著名的芝諾悖論，實際上至今並未得到解決

芝諾說，阿基里斯永遠追不上烏龜，因為追上一半的時候，還有一半，再追上一半的時候，還有剩下的一半，繼續這樣遞歸的說下去，那麼阿基里斯永遠追不上烏龜。那麼，微積分產生了以後，這個問題能否解決呢？阿基里斯追趕烏龜的距離=1/2+1 /4+1/8+... ... 是個收斂的級數f，lim(f)=1，所以阿基里斯只用了一步(也就是1s)的花費就追上了烏龜。解決了嗎？

看起來很完美，慢一點，有一個漏洞，那就是對於無限求和序列，我們這裡認為f=lim(f)。為什麼相等？因為級數收斂->f=lim(f)。那麼為什麼級數收斂就能推出f=lim(f)？因為f無限接近lim(f)。為什麼f無限接近lim(f)？因為級數收斂。看出來了吧，上面這個證明裏面包含了一個死循環。要證明f=lim(f)，這個等號的嚴格性，就相當於要證明f(x)=2^(-x)在x>0的範圍內，和x軸有個交點！而這是不可能證明的。

f和lim(f)之之間始終存在差別，無論N多大，f和lim(f)都不相等，N無窮大的時候，他們之間相差一個無窮小的黑洞。只是這個黑洞的直徑為0，意識沒有被黑洞俘獲而是進行了一個時間為0的量子跳變達到了黑洞的另一端----我看到了阿基里斯嗖的一下就超過了烏龜。

我可不可以證明在無窮遠處f(x)=2^(-x)和x軸有交點呢？想像一下這個圖吧，在頭腦裏面畫一個無窮遠的x軸，它和x軸相交。那麼交點右邊的曲線呢？是不是根據中值定理這個曲線可以讓y取到負數？或者說無窮遠之所以是無窮遠，是因為它是盡頭，沒有更右邊了。那麼如果有盡頭的話還是無窮遠嗎？N無窮大，但是N＋1是不是仍然大於N？無窮遠存在嗎？我們看樣子解決了芝諾悖論，代價卻是引入了新的悖論----就像我們試圖達到莫比烏斯帶的終點一樣！！！！！！！以至於這個證明過程永遠在循環，證明的過程沒有盡頭----好像我們在爬一個沒有盡頭的梯子，似乎真理就在眼前伸手可及，卻發現自己無論沿着梯子攀登多少層，這個距離都沒有減少。這個證明的過程如果存在的話，也必將是無窮的! 就像無理數和超越數的存在一樣，根本無法用有限的代數表達式計算。

畢達哥拉斯說，如果宇宙停止讓他測量每個原子的狀態，他就能預言今後的一切。他犯了三個錯誤，一個錯誤是測量的過程中，測量者和測量工具本身的影響無法測量，就像沒有什麼測量工具可可以測量自己一樣，這個測量不完整；第二個錯誤是，如果時間停止了，運動也就停止了，現象和特性也就停止了----光線停止了傳播什麼都看不見了，測量本身無法進行。第三個錯誤是，哪怕是再短的時間裏面，都包含了無窮的信息，想想全宇宙有多少原子，所以要用有限的規律來表達的話，這個測量時間必須很短----以至於無窮小的時間可能都嫌長了。所以時空，物質，信息這三個制約因素決定了完整的測量是不可能的，完整的規律性認識也不會有任何可能。一切規律都是短視的偏執的猜測而已。

芝諾不是唯心主義者，是不可知論的祖先，反證一下畢氏的理論，我們看到，沒有絕對真理，未來不可預測，一切規律都是未知，量子力學的不可測理論，露出了它的微笑。

[奇異點的故事1]

阿基里斯在練習舉重，遇到烏龜。

烏龜問：50公斤重的沙袋你能舉起來嗎？

阿：像我這麼強壯的人當然沒問題啦。

烏：500公斤的你能舉起來嗎？

阿：我不是擎天柱啊，500公斤的不行。

烏：100公斤的呢？

阿：十有八九能舉起來

烏：200公斤的呢？

阿：這得看我的狀態了，也許心情好的時候能舉起來，50%的概率吧。

烏：210公斤的呢？

阿：嗯，可能40%概率

烏：250公斤的呢?

阿：1%的概率

烏：260公斤的呢?

阿：0.01%的概率，呵呵，你給我增加重量，我能舉起來的的概率就逐漸 減少，趨近於0了。

烏：那究竟什麼時候這個趨近於0的概率會變成0，就像500公斤的概率是絕對值0那樣?

阿：(無語)......

