本文為「2022年第四屆數學文化徵文活動
註：補充了附表1
一個偶然的發現——完全數及其基因構造數列
作者 : 劉建
作品編號：091
完全數又稱為完美數，據說是由古希臘畢達哥拉斯學派的青年學者們發現的。這個學派的觀點認為：數是萬物的根源，數學的規律既是宇宙的規律。他們注意到：數6有一個特性，它等於除自身之外的因數之和，即,6=1+2+3。他們稱這類數為完美數。《幾何原本》最早記載了6，28，496，8128.這四個完美數，並證明了。若是素數，則是完全數。
直至西方文藝復興時期，經過2000多年漫長的歷史進程，人們又陸續發現了三個完全數，分別是33550336，8589869056，137438691328。
18世紀後期，著名數學家歐拉找出了第8個完全數，2305843008139952128，並且進一步證明了若是素數，則是所有已知完全數的統一簡化式，這就使完全數與梅森素數之間建立了緊密的聯繫。為尋找新的大素數和完全數開闢新路。近200多年來，隨着計算機技術的不斷發展，人們加快了尋找完全數的步伐。至今為止，歷經2500多年，人們共找到了51個梅森素數，也就是說，人們至今已發現了51個完全數。
完全數是非常奇特的數，除了等於自身之外因子之和，還都具有一些特殊的性質。
(1) 完全數都是三角形數，可以表達為連續自然數之和。
(2) 他們都是連續奇數的立方和，（6除外）也都可以表達為2的連續正整數次冪之和。
(3) 除6以外，它們的數字根——即各位上的數字反覆相加，直至變成一位數，這個一位數一定是1。
(4) 除了因子1之外，每個完全數的所有因子的倒數和等於1。
(5) 完全數都是以6或8結尾的，如果以8結尾，那麼就肯定是以28結尾。
(6) 他們的二進制表達式具有相似的結構形式。
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……
另外值得注意的一點是，所有已知的完全數都是偶完全數，是否存在奇完全數還是一個未解之謎。以上所述就是查閱有關資料所能知道的有關完全數的基本知識。
18世紀的數學家歐拉，用他關於安全數的證明告訴我們。完全數和梅森數有一種緊密的聯繫，找到新的梅森素數成為發現新的完全數的前提。但是找到新的大素數本身就是有待解決的一大難題。因此，在尋找新的完全數的道路上，步伐艱難而緩慢，只是在近些年，藉助快速發展的計算機的威力，才有了一些進展。
2001年6月份，在整理翻閱舊刊物時，從《奧秘》98年第2期上，看到一篇關於《尋找完全數》的智力題。完全數是什麼？如何尋找完全數？作為一個老三屆，當年數學學習成績尚可，回顧歷年所學，竟然全無相關。雖然已是知天命之人，但對什麼是完全數？如何尋找完全數卻一無所知。
在刊物上找到答案後，按照完全數等於除自身之外因子之和的條件驗算，結果答案給出的完全數33550326，分解因子出現小數，明顯是錯誤的。
通過對已知4個完全數的因子分解排列組合，我很快就找出了第5個完全數是33550336，並發現其中的結構性規律，構造出一個具有許多完全數共同性質的新數列。當看到有關資料記載，人們找出第5個完全數，歷時2000多年的史實，我感到了這一發現的意義和價值。經反覆學習，不斷探索，持續20餘年，取得了一點可喜的成果。
回顧此事起初，關注完全數純是好奇心使然。接着就像種豆得瓜，意外收穫。本意是尋找完全數，但找出來的卻是一個以完全數6為首項並具有一些特殊性質的新數列。
6，28，496，8128，是《幾何原本》最早記載的4個完全數，也是這一數列的前4項，他們具有一些相同的特殊性質，還都具有一種相似的因子分解排列結構，既其因子分解排列構成了兩個項位相等，比數為2的等比數列。（附表1）我對此名之為：對稱重疊結構。
