理解了「數」，也就理解了數學

1831年，高斯表達了他對「實無窮」的恐懼，

我反對把無窮量作為一個完全的東西來使用，在數學中決不允許有這樣的用法。無窮只是一種說話的方式，其真正的意義是指某些比值無限地趨近的某個極限，而另一些比值則可以無限制地增大。

康托爾既同意又不同意高斯的觀點。他在1866年寫到實無窮時說，

儘管在潛無窮和實無窮之間有本質的差別，前者意味着一個增加到超出所有有限限制的可變的有限量，而後者是一個超出所有有限量的固定的常量，只是它們太經常地被混淆了。

康托爾堅持認為，對實「無窮」的不加鑒別的否定，就是對事物本性的違背。1901年，羅素說，

芝諾關心過三個問題——無窮小、無窮大和連續……·魏爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底解決了它們。這個成就可能是這個時代能夠誇耀的最偉大的成就……無窮小的問題是魏爾斯特拉斯解決的，其他兩個問題的解決是由戴德金開始，最後由康托爾完成的。

格奧爾格·費迪南德·路德維希·菲利普·康托爾（Georg Ferdinand Lud-wig Philipp Cantor）

康托爾的天才很早（在15歲以前）就得到了承認，對數學研究有一種着迷的興趣。1862年康托爾在蘇黎世開始了他的大學生活。次年，他轉學到柏林大學。在柏林大學，他專攻數學、哲學和物理。他的數學指導教師是庫默爾、魏爾斯特拉斯和克羅內克（學術之敵）。

在柏林，康托爾深入鑽研了高斯的《算術研究》，寫出了他的博士論文，1867年獲得了博士學位。他的論文討論高斯留下的關於不定方程

的x，y，z整數解的難點，其中a，b，c是任意已知整數。康托爾最早鍾愛的是高斯的數論。在魏爾斯特拉斯的影響下，他不久就另闢蹊徑，從這一理論進入到了嚴格的分析中，特別是三角級數（傅里葉級數）的理論中。

這個理論難以捉摸的困難，激勵了康托爾更深入地研究分析的基礎，這樣就導致他對無窮本身的數學和哲學問題進行全面的研究，而這是關於連續、極限和收斂等全部問題的基礎。康托爾在快滿30 歲時發表了他的第一篇關於無窮級數的革命性論文。康托爾在這篇論文中建立的關於全部代數數的集合，顯示出他是一個見識獨到、極具創造性的數學家。

1874年，康托爾29歲時發表了他關於集合論的第一篇革命性論文，同年與瓦利·古特曼結婚，生了兩個兒子和四個女兒。這一對年輕夫婦在因特拉肯度蜜月時，常和戴德金交往。戴德金也許是當時唯一試圖認真地了解康托爾的顛覆性學說的一流數學家。

1874年這篇開拓性的論文有着建立起所有代數數集合的一個完全意想不到的、高度似非而是的性質。如果r滿足一個有理整數（普通整數）係數的n次代數方程，而且如果r 不滿足次數小於n的這樣的方程，那麼r就是一個n次代數數。

這可以推廣。因為很容易證明一個類型為，

其中c_i是任意已知代數數的方程，它的任何一個根本身就是代數數。例如，按照這個定理，方程

的所有的根都是代數數，因為係數是代數數，第一個係數滿足

第二個係數滿足

第三個係數滿足

這樣，方程的次數分別是2，2，3。想像所有代數數的集合。這些數中，

• 有所有的正有理整數1，2，3，…，因為它們中的任意一個，比如說n，滿足代數方程x-n=0，方程中的係數（1和-n）是有理整數。
• 但是除這些以外，所有代數數的集合還包括所有有理整係數二次方程的所有的根，所有有理整係數三次方程的所有的根，等等，以至無窮。所有代數數的集合應比其有理整數1，2，3，…的子集多包含無窮多個元素。

這在直觀上不是很明顯嗎？它可能確實是明顯的，但它恰恰是錯的。康托爾證明了，全體有理整數的集合與所有代數數的集合含有同樣多的元素。康托爾用「一一對應」的方法證明了這一集合理論，這一方法顯示了數學家與哲學家之間在關於"數"或"量"問題上的態度差異。

數學家從來不用量本身去定義量，而哲學家會這樣做；數學家定義量的相等、它們的和及它們的積，這些定義決定了量的全部數學性質。數學家甚至以更抽象、更形式化的方式，制定了符號，同時規定了符號所要遵守規則；這些規則足以表示這些符號的特性，給予它們數學意義。數學家用任意的約定來創造數學的實體。並不是所有的數學思想學派都同意這種做法，但是它們至少提出了對下述的基數定義的一種哲學。

