測繪學報 | 潘娟霞：GOCE引力梯度內部校準方法

本文內容來源於《測繪學報》2022年第2期（審圖號GS（2022）540號）

GOCE引力梯度內部校準方法

潘娟霞¹ ,鄒賢才^1,2

1. 武漢大學測繪學院, 湖北 武漢 430079;2. 武漢大學地球空間環境與大地測量教育部重點實驗室, 湖北 武漢 430079

基金項目：國家自然科學基金（41874021；42192532；41721003）；民用航天「十三五」技術預先研究項目

摘要：GOCE衛星引力梯度儀的精確校準是反演高精度重力場的前提之一，本文利用GOCE衛星L1b數據中的引力梯度儀及恆星敏感器數據實現了衛星引力梯度的內部校準。以最小二乘聯合多個恆星敏感器觀測數據確定內部校準使用的角速度，有效避免了單個恆星敏感器低精度角速度分量對坐標轉換過程的影響。考慮到恆星敏感器坐標系與梯度儀坐標系間旋轉矩陣隨時間的變化，本文在ESA官方內部校準方法的基礎上，提出了顧及旋轉矩陣校準參數的內部校準模型，並利用2009年11月的GOCE實測數據驗證了該方法的效果。結果表明，該旋轉矩陣校準參數數值約100″，且在該月存在3″~30″的漂移；與GOCE官方內部校準方法對比，從衛星引力梯度精度結果來看，在低於0.005 Hz頻段內，同時解算旋轉矩陣的校準參數與梯度儀內3個加速度計對的校準參數的內部校準模型優於僅考慮加速度計對校準參數的模型；除此之外，本文討論了以該模型為基礎的GOCE梯度儀數據校準的可能方法，為GOCE及後續重力衛星的數據處理工作提供參考。

關鍵詞：GOCE 引力梯度 加速度計 內部校準 姿態重建

引文格式：潘娟霞, 鄒賢才. GOCE引力梯度內部校準方法[J]. 測繪學報，2022，51(2)：192-200. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20210067

PAN Juanxia, ZOU Xiancai. Internal calibration method of GOCE gravity gradients[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica, 2022, 51(2): 192-200. DOI: 10.11947/j.AGCS.2022.20210067

閱讀全文：http://xb.sinomaps.com/article/2022/1001-1595/2022-2-192.htm

引 言

重力測量衛星GOCE(gravity field and steady-state ocean circulation explorer)是由歐空局(European Space Agency，ESA)研製和發射的低軌重力探測衛星，其科學目標是在100 km的空間分辨率內(即恢復200階次以上的全球重力場模型)以2 CM的精度測定全球大地水準面及10^-5m/s²的精度測定重力異常。相比CHAMP(challenging minisatellite payload)和GRACE(gravity recovery and climate experiment)衛星，GOCE關鍵載荷是一台高精度的引力梯度儀，由6個加速度計對稱安置在3個正交軸上，3對加速度計基線長約50 cm，衛星質心與梯度儀質心重合，從而利用加速度計差分觀測值直接測定引力位的二階梯度張量，並以加速度計共模觀測值獲得作用於衛星的非保守力^[1]。GOCE還有精確的高低衛星跟蹤數據及無阻尼控制，聯合引力梯度數據及高低衛星跟蹤數據解算重力場是其獨特優勢。