學過化學的都知道，物質的結構決定其性質，同理：數列的結構也能決定其性質。第1個完全數6及其因子分解1，2，3，6，就是一個標準的對稱重疊結構，1，2和3，6就是項位相等，比數為2的兩個等比數列。這種由結構決定的特殊性質，在具有相同結構的數中間，保持，傳遞，延伸，便形成了新的數列。
首位完全數6，及其因子1，2，3，6，等於自身之外因子之和既1+2+3=6，簡潔而優美，使人聯想到老子的《道德經》：道生一，一生二，二生三，三生萬物。……萬物等於6嗎？……
再看由1，2，3，6，四個數字，兩條數列組成的對稱重疊結構，又能聯想到四個鹼基，兩條螺旋曲線組成的基因遺傳物質。……都會傳遞其內在性質，都是這樣的四，二結構。……難道僅僅是巧合嗎？
扯的有點遠了，還是回到正題吧。
6，28，496，8128， 130816，2906128，33550336，536854528，……這些數里既有完全數也有非完全數，但因為它們具有許多共同的特殊性質，又都具有因子分解對稱重疊結構，便構成了一條新數列——完全數基因構造數列。（附表2）
這個數列的最簡表達式：，當n為自然數列，使該數列與自然數列一一對應，說明其具有無限性。這樣，所有的已知的偶完全數都會在此找到位置，將來發現新的完全數也必然會出現在這條數列上。
完全數就像數學森林中散落的珍珠，是十分罕見的，稀少的。歐拉公式已經證明梅森素數和完全數是一一對應的。在完全數基因構造數列上，其因子分解所形成的，多是梅森數，而非梅森素數。既不是素數。其對應形成的。也肯定不是完全數。但是這些具有相同構造的非完全數，就像一根長長的線，把所有的（珍珠）完全數串聯在一起，形成了一個完美的數列。
根據完全數基因構造數列。我們可以對現有的完全數相關知識內容進行補充與完善。
(1) 完全數及其基因構造數列都是以6或8結尾。如果是以8結尾，就肯定是以28結尾。如果以6結尾，則會出現16，36，56，76，96，隔位循環的現象。
(2) 除了第一個完全數6之外，這個數列上所有的數都是4的整倍數，都是除6餘4。
(3) 我們把這樣的數稱為梅森數。若是素數，則稱之為梅森素數。在此數列中，因子分解排列所形成的一系列梅森數，其數字根會出現7，4，1循環現象。若為梅森素數，則必定是6n+1型素數。
完全數基因構造數列最簡表達式，與歐拉完全數公式，表面上看不一樣。實質上是相容的，一致的。通過（附表1）模型，我們可以直觀的看到，他們都內含對稱重疊結構。不同的是，一個有前提，是梅森素數，對應的是一個完全數。一個無前提，與自然數列一一對應，形成的是一個無限數列。
對於歐拉完全數公式來說，（除了梅森素數對應完全數）若n為自然數列，總體結果表現為無序。若n為以3為首的奇數數列，令人意外驚奇，結果竟然與完全數基因構造數列完全相同。（附表3）
自然數列與奇數數列，各自分別與完全數基因構造數列一一對應。這既證明了其具有無限性，也說明了其存在的必然性與合理性。
這樣由4個完全數開頭，內含對稱重疊結構，具有多種共同特殊性質的無限數列，是前所未聞的。通過所附的圖表和模型，我們可以看到數字世界的有序與完美。這裡有對稱與平衡，有漸變與突變。有像細胞分裂一樣的數字，還有類似基因遺傳的現象。
基因遺傳是生命世界的特有現象，高度抽象的數字世界也有遺傳現象嗎？……
在無機化學向有機化學發展的過程中，人們認識到分子的結構對化學性質的影響。「分子結構式不但表示原子的數目，而且表示各種原子在分子中的排列次序和結合關係，其組成的結構和其化學性質緊密相連」。
同樣道理，這裡看到的就是：各種因子在數列中的排列次序和結合關係，與其保持的完全數特殊性質緊密相連。在這裡結構對性質的作用是決定性的。
他有實際用途嗎？當然有，檢測計算機的計算能力並多種驗算，直接可用。
另外直感：編製各種密碼的方法又多了。……
最後：向給予啟迪，指正的張滌非，給予支持，幫助的朱昌和，季桂林三位友人表示感謝。
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