培養孩子「數感」美國小學數學課，實際上比訓練運算速度有用多了

去年我修了兩門課，都是教老師如何教k-8（幼兒園至8年級）的數學課。教這門課的老師都是台灣老師，在美國中小學教過多年數學，有着很豐富的經驗，所以跟我們介紹了很多美式數學的教法，讓人腦洞大開……

美國教育最大的一個特點就是，老師必須掰開揉碎，一步一步地教，這一點跟美國人的思維方式是一樣的。所以你們看美國的教材，從幼兒園到大學，全部一步一步寫得特別清楚。

很多人在國內學高數覺得很難，到了美國看原版教材反而覺得更簡單，就是因為美國編教材的人把讀者都想像成傻子，所以解釋得特別詳細的原因，而且還輔助大量生動的案例、插圖，等等。

美國數學教材的難度其實和國內差不太多，我個人認為，但是差別在於練習和考試的難度。印象中我小時候教材、書後練習、市質量檢測和考試的難度是這樣的：

美國中小學考試是這樣的：

基本就是學什麼考什麼，因為考試是assessment的一種，目的就是測試學生是否掌握知識，而不是說看誰有超前學習，誰額外學得多什麼的。

好了吐槽完畢，今天我們就來聊聊數感（Number Sense）的問題。

數感，簡而言之就是對數字的一種感覺。

「[They] can think and reason flexibly with numbers, use numbers to solve problems, spot unreasonable answers, understand how numbers can be taken apart and put together in different ways, see connections among operations, figure mentally, and make reasonable estimates.」

-About Teaching Mathematics, Marilyn Burns

美國對於低年級學生的其中一個訓練就是數數。你可能問數數有嘛好數的，但是這就是培養對於數字的一種感覺。比如說給你幾個點點，讓你數數一共有幾個。

來來來，數一數下圖一共有幾個圓圈

6-7個以下我們都能數出來，但是再多，就很難數了。所以美國小學數學有一種練習，就是看圖數點點，然後告訴老師你是用什麼方法數的。

除了數點點，我們還可以花樣數數。

我們小時候都數過。來，大家一起數偶數，2，4，6，8，10……大家5個5個數，5，10，15，20，……但是這樣一班人坐在屋裡一起數很無聊啊，於是就有老師發明了一個遊戲bizz buzz。聽上去很弱智，但是小朋友們很喜歡啊！

比如5個5個數，小朋友排排站，挨個數數，但是不是說數字，而是說bizz和buzz。第1-4個小盆友 說bizz，第5個要說buzz，然後6-9說bizz，10說buzz，以此類推。誰說錯了可以待會唱個歌什麼的。

對於小朋友，不能把規則說了就開始玩，他們會困惑。

首先要解釋規則，演示一遍(demostration)；

然後要帶着他們一起做(guided practice)；

最後再讓他們自己做(individual practice)。

群里也有老師管這個叫做to-with-by，怎麼叫都行，反正就是這個順序。

除了這個bizz buzz的遊戲以外，還有一個遊戲叫做mingle and count。具體玩法就是老師一直在說mingle，然後學生四處走動，然後老師忽然說一個數字，比如5，然後5個學生就要抱在一起，然後大家一起數：5，10，15……剩下的沒有組的可能學個鴨子叫什麼的，下次找好組。

老師還說了一些規則，這些規則要在小朋友們玩之前重複，比如不要拒絕不喜歡的人一組，不要推打這類的規則，否則屋裡就會亂成一團……

第二種訓練數感的方法就是湊成10（Make 10）

老師會在白板上放上這個Make 10 Chart，用來輔助學生進行運算。比如老師問7+3=？然後會在第一排放上5個紅色圓形，下面放上2個紅色圓形和3個黃色圓形，然後學生就很清楚地看到是10，因為老師教過一行是5個，兩行是10個。

隨着年齡的增長，會逐漸增大數值，20以內的運算就可以用兩個Make 10 Chart。比如12+5=？然後第一個chart放12個紅色圓形，第二個放5個黃色圓形，然後學生要把第二個chart里的3個黃色圓形放到第一個chart里，湊成10，然後第二個chart里剩下2個，就能得出12+5=10+7=17，就比較明顯。

不要小瞧這些看似很簡單或者很沒用的東西，這就是在逐漸培養學生number sense的過程。其實他們教育的初衷還是希望能夠讓學生多維度地去思考和解決問題，而不是看誰算得快。

我個人的看法是：學還是要這樣學的，但是不能都小學畢業了還這樣算，那時候還是需要很快地心算出來，而不是還在那畫圖來解決20以內的加減法。

為什麼要做這樣的練習？

眾所周知，中文和英文有很大的差異，其中最大的一個差異就是關於數字的數法。中文是一……十、十一、十二、十三……二十。英文是one, two,…ten, eleven, twelve, thirteen, fourteen, …nineteen, twenty.不知道大家有沒有發現什麼規律。

中文數字的數法是十進制的，也就是到了十以後，十加一等於十一，兩個十就是二十，這些東西因為都是母語，所以我們早就習以為常。除了中文以外，日語的數法也是跟中文一樣的，十進制的。但是英文不一樣，英文的eleven和twelve和ten一點關係也沒有！

你完全看不出來eleven哪裡能體現是ten+one，只有thirteen到nineteen都有個teen，才讓人有種感覺，這些數字在10-20之間，但是很遺憾，11和12不在這個範圍內。

這樣會導致一個什麼問題呢？講英文的孩子number sense可能不如中國孩子好。語言和思維方式其實是互相影響的，有很多潛移默化的問題我們都沒有注意到。我們習慣了十進制的算法，所以不能理解為什麼講英文的人number sense不好。我舉個例子吧，相信大家對於二進制或者十六進制沒有十進制熟悉，下面大家試試看這個二進制運算。

這是二進制的法則：00＋00＝00，00＋01＝01，01＋00＝01，01＋01＝10

來來來，算算這個二進制是十進制的多少：100101

答案是37。你算對了么？

題目來自維基百科。

所以，不熟悉十進制的人學起來數學的難度就跟我們算二進制一樣。

關於二進制，我們可能暫時理解了，但是算的時候還是會總出錯。這就是為什麼美國老師這麼強調十進制的原因——因為他們的語言習慣和我們不一樣。所以有一些老師會在數學課上教小盆友用數學語言數數，比如eleven說成ten-one，twenty數成two ten等等，便於他們理解十進制。

今天介紹了數感的一些內容，希望大家能夠理解它在基礎算數中的作用。不要覺得母語是中文就不需要這些，這些東西就像種子一樣，小時候種下去，長大之後會慢慢發芽。在年幼的時候，這些數學思維和能力的培養遠遠勝於運算速度的快慢。

最近在知乎上看到一篇文章《北京「嚴查幼兒園小學化傾向」可能會給幼兒教育帶來怎樣的影響？》，我很贊同@李小羊的回答。他就寫到說每個年齡階段都有不同的特點，需要根據這些特點來因材施教。我個人也主張年幼的時候以培養能力為主，尤其是上學以前，比如專註力、意志力、數感，等等，而不是具體的知識，那些是上小學以後的事情。

（蘭花教育微信公眾號：lanhuajiaoyu21）