阿基里斯遇到了一個奇異點問題：他知道存在一個奇異點，連接=0和>0但是非常接近於0這兩個概念。但是這個點究竟在哪裡，根本無法證明：因為任何證明都是荒謬的。但是阿基里斯明明的感覺這個點是存在的，但就是說不出來，只能安慰自己。"存在一個這樣的點，收斂到它的極限等於被研究的對象本身"。這句話是不可證明的，但是又明顯的成立。所以，標量和矢量的方法失效了，阿基里斯只能求助於集合論和形式語言：存在量詞可以表述，一定有這樣的一個點。但是究竟這個點在哪裡，我不用關心。

看看數學分析，關於極限的問題，各種存在性定理，中值定理，收斂的問題，不都是阿基里斯舉的那個沙袋0點么。如果一個關於數的概念，例如x*x=2，x是多少，答案本身不能用數來表示，但是又是唯一確切的答案，我們就發明一個形式的符號(根號)，來彌補數字本身表達能力的缺陷。數是不完整的，不完備的，所謂的"概念"在很多情況下連自身都無法表述。

[奇異點的故事2]

同樣是喜歡研究問題，愛叫直。一次和一個西安籍的朋友出去下館子，他點菜，羊肉泡饃+羊蠍子。要知道對於一個南方人來說，第一次吃這個不亞於受刑----我看着他吃的津津有味，他看着我吃的滿臉愁容，於是一場對話開始了:

"這個東西你覺得味道怎麼樣?"

"味道還可以"，出於禮貌，不能打擊自己的朋友，"就是還不太習慣"

"你就直接說難吃不就行了嗎"

"哈哈，你為什麼覺得好吃呢"，我反問。

"我從小就覺得好吃啊"

"那我怎麼沒覺得那麼好吃呢?"，我繼續質疑。

"可能你心裏有畏懼感"

"如果你也是第一次吃，你能保證它好吃么?"

"嗯，這個也難說，也許你多吃幾次就覺得好吃了?"

"那麼，你說這個羊肉泡饃好吃，並不是因為它本身好吃了，而是僅僅是你習慣了它的味道"

"也許是吧，也許習慣就是一種美"

"那麼也就是說，如果我們習慣一種東西，我們就能接受它，然後就覺得這個東西很好----就像如果從小我們覺得胖就是美，那麼胖妞就會有很多人追"

"似乎也有道理。不過我更覺得一個好的東西，美的東西，應該是一種我們所期盼的東西。比如說你想要甜味，你吃到了甜味，你就說好吃"

"一個男人想像抱着一個美女，既然要抱的穩，那麼美女的腰就不能粗，所以現實中美女標準有個細腰"

"嗯，似乎是這樣，也就是說不是因為美女有細腰我們就覺得細腰就是美，而是我們打心裏盼望細腰這種東西，然後去套，去打分，然後判斷誰是不是美女"

"這麼說來，判斷的標準不是來自外界，而是只是來自我們的內心"

"就像數學裏面的點線面一樣，到現實裏面去抓一個過來看看? 其實只是我們心裏的概念而已"

"美女還有什麼標準嗎?"

"想像你喜歡的東西: 光滑的感覺，清新的口氣，柔軟的材質，那麼美女的標準必定就是皓齒紅唇，冰肌膚玉骨，這個和你買一塊玉時的標準是一樣的，美就是內心的盼望，不是客觀的標準"

"好了，還是回到吃飯問題上面來。你為什麼覺得這個好吃或者不好吃"

"好吃是因為這個味道是我在吃之前就盼望到了的，我知道我將得到什麼味道，吃的過程也是如我所願；而對於沒有吃過的東西，它的味道遠離我們的期盼，自然會引起我們的反感"

"也就是說，所謂的美感，就是我們自己的願望被認同和被實現而已"

"不錯，就像聽音樂一樣，為什麼卡農那麼好聽? 因為我聽到前面幾個音符的時候，我心裏已經大概知道後面幾個音符是什麼了。如果我不能預測後面的音符，那麼幾乎沒有疑問我聽到的是高斯白噪聲"

"嗯，美就是自我的實現，概念也是自我的實現，甚至科學，也是自我的實現"

"就像柏拉圖說的，知識也是來自於冥想"

"至少我覺得無法駁倒"

"虛數單位i存在嗎，怎麼證明?"

"只存在於我們的心理，甚至實數1也是只存在於我們的心理，無法證明"

真理似乎是一種思想的和諧，就像卡農一樣，不是層次的高低，而是自我的一種纏繞。那些數學的概念，複數，分析，極限，無窮，展開，逼近，正交，對偶，集合，空間，群，推演，與其說是反映了自然之美和宇宙之美，與其說是數學本身的美感，不如說是來自我們內心的一種美的意識和願望，已經對"簡單和美"的主觀盼望。美不來自客體世界，美只來自我們的內心，我們按照這種願望來構建真理和揭示宇宙。而那個客體的世界，似乎只是一對概率變化的和隨機過程連接着的無意義，只是因為我們睜開了眼睛，意義便產生了。

本文轉載自公眾號「愛數學之家」