已經知道有反例一說。但是，這樣的事實，對於歐拉卻不是決定性的障礙。這樣的觀點，即在一般能行而可能有少數例外的情況下，仍然進行推理，在歐拉的時代並不少見，直到19世紀末，人們才通過協調的努力做到了這樣的地步 ，即達到了這樣的共識：在宣布分析的結果時，要確切地闡明這個定理成立的條件。

歐拉並沒有細想過如何解釋無窮和以及無窮小。有時，他輕率地就把無窮小當作零，而且從問題的上下文來導出微分之比的意義：

這個聲明見於歐拉1755年寫的Institutiones Calculi Differentialis一書，緊接着他就來討論在比例中有一個比為0/0的問題，這樣來論證在普通的數的計算中微分可以略去。這個聲明很準確地描述了歐拉的實踐的很大一部分——例如他在研究微分方程時就是這樣做的。

然而，確實發生了衝突的事，而關於定義的辯論也不少見。最著名的例子涉及關於所謂振動弦問題的討論。歐拉、達朗貝爾和丹尼爾·伯努利都卷進來了。這些辯論緊密地關乎函數的定義，以及在分析中所研究的函數有哪些可以用級數（特別是三角級數）來表示的問題。一條形狀任意的曲線都可用作振動弦的初始位置，這樣的思想推廣了函數的思想，而傅里葉在19世紀早期的工作又使得這些函數在解析上可以處理。在這樣的背景下，具有折斷的圖像的函數（一類不連續函數）就被納入人們的視線了。後來，當與代數和三角運算相聯繫的"更自然"的對象讓位於更一般的現代的函數概念時，如何對待這類函數，成了分析基礎的決定性的問題。