當兩個集合中的所有元素都能一對一地對應起來時，就說這兩個集合有同樣的基數。

例如，集合（x，y，z）和集合（a，b，c）有同樣的基數，因為我們能夠把第一個集合中的x，y，z與第二個集合中的a，b，c配對。再有，如果有20對已婚夫婦坐在一起進餐，那麼丈夫的集合就與妻子的集合有同樣的基數。作為這個同樣"明顯"的另一個例子，我們想起了伽利略的全體正整數平方的集合和全體正整數集合的例子，

仔細想一下，如果剔除自然數中所有的平方數，那麼剩下來數的個數的恰好與原來的一樣多。不管我們喜歡與否，這個赤裸裸的奇蹟就出現在我們面前∶一個集合的一部分可以與整個集合有同樣的基數。直覺已經被大大高估了。直覺是一切迷信的根源。

在這個階段，一個頭等重要的問題出現了，一個集合或一個類是什麼呢？試想所有正有理整數的集合，問你自己，你是否能在你心裏把這個全體當做一個確定的思考對象，就像三個字母的類x，y，z一樣容易理解。為了領會康托爾所創造的超窮數，他要求我們做的正是這件事。

現在我們繼續講「基數」的定義，如果兩個集合或類的元素能夠一對一地配對，就說它們是相似的。在集合（x，y，z）中有多少元素呢？顯然是3個。但是「3」是什麼呢？下面的定義給出答案

一個給定類中的事物的數目，是相似於該給定類的所有類的那個類。

這個定義是1879年由戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）提出的，1901年又由羅素再次提出來。它有一點優於「類的基數」的其他定義，即它既可以應用於有限類，又可以應用到無窮類。

康托爾的「所有代數數的類相似於所有正有理整數」這一驚人結果，只是無窮類的許多完全意想不到的性質中的第一個。

例如考慮超越數的「存在」。人們懷疑當n趨於無窮時，由

的極限所決定的數是超越的，但是我們無法證明它。

超越數不是任何有理整數係數代數方程的根。

自然而然地，你會問提出了一個問題∶有多少超越數？它們比整數、有理數或全體代數數更多呢，還是更少呢？根據康托爾的定理，整數、有理數和全體代數數的數目相等，這個問題就歸結為∶超越數能用1，2，3，…遍歷（編號，數遍）嗎？所有超越數的類（集合），相似於所有有理整數的類嗎？答案是否定的，超越數比整數多得多（多無限多）。

如果一個類（集合）相似於所有正有理整數的類，就說這個類是可數的。一個可數類中的元素能夠用1，2，3，…數遍；一個不可數類中的元素不能用1，2，3，…數遍，不可數類中的元素比可數類中的事物多。不可數類存在嗎？康托爾證明了它們存在。事實上，在任何線段上的所有點的類就是不可數的，不論這個線段多麼小。

由此我們可以知道，超越數為什麼是不可數的。我們知道，任何代數方程的任何根，都能用笛卡兒幾何的平面上的點表示。所有這些根組成了所有代數數的集合，康托爾證明了這個集合是可數的。但是如果在單獨一個線段上的點是不可數的，那麼可以推知在笛卡兒平面上的所有點同樣也是不可數的。代數數點綴在平面上，就像星點綴漆黑的夜空，而稠密的黑色就是超越數的天空。

關於康托爾的證明，最值得注意的是，它沒有提供哪怕是構造一個超越數的方法。根據克羅內克的看法，所有這些非構造性的推理都是不合邏輯的。

由於康托爾在他的無窮類理論中的推理大多是非構造性的，克羅內克把它看作一類危險的數學瘋狂。因為克羅內克看見數學在康托爾的領導下走向瘋人院，同時也因為他狂熱地致力於他所認為的數學真理，所以他用手邊的一切武器，猛烈地、惡毒地攻擊「實在的無窮理論」和康托爾，而這悲劇的結局不是集合論進了瘋人院，而是康托爾進了瘋人院。

1884年春，康托爾在40歲時經歷了他的第一次精神崩潰，從而進了精神病診所。一陣陣深深的沮喪使他在自己眼裡都感到自卑，他開始懷疑他的工作的正確性。他關於無窮的正確理論的一些最好的工作是在兩次發作的間歇期內完成的。當他從發病中康復過來時，他的頭腦特別清醒。