GOCE引力梯度儀受到測量誤差、外界觀測條件等因素影響，導致觀測值出現系統偏差、比例誤差及有色噪聲等，因此，反演重力場前針對GOCE觀測數據的校準至關重要。安裝結構不同導致GRACE衛星的加速度計校準方式不再適用於GOCE。國內外諸多學者針對GOCE數據的使用及校準做了大量研究，通常根據是否引入參考重力場模型等外部輔助數據將GOCE的校準分為內部校準及外部校準，校準模型通常包括比例因子、偏差因子。文獻[2-3]提出用恆星敏感器測量數據及先驗重力場估計比例因子，該模型還校準了梯度儀坐標系(gradiometer reference frame，GRF)與恆星敏感器坐標系(star sensor reference frame，SSRF)間未配準的問題。文獻[4]提出了將恆星敏感器聯合梯度儀測量數據重建的衛星角速度用於校準模型中。文獻[5-6]提出類似方法用恆星敏感器數據及加速度計測量值進行內部校準，並針對觀測值時間相關性提出解決方案，該方法即為ESA官方採用方法。文獻[7-8]根據精密軌道確定比例因子與偏差因子，利用恆星敏感器數據對校準後的引力梯度數據進行驗證。文獻[9-10]發現在校準模型中加入二次因子可以減弱地磁極周圍強風的影響，於2018年引入外部重力場模型對GOCE數據重新處理。國內諸多研究包括對GOCE衛星數據的預處理研究、梯度數據確定地球重力場的理論方法研究^[11-13]及基於加速度計數據的校準方法研究，文獻[14-16]提出聯合幾何法精密軌道以動力法完成單加速度計校準及衛星非保守力確定，同時解算重力場模型和校準參數，從而降低參考重力場模型誤差對校準結果的影響，並討論了衛星無阻尼控制的補償效果。文獻[17]利用外部重力場及恆星敏感器數據初步驗證對一定頻段內校準的有效性。文獻[18]討論利用不同外部重力場模型校準及相同重力場模型不同階次對校準結果的影響。

目前，國內針對GOCE數據的處理及使用以ESA內部校準後的數據為主，本文以ESA官方發佈的方法為基礎，實現GOCE數據的內部校準，主要目的是為完善GOCE梯度儀觀測數據的校準處理，並為討論內部校準、外部校準方法及動力法校準的聯合、比較做初步準備。ESA發佈的內部校準方法將誤差因素模型化為3個加速度計對的逆校準矩陣，並將該矩陣作用於加速度計實現校準，本文在此基礎上提出了顧及SSRF與GRF間的旋轉矩陣的校準參數的改進模型，討論這一變化對衛星引力梯度精度帶來的改變。涉及的數據包括衛星搭載的梯度儀及恆星敏感器測量數據，利用加速度計共模觀測值及差分觀測值與恆星敏感器的姿態數據，根據衛星引力梯度測量原理建立校準模型，以獲取校準後梯度儀坐標系下的引力梯度。除此以外，恢復重力場還涉及梯度儀坐標系與慣性系的高精度轉換，因此本文提出了關於衛星姿態重建的討論。

1 理論與方法

1.1 內部校準

GOCE衛星上搭載了幾類重要載荷，本文重點關注用於確定中短波重力場的靜電引力梯度儀(electrostatic gravity gradiometer，EGG)，以及提供衛星姿態的3個恆星敏感器。GOCE是第一顆採用無阻尼控制技術的衛星，沿軌方向大氣阻力得到持續補償。衛星實際運行過程中，存在諸多誤差因素，為此GOCE設計了每兩個月執行一次特定的持續1 d的振動，用於衛星的校準，該振動期間的數據稱為shaking數據，其他時段稱為nominal數據。圖 1為梯度儀坐標系中3對加速度計安置結構，實線代表超敏感軸，虛線代表非敏感軸^[6]。

圖 1 梯度儀坐標系中3對加速度計安置結構 Fig. 1 Arrangement of the three pairs of accelerometers in the GRF

圖選項

1.1.1 共模加速度與差分加速度

圖 2是梯度儀中3對加速度計的特殊結構，根據衛星引力梯度測量原理，第i個加速度計測得的加速度值為

(1)

圖 2 單個加速度計的誤差來源 Fig. 2 Error sources of a single accelerometer

圖選項

式中，i為加速度計編號；V是引力梯度；Ω與 ri是衛星質心到第i個加速度計質心的向量；Ω²ri是衛星圍繞其質心旋轉產生的離心加速度； d是衛星質心的線加速度，上述變量具體定義見文獻[6]。

