微分幾何是現代數學和物理學的一個重要分支，它研究具有曲率和彎曲性質的幾何結構。黎曼度規和里奇張量是微分幾何中的兩個基本概念，它們為描述和分析曲面和流形上的幾何性質提供了基礎工具。
把一個桔子切成兩半，挖掉桔肉，再試着把剩下的半球形桔皮展平，那就會撕破桔皮。如果想把一個馬鞍或者一片泡軟的薯片展平，這一次就會遇到相反的問題。曲面的一部分"多出來"了，展平的時候就會摺疊起來了，然而，如果有一卷牆紙、而想把它也展平，這一次就沒有困難了（只需要把紙卷散開就行了）。球面這樣的曲面，我們說是正向彎曲的，馬鞍形的曲面是負向彎曲的，而一片牆紙則說是平坦的。
有許多方法把上面所說的曲率的概念弄精確，而且使之量化，這樣，曲面的每一點都有一個數來表示曲面在此點是"如何地彎曲"。為了做這件事情，曲面需要有一個黎曼度量來定義路徑的長度。
黎曼度量
黎曼度量（Riemannian metric）是微分幾何中的一個基本概念，它為切空間上的向量賦予長度和角度的概念，從而使得在流形（manifold）這樣的幾何結構上可以進行距離和角度的度量。
直觀上，流形可以被視為在每個點附近看起來像歐幾里得空間的空間。換句話說，儘管流形在大尺度上可能具有複雜的形狀，但在局部範圍內，我們可以用歐幾里得空間來近似描述它。這種局部與歐幾里得空間相似的性質使得流形成為研究各種幾何和拓撲問題的理想對象。
流形可以具有不同的維度。例如，一維流形可以是曲線，二維流形可以是曲面，而更高維度的流形可以表示更複雜的空間結構。根據流形的光滑性質，可以將流形分為不同類型，如可微流形（有連續導數的流形）、光滑流形（有無限次連續導數的流形）等。
切空間（Tangent space）用於描述流形上某一點附近的局部線性近似。簡單來說，切空間可以看作是在流形上某一點切着該流形的線性空間，它為我們提供了研究流形上的局部特性的數學工具。
給定一個n維可微流形 M 和其上的一個點 p，切空間 T_pM 是一個 n 維向量空間，包含了所有從 p 出發的切向量。這些切向量是從 p 出發的可微曲線在該點的導數，它們描述了流形在 p 附近的局部線性結構。通過切空間，我們可以研究流形上函數的導數、積分等數學操作。
在歐幾里得空間中，切空間可以用平面或高維平面的概念來直觀理解。例如，在二維曲面上的某一點，切空間就是剛好切到該點的平面；而在三維曲面上的某一點，切空間則是剛好切到該點的二維平面。
給定一個n維可微流形 M，黎曼度量是一個將切空間中的兩個向量映射到實數的雙線性對稱正定函數。更具體地說，黎曼度量 g 是一個將 M 上每一點 p 的切空間 T_pM 中的兩個向量 u 和 v 映射到實數的函數，滿足以下性質：
- 雙線性（Bilinearity）：g(au + bv, w) = a g(u, w) + b g(v, w)，其中 a 和 b 是標量，u、v 和 w 是切空間中的向量。
- 對稱性（Symmetry）：g(u, v) = g(v, u)，對於切空間中的所有向量 u 和 v。
- 正定性（Positive-definiteness）：g(u, u) > 0，對於切空間中的所有非零向量 u。
有了黎曼度量，我們可以在流形上定義長度、角度和體積等概念，從而將幾何分析的方法應用於微分幾何中。此外，黎曼度量還在愛因斯坦的廣義相對論中扮演關鍵角色，其中引力作用被解釋為由於存在質量而產生的時空曲率。
里奇張量
曲率這個概念也可以推廣到高維情況，這樣，我們就可以談論一個d維黎曼流形的某一點處的曲率。然而，當維數高於2時，流形在一點處彎曲的方式比較複雜，它不是用一個數來表示，而是用里奇張量來表示的。
里奇張量（Ricci tensor）是一個描述黎曼流形局部曲率性質的二階對稱張量。它是黎曼曲率張量的一個收縮，捕獲了曲率在各個方向的平均值。
給定一個n維黎曼流形 (M, g)，其中g是度量張量。黎曼曲率張量R是一個四階張量，可以表示為 R^i_jkl。里奇張量 R_ij 是從黎曼曲率張量 R^i_jkl 獲得的二階張量，通過對第一個和最後一個指標求和並消去：
R_ij = R^k_ikj
里奇張量是對稱的，即 R_ij = R_ji。它描述了流形上不同方向的平均曲率，因此反映了流形的局部幾何特徵。在特殊情況下，如果流形上的里奇張量在所有點都為零，則稱流形為「里奇平坦」。