隨着新世紀的到來，康托爾的工作漸漸開始被人們接受了，被認為是對整個數學，特別是對分析學基礎的一個重大貢獻。但是對於這個理論，不幸的是同時開始出現了仍然影響着它的悖論和自相矛盾。這些可能最終是康托爾的理論註定要對數學作出的最大貢獻，因為它們在圍繞無窮的邏輯和數學推理的基礎中意想不到的存在，促進了現在在整個演繹推理中的批判運動。

康托爾最驚人的結果是在不可數集論中得到的，不可數集最簡單的例子是一段線段上所有點的集合。在這裡只能談談他的最簡單的結論之一。與直觀所能預測的相反，兩個不等長的線段包含着同樣數目的點。我們不難看出康托爾這個結論的合理性。如下圖放置不等長的線段AB，CD。線段OPQ交CD於點P，交AB於Q；這樣，P和Q就配成對了。當OPQ繞0旋轉時，點P在CD上移動，同時Q在AB上移動，CD上的每一個點有且僅有AB上的一個點與之「配對」。

可以證明一個更出乎意料的結果。任何線段，不管多麼小，都包含着與無限長的直線同樣多的點。進一步，線段包含的點，與在整個平面或整個三維空間或整個n維空間中的點同樣多（這裡n是大於零的任意整數）。

這裡，我們還沒有試圖去定義一個類或一個集合。然而現在的爭論似乎要求給出某種清楚的、自洽的定義。一個集合是由3個特性表示其特點的，

1. 它包含着具有某種確定性質（比如說紅色，或體積，或味道）的一切事物；
2. 沒有這個性質的事物都不屬於這個集合；
3. 集合中的每一個元素都可以被識別出是與集合中的其他事物相同還是不同。集合本身可以作為一個整體來把握。

在這一點上，我們可以回顧一下整個數學史，並注意在幾乎全部數學論著中不斷反覆出現的兩種表達方式。一類是「我們能找到一個大於2的整數」，或「我們能選擇一個小於n、大於n-2的數」這樣的表達。與此有明顯區別的是在數學寫作中一再出現的另一個習慣用語「存在」。例如，「存在一個大於2的整數」，或者「存在一個小於n，大於n-2的數」。對於出現在康托爾理論中的集合（如上面定義的），存在是不能證明的。

這兩種說話方式把數學家分成兩類，

• 說「我們能」的人認為（也許是下意識的）數學純粹是人的發明；

• 說「存在」的人認為數學有它自己的超出人以外的「存在」，我們只能在我們的人生旅途中偶然發現數學的「永恆真理」，這很像一個人在一座城中散步，遇到許多街道，而他與這些街道的規劃沒有任何關係。

以「存在」方式來看待集合論的一個重要的例子，是由著名的策梅羅公設（公理）提供的。

對於其元素是一些集合P的每一個集合M（也就是說，M是一些集合的一個集合，或是一些類的一個類），這些集合P不空且不相交（即沒有兩個集合包含共同的事物），至少存在一個集合N，它恰好包含構成集合M的每一個集合P中的一個元素。

比較這個公設與前述集合（或類）的定義表明，如果集合M包含比如說無窮多條不相交的線段，說「我們」的人不會認為這個公設是不證自明的。然而這個公設看來是相當合理的，但證明它的企圖都失敗了，而它在一切與連續有關的問題中都相當重要。

這個公設是怎樣被引進到數學中的？這將引出康托爾理論的另一個尚未解決的問題。一個有互不相同的可數的元素的集合，就像一堵牆上的所有磚頭，能夠很容易地排出順序；我們只需要按1，2，3，…數遍它們。

但是我們怎樣給直線上所有的點排序呢？畢竟，直線上的任意兩個點之間「我們能找到」或「存在」該直線上的另一個點。如果我們每一次數牆上相鄰的兩塊磚，牆上就又有另一塊磚出現在它們之間，我們的計數就混亂了。然而直線上的點看來確實有某種順序，因為我們能說出一個點是在另一個點的左邊或是右邊。為一條直線上的點排序的努力沒有成功。策梅羅提出了他的公設，以使這種努力更容易一些，但是它本身還沒有被普遍接受為一個合理的假設。