梯度儀兩類觀測模式為差分模式加速度(differential mode acceleration，DM)與共模加速度(common mode acceleration，CM)^[6]

(2)

(3)

由於GRF原點與衛星質心相差約幾厘米，並且數值上

比d約低3個量級，則根據式(1)，結合共模加速度的定義，有

(4)

(5)

式(5)表達為矩陣形式

(6)

式中，Ad=(ad, 14,ad, 25,ad, 36)，而矩陣L^[6]

(7)

式中，Lx、Ly、Lz分別表示梯度儀在x、y、z3個方向上的臂長，本文使用ESA官方值^[6]，Lx=0.514 0135 m，Ly=0.499 890 0 m，Lz=0.500 201 0 m。由V與Ω²的對稱性及

(8)

(9)

式(8)給出了衛星相對質心的角加速度

與差分加速度的關係，式(9)表明由差分加速度、基線長及角速度可導出衛星引力梯度張量，最終用於恢復重力場。

1.1.2 校準模型

衛星實際運行過程中，通常考慮以下誤差因素：①加速度計質心偏離標稱位置；②加速度計各坐標軸未嚴格與梯度儀相應坐標軸對齊；③加速度計3軸不完全正交；④由於數據輸出增益的不確定性，產生的加速度計比例因子^[10]。將誤差參數化為比例因子、偏差因子及二次項，其中二次項以物理振動的方式予以消除^[19]，因此內部校準矩陣應包括比例因子與偏差因子。圖 3表示除非線性二次項以外的加速度計誤差因素，每個加速度計包括6個角度校準參數、3個比例因子，6個加速度計共需要確定54個校準參數，定義校準矩陣^[6]

(10)

圖 3 0.05~0.1 Hz內離心加速度、差分加速度、引力梯度PSD^1/2比較 Fig. 3 Comparison of PSD^1/2of centrifugal acceleration, differential acceleration and gravity gradients in the 0.05~0.1 Hz

圖選項

式中, i個加速度計測量值；ai為對應真實值；參數s是各個方向上的比例因子；α、β、γ分別為切向因子；δ、ε、ζ分別是微小的切向角度和微小旋轉角度，圖 2中用K表徵比例因子，用θ表徵切向因子及角度的綜合影響，針對共模、差分加速度有

(11)

式中，Mij是校準矩陣，定義逆校準矩陣Mij^-1[6](inverse calibration matrices, ICM)

(12)

式(12)給出了測量值、真實值及逆校準矩陣間的關係。

式(4)表示由3對加速度計觀測值給出的共模加速度CM即是衛星在3個方向所受到的非保守力，有以下6個獨立條件

(13)

將恆星敏感器角速度微分後可得到角加速度

，結合式(8)梯度儀導出的角加速度有

(14)

類似地，聯合恆星敏感器角速度ΩS，式(9)可變換為

(15)

nominal時段0.05~0.1 Hz頻段內引力梯度V及離心加速度項ΩS²遠小於差分加速度觀測值信號Ad，具體見圖 3，採用0.05~0.1 Hz的帶通濾波器對式(15)進行濾波，則

(16)

根據式(13)、式(14)與式(16)，以ESA官方發佈的衛星nominal時段的梯度儀測量數據EGG_NOM_L1b及恆星敏感器數據STR_VC2_1b與STR_VC3_1b作為輸入數據以實現內部校準。

建立以上模型時，做了以下假定：①ESA給定的引力梯度儀基線長Lx、Ly、Lz是準確且為固定常數；②ESA給定的SSRF與GRF間的相對關係是準確且為常數矩陣；本文探索考慮這兩個假定是否準確以及其對引力梯度精度的影響，在基礎模型上加上新的參數重新建立模型。用微小旋轉角rx、ry、rz描述恆星敏感器與梯度儀坐標系間旋轉矩陣隨時間的變化對角加速度的綜合影響，用GRF′表示標稱梯度儀坐標系，GRF表示存在偏差的坐標系，兩坐標系中角加速度的關係表達為

