數學家已經證明：2025年的世界變得更小了（嗯？

分類：科學

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2025-01-10

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根據人們所熟知的六度分離理論，你能夠通過很少的熟人關係聯繫到世界上的任意一個人。通常而言，人們普遍只生活在身邊緊密聯繫的小朋友圈中。本文探討了stephen strogatz和duncan j. watts提出的數學模型，該模型能幫助解釋這個小世界現象。

六度分離理論（six degrees of separation），或凱文·貝肯（kevin bacon）的六度理論，是一個已進入大眾文化的數學概念。這個概念是指地球上任何兩個人有很大概率通過六個熟人建立聯繫。它可以適用於你和英國國王、你和演員凱文·貝肯以及你和數學家保羅·埃爾德什（paul erdős）。

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這一想法源於社會學家斯坦利·米爾格拉姆（stanley milgram）在20世紀60年代進行的一項實驗。提起米爾格拉姆，更被眾人所知的或許是他開展的另一項更為危險的實驗。在這場實驗中，「權威」要求參與實驗的志願者對扮演的測試對象施加「致命的電擊」。米爾格拉姆希望通過這個實驗理解數千名「普通」德國公民為何會在大屠殺期間犯下駭人罪行，而實驗結果相當令人驚訝：相當一部分被試這樣做了。

實驗人員（e）（有時會是米爾格拉姆）命令「老師」（t）電擊「學生」（l），扮演「老師」的參與者被告知這樣做真的會使「學生」遭受痛苦的電擊，但實際上「學生」是實驗的一名助手所扮演的。受試者相信「學生」每次回答錯誤都真的會遭受電擊，但其實並沒有真的施刑。在與受試者隔離以後，助手會提前布置好一台錄音機，而該錄音機則由「老師」的「電擊產生器」所操控，並會根據電擊程度而播出不同預製錄音。圖源：fred the oyster，

相比之下，米爾格拉姆的小世界實驗遠沒有那麼令人不快。這個實驗想研究我們許多人都經歷過的事情：你在遠離故鄉的地方遇到一個人，令你驚訝的是，你發現你們竟然有共同的朋友或熟人。這種尋常經歷引出了小世界問題：能用一條熟人關係鏈把任何兩個人聯繫起來嗎？這樣的關係鏈有多長？

為了研究這個問題，米爾格拉姆隨機選擇了故鄉遠在內布拉斯加州（美國中西部）的居民，並要求他們通過朋友或熟人將一封信傳遞給波士頓（美國東北部）的收件人（米爾格拉姆當時在哈佛大學，就在波士頓的路上）。如果他們不認識收件人，就將信寄給熟人圈中他們認為更接近目標人物的那一位。雖然只有一小部分信件能夠到達目的地，但在到達的信件中，平均經過的熟人數量為6——六度分離理論由此誕生。這個結果非常令人意外，以至於它啟發了一部百老匯戲劇（創造了「六度分離理論」一詞）、一部電影、一部電視節目，甚至一個慈善社交網絡。

小世界性

今天，我們比以往任何時候都更加意識到，生活是在網絡上進行並通過網絡傳播的：不僅有社交網絡，還有基礎設施網絡，如電網、水網和交通網絡、計算機的物理網絡和構成互聯網的虛擬網絡，乃至於大腦神經元和細胞內代謝過程的生物網絡。所有這些網絡都是節點的集合——人、發電站、計算機或神經元——通過鏈接連接起來——友誼、電線、wifi、互聯網電纜以及神經連接。並且，以上所有網絡似乎都表現出相似的結構。一方面，節點之間的平均距離（也就是一個節點到另一個節點需要經過的節點數）往往很小；另一方面，網絡中也都有很多局部團簇：如果兩個節點相互連接，它們各自連接到的節點往往也會彼此連接起來。這兩個特徵定義了數學家所說的小世界網絡。