回到康托爾理論上。是否「存在」或者我們能否「構造」一個集合，它既不相似於所有正有理整數的集合，又不相似於直線上所有點的集合？答案是不知道。

我們已提到過弗雷格，他把「相似於一個給定類的所有類的類」定義為這個給定類的基數。弗雷格花費多年的時間，試圖把數的數學置於可靠的邏輯基礎上。他畢生的著作是他的《算術的基本法則》，第二卷以下面的致辭結束∶

一個科學家幾乎不能碰到比這更難堪的事情了，即正當工作完成時，它的基礎卻垮掉了。當這部著作行將印完時，伯特蘭·羅素先生的一封信就使我處於這樣的境地。

羅素構造了一個集合S：S由一切不屬於自身的集合所組成。這個集合是自己的元素嗎？稍微想一想就能推敲出，不論哪種答案都是錯誤的。羅素提出他的「循環論證原理」作為一種補救辦法∶「涉及一個集合的所有元素的任何東西，必非該集合的元素」。

為了讓數學走出這一困境，希爾伯特和布勞威爾致力於把數學推理置於合理的基礎上，儘管他們的方法和哲學在幾個方面是極端對立的。

希爾伯特

希爾伯特向希臘尋找他的數學哲學的起源。他重新開始了畢達哥拉斯的計劃，即給定一組嚴格而充分確定的公設（公理），一個數學論證必須按照嚴格的演繹推理從這些公設開始。希爾伯特使數學的公設發展綱要比希臘人的更精確，並於1899年出版了他關於幾何基礎的經典著作的第一版。希爾伯特的一個要求是，為幾何提出的公設應該被證明是自洽的，而希臘人似乎沒有想到過這個要求。為了對幾何作出這樣一個證明，他指出由這些公設發展出來的幾何中的任何矛盾，都隱含着一個算術方面的矛盾。這樣，問題又回到證明算術的一致性，一直到今天。

因此我們再次退回，詢問「數」是什麼。戴德金和弗雷格兩人都把目光投向了「無窮」，戴德金以他的無窮類定義無理數；弗雷格以他的相似於一個已知類的所有類的類定義基數。希爾伯特也到無窮中去尋找答案，他相信，無窮對於理解有限是必需的。他強烈相信，康托爾體系最終會從煉獄中解放出來，

在我看來，這（康托爾）是數學思想的最令人讚美的果實，確實是人類智力活動的最高成就之一。沒有人能把我們逐出康托爾為我們創造的樂園，

布勞威爾

在希爾伯特興奮得意的時刻，布勞威爾出現了，他說，用希爾伯特提出的保證免除矛盾的公設的方法完成了它的使命——沒有產生矛盾，但是，用這種方法不會得到任何有價值的東西；一個錯誤的理論，即使沒有因矛盾而告終，也仍然是錯誤的。

布勞威爾這一反對根源是一種新的東西——至少在數學上是新的。他反對不加限制地應用亞里士多德的邏輯，特別是在處理無窮集合時，他堅持認為當這樣的邏輯用於在克羅內克的意義上（必須提供一個過程的規則，使集合中的事物能由它產生出來）不能確切地構造出來的集合時，必然會產生矛盾。排中律只有當用於有限集合時才是合理的。

亞里士多德發明他的邏輯，是作為用於有限集合的一組規則，把他的方法建立在人類對於有限集合的經驗的基礎上，沒有任何理由認為當適用於有限的邏輯應用到無窮時，會繼續產生一致的結果。當我們回想起無窮集的真正定義是強調一個無窮集的一部分可以包含與整個集合同樣多的元素時，這似乎是很合理的；當「部分」意味着一些而不是一切時，定義所強調的這種情形對有限集永遠不會發生。

這裡我們有了某些人認為的康托爾實無窮理論中麻煩的根源。至於集合的這個定義——把所有具備某種性質的事物"結合"形成一個「集合」，並不適合於作為集合論的基礎，這是由於這個定義要麼不是構造性的（在克羅內克的意義上），要麼設想了沒有人能做出來的構造性。布勞威爾宣稱，排中律在這種情形的應用充其量也不過是對那樣一些命題的啟發式指引，這些命題可能成立，但不是必然成立，即使它們是嚴格運用亞里士多德的邏輯推斷出來的。他還說在過去半個世紀中，許多錯誤的理論（包括康托爾的理論）都在這個脆弱的基礎上建立起來了。

過去三分之一個世紀的爭論，已經給數學的廣大版圖添加了新的領域——包括全新的邏輯。新的領域正在迅速地與舊有的領域合為一體，協調一致。數學的精神永存。正如康托爾所說，"數學的本質在於它的自由"。