(17)

(18)

式(17)中，I表示單位陣；

為GRF中的角加速度；

表示經過ΔR校準後GRF′中的角加速度，將式(14)作相應改變

(19)

寫成分量形式為

(20)

由於式(17)在0.05~0.1 Hz頻段內作了近似處理，且分母上省略了基線長Lx、Ly、Lz，導致基線長的估計少了完整約束，因此本文暫不討論基線長隨時間的變化，仍然認為其數值為常數。本文在ESA方法的基礎上，利用式(13)、式(20)及式(16)完成內部校準。

1.1.3 協方差矩陣處理

本文採用2 d的數據估計一組校準參數，根據GOCE採樣率及有色噪聲的特點，難以實現矩陣的存儲與求逆運算，參考文獻[6, 10]，利用對稱的滑動平均去相關濾波，實現去相關處理的同時實現相應頻段濾波，避免大型矩陣的求逆，式(21)為去相關濾波表達式

(21)

式中，eni為原始含有色噪聲的誤差序列；n則表示該序列中的第n個元素；i表示1.1.2節中第i個校準條件；M為濾波器的階數；fmi為濾波器係數；eni是通過濾波器作用後僅含白噪聲的序列。本文選擇濾波器階數與軌道周期數值一致，關於濾波器係數的計算有興趣的讀者可參閱文獻[6, 10]。

1.2 恆星敏感器的聯合

GOCE衛星上搭載的3個恆星敏感器STR1、STR2及STR3，提供了衛星的姿態信息。敏感器的一個特性是繞視軸即z軸方向的角速度ωz^SSRF精度低於繞x、y軸角速度ωx^SSRF、ωy^SSRF的精度，坐標轉換過程中ωz^SSRF的誤差將傳播至ωx^GRF、ωy^GRF與ωz^GRF中。根據星敏感器與梯度儀的相對關係(圖 4)，本文利用最小二乘平差將有效星敏感器的姿態四元數聯合^{[6, 10]}，確保後續校準結果更可靠，且角速度精度更高。

圖 4 梯度儀坐標系與3個星敏感器坐標系的相對關係^[6]Fig. 4 Relative orientation of the GRF and the SSRFs

圖選項

1.3 角速度與姿態重建

角速度與姿態四元數的精度直接影響到引力梯度與地球重力場反演精度，對角速度及姿態的重建是必要的。恆星敏感器觀測的四元數變換到角速度需經過數值微分的過程，導致高頻段噪聲被放大，加速度計觀測值經積分導出的角速度及四元數則放大了低頻噪聲。文獻[19]採用卡爾曼濾波實現角速度與姿態重建。文獻[20]利用恆星敏感器角速度與梯度儀角速度建立頻域內的權重模型，以維納濾波重建角速度與姿態。文獻[10]提出採用最小二乘擬合以重建姿態。卡爾曼濾波與最小二乘擬合均在時域內展開而未使用頻域特點，且卡爾曼濾波的瞬態效應嚴重造成數據利用率不高，本文參考^[20]利用維納濾波在頻域內聯合兩類數據的優點實現角速度及姿態重建。

維納濾波的原理是根據兩類觀測值精度實現頻域內的加權平均，頻域內某頻率的功率譜密度值(power spectral density, PSD)代表該處的精度

(22)

式中，H^STR(f)與H^GRAD(f)分別代表敏感器與梯度儀的權重；P^STR(f)、P^GRAD(f)分別表示頻域內兩類角速度的平方根功率譜密度，模型參考文獻[20]。圖 5為兩類角速度噪聲PSD^1/2，其中，G代表梯度儀，S代表恆星敏感器。

圖 5 兩類角速度噪聲PSD^1/2Fig. 5 PSD^1/2of two types of noise

圖選項

角速度最終通過頻域內乘積與傅里葉正反變換計算得到

(23)