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為什麼類似的小世界網絡如此普遍存在於世界上？在社交網絡中，自然會形成很多當地群體——朋友的朋友常常會成為朋友。同時，熟人也可以在機場或度假時偶然結識，這會將距離較遠的兩個群體鬆散的聯繫起來。這種直覺可以在20世紀90年代末數學家史蒂文·斯特羅加茨（steven strogatz）和鄧肯·j·瓦茨（duncan j. watts. watts）開發的一個模型中描述出來。瓦茨的靈感來自他自己的經歷，他來自澳大利亞，後前往美國康奈爾大學求學，在斯特羅加茨的指導下攻讀博士學位。他跨越半個地球的行為將兩個原本相距遙遠的群體聯繫在一起，即他在澳大利亞的朋友和康奈爾的朋友。

在嘗試建立小世界網絡模型的過程中，瓦茨和斯特羅加茨做了數學家最常做的事情。他們從能找到的最簡單的模型開始：一個由朋友關係構成的網絡，其中的每個人只與指定數量的最近幾個鄰居是朋友。這樣的網絡是高度聚集的，但對於一個足夠大的網絡來說，隨機一個節點對之間的平均距離卻非常長。

隨後，瓦特和斯特羅加茨開始修改這個鄰居網絡的連接方式。他們隨機選擇一部分鏈接進行重新定向，方式是保持鏈接的一端固定，而另一端則連接到網絡中隨機選擇的節點。由於網絡中的大部分節點都不在任何一個最終連接到的節點的附近，因此重新建立的鏈接很可能會連接起兩個原本距離較遠的團體，從而大大縮短它們之間的距離。事實證明，只需一點點隨機性的重連就足以縮短節點之間的平均距離，並且不會破壞已有的局部團簇：在原本平均距離很遠的熟人網絡之間增加少量幾條「捷徑」，就足以使他們的關係網絡成為小世界。

watts和strogatz重新連接出了一個非常有序的網絡，其中的節點只與最近的若干鄰居是朋友。其他鏈接則被重新定向到圖中的隨機節點，只需進行幾次這樣的重新連接即可創建一個小世界。

在這種小世界網絡模型中，從一個節點到另一個節點的平均距離取決於網絡中的節點數目和給定節點所連接的鄰居節點數。如果在重新連接時將隨機性發揮到極致，我們會得到一個完全隨機的網絡：每個節點隨機連接到個其他節點，兩個節點之間的平均距離與成正比，其中是節點總數。但strogatz和watts發現，並不需要在在初始「大世界」網絡中隨機重連太多次，就可以讓節點對之間的平均距離迅速下降到接近這個極限值。

具體情景中的分離度

結合具體場景，當前世界人口約為80億。如果去掉15%社交模式不典型的人（因為他們是嬰兒、太過年長或在其他方面不符合普羅大眾），則剩下6,800,000,000人。假設每個人平均有35個熟人（這是一個沒有證據支撐的猜測），我們可以估算出世界上任意兩個人在熟人關係定義下的平均距離為：

在用超級簡單的數學成功解釋小世界現象的幾年後，瓦茨將他的數學知識帶到了哥倫比亞大學社會學系，並在那成為了一名教授。2001年，瓦茨和他的同事開展了現代版本的米爾格拉姆實驗，這次使用的是互聯網而不是慢吞吞的郵政系統。他們招募了來自166個不同國家的60,000多人，並安排了18位目標收件人，其中包括在美國的一名大學教授、在印度的一名技術顧問和在澳大利亞的一名警察。

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與以前一樣，參與者被要求將電子郵件（代替紙質信件）傳遞給他們認為更接近目標收件人的朋友或熟人。考慮到未完成實驗的比例，該實驗再次發現，到達收件人所需的電子郵件數目平均為6。有趣的是，或許是因為線上社交平台讓人們更容易彼此之間產生聯繫，對線上社交網絡的研究得出了略有不同的數字，例如x約為3.4，facebook約為4.5——看來互聯網確實讓世界變得更小了。

作者：marianne freiberger & rachel thomas

翻譯：virens

編輯：7號機

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