式中，n表示x軸、y軸和z軸。對重建後的角速度作積分處理可得到四元數qt^GRAD，同樣考慮到數值積分導致低頻噪聲的放大，式(24)採用與角速度重建過程一致的維納濾波聯合恆星敏感器觀測的四元數qt^STR以重建姿態^[20]，減小噪聲的影響

(24)

式中，t代表觀測時刻。

2 數據分析

選擇2009年11月每連續2 d的nominal實測數據為一組，共15組數據進行上述校準及重建過程，得到逆校準矩陣Mij^-1與旋轉矩陣校準參數ΔR，將校準模型分為兩類對數據處理結果進行討論，第1類與ESA內部校準方法一致僅考慮Mij^-1；第2類增加ΔR參數。本文結果分析時，除了利用引力梯度張量梯度滿足的拉普拉斯方程進行檢驗，還選用與GOCE不相關的重力場模型EIGEN-5C為參考場，該模型解算主要採用的數據有衛星測高數據、地面重力數據、GRACE和Lageos衛星數據，利用該參考模型計算引力梯度參考值，並分析實測引力梯度數據校準後與參考值差值的功率譜，分析校準參數對梯度結果的影響。

圖 6給出了部分Mij^-1序列，C₁₄²¹表示式(12)中14加速度計對C₁₄第2行第1個參數，與理想情況相較(比例因子、偏差因子分別為1、0)，結果顯示矩陣Cij,Dij(ij=14, 25, 36)非對角線差值數量級為10^－5~10^－4，對角線差值數量級為9×10^－4~2.7×10^－2，考慮到一個月內校準參數存在最大約2×10^－5的線性趨勢，將參數線性擬合後再進行校準，表 1是擬合得到的一組比例因子的數值。圖 7為本文第1類方法校準後引力梯度張量跡的功率譜密度與ESA的校準結果，吻合良好。圖 8為恆星敏感器聯合前後引力梯度張量跡的PSD^1/2。

圖 6 部分Mij^-1參數序列 Fig. 6 Part parameters series ofMij^-1

圖選項

表 1 加速度計對比例因子 Tab. 1 Scale factors of accelerometer pairs

表選項

圖 7 校準後引力梯度張量跡的PSD^1/2Fig. 7 PSD^1/2of calibrated gravity gradient trace

圖選項

圖 8 恆星敏感器聯合前後引力梯度張量跡的PSD^1/2Fig. 8 PSD^1/2of calibrated gravity gradient trace before and after combination of star sensors

圖選項

圖 8與圖 9給出恆星敏感器聯合前後引力梯度張量跡的平方根功率譜密度及各分量與參考分量差值平方根功率譜，表明聯合多個恆星敏感器可提升低於0.005 Hz頻段內引力梯度的精度，梯度張量跡的平方根功率譜最大改進值1.8×10⁵mE/

，各分量最大改進值範圍是3.8×10³~1.2×10⁵mE/

。圖 10中Vxx分量在約0.02~0.03 Hz處存在一個明顯尖點，其他分量在相應頻率處也存在該現象，通過分析引力梯度觀測值與不同類型、不同階次重力場模型的參考值差值的功率譜發現，只有採用GOCE重力場模型做參考場時，該尖點才會消失，採用非GOCE重力場模型時都存在尖點。因此推測尖點的出現可能反映了GOCE梯度數據的貢獻，當對應頻段上的信號不包含GOCE梯度數據時，重力場模型對應階次的球諧係數誤差較大。該現象值得進一步深入研究。

圖 9 恆星敏感器聯合前後對應引力梯度分量與模型參考值差值的PSD^1/2Fig. 9 PSD^1/2of differences of gravity gradients to EIGEN-5C model before and after combination of star sensors

圖選項

圖 10 參數ΔR序列 Fig. 10 Time series of ΔR

圖選項

在第1類ESA模型基礎上，本文增加了SSRF與GRF之間旋轉矩陣隨時間變化的參數ΔR，這一變化將對角速度及姿態重建過程產生影響，引力梯度分量也將產生相應改變。這裡給出新增參數ΔR的數據序列及線性擬合序列，圖 10中存在幾個明顯異常值，分析相應時間段內3個恆星敏感器工作狀態，統計發現在異常值存在的時段內，僅有單個恆星敏感器數據可用的時刻數遠大於其他時段相應值，這也體現了聯合多個恆星敏感器的優勢和必要性。rx、ry、rz數值絕對值在100″左右且該月數值呈現約3~30″的線性趨勢，因而建立校準模型時該校準參數不應被忽略。

將ΔR作用到恆星敏感器角速度及四元數，再重建角速度與姿態以定量分析新增校準參數對引力梯度精度的影響。圖 11給出了加入參數ΔR前後引力梯度分量與參考模型引力梯度差值的平方根功率譜分析，表 2為低於0.005 Hz頻率的兩類校準模型對應引力梯度分量與模型參考值差值的平方根功率譜統計結果，其中「方法1」表示與ESA模型一致，「方法2」代表新增ΔR的結果，4個引力梯度分量Vxx、Vxz、Vyy、Vzz對應的差值平方根功率譜均顯示增加新的參數後引力梯度分量的精度有一定提升，其中分量Vxz精度提升最大，這是由於「方法2」中新增的參數改變了衛星的姿態，相對其他分量而言，Vxz分量對姿態的變化更敏感，從而其精度提升最大。由於新增參數主要影響到姿態四元數，而梯度張量跡不會隨四元數改變^[21-27]，這裡未提供相應對比圖。

圖 11 兩類校準模型對應引力梯度分量與模型參考值差值的PSD^1/2Fig. 11 PSD^1/2of differences of gravity gradients to EIGEN-5C model for the two calibration models

圖選項

表 2 兩類引力梯度分量與模型參考值差值的PSD^1/2統計 Tab. 2 PSD^1/2statistics of differences of gravity gradients to EIGEN-5C model for the two calibration models

表選項

3 結論與展望

本文從GOCE衛星引力梯度測量原理着手，利用L1b數據中nominal時段的引力梯度儀觀測數據及恆星敏感器姿態數據對加速度計測量值做內部校準，以最小二乘聯合多個恆星敏感器觀測值以避免SSRF及GRF間轉換導致的誤差傳播；為得到慣性坐標系下更為精確的引力梯度張量以恢復重力場，採用維納濾波重建了衛星角速度及姿態四元數。在ESA校準方法的基礎上，提出顧及SSRF與GRF間旋轉矩陣校準參數的內部校準模型，結果表明該組校準參數的數值絕對值在100″左右，且在該月呈現約3~30″的線性趨勢，同時解算逆校準矩陣及SSRF與GRF間旋轉矩陣校準參數的內部校準模型可改進低於0.005 Hz頻段內引力梯度各分量的精度，對於梯度分量Vxz改進最大，證實了這一校準參數存在的必要性，對GOCE自身數據處理及後續重力衛星數據處理帶來一定的參考價值。

最後在本文的基礎上提出關於GOCE數據處理可能的改進方向：①由於無外部數據的約束，內部校準方法不能避免GOCE自身系統偏差造成的影響，因此考慮比較外部校準方法及動力法以聯合各方法的優勢，可推動梯度數據處理問題的討論；②關於基線長Lx、Ly、Lz及ΔR的確定及二次項K2的補償，考慮引入先驗重力場並聯合恆星敏感器數據解算；③在對協方差矩陣進行對稱滑動平均去相關濾波過程中，本文統一選擇濾波器階數等於軌道周期長度，但實際解算時該長度估計的功率譜並不是最優，針對去相關過程中功率譜分辨率及精度的折中選擇值得深入討論。

作者簡介

第一作者簡介：潘娟霞(1996-), 女, 碩士, 研究方向為衛星重力測量。E-mail: jxpan_sgg@whu.edu.cn

通信作者：鄒賢才, E-mail: xczou@whu.edu.cn

初審：張艷玲

複審：宋啟凡

終審：金 君

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