尺規作圖簡單?那得看是什麼題,這位爸爸就被難住了

2022年07月02日16:24:28 教育 1538

尺規作圖簡單?那得看是什麼題,這位爸爸就被難住了 - 天天要聞

聽說尺規作圖能激發孩子對幾何的興趣,這位爸爸也想試試。的確,效果不錯,孩子果然對圓規直尺產生了興趣,不斷地向爸爸提出新的問題,很快,爸爸就卡殼了。

一道看似不難的題讓爸爸苦思冥想良久,只好發信息讓我們講講。來一起琢磨琢磨,是什麼問題讓爸爸也難住了呢?

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如圖,兩個圓相切,一條直線也與它們同時相切,要求做一個圓,同時與這兩個圓和直線相切,只能使用尺規作圖。

觀察一番,直觀感覺要作的那個圓應該在三者相夾的區域。這位爸爸從兩圓圓心向各自的切點作了兩條垂直輔助線,作了連接兩圓圓心的輔助線後就一愁莫展了。

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首先要表揚一下小朋友,上學的時候導師經常說,「大科學家提問題,小科學家忙着解決問題,科技民工幫着完善解決方案」。能提出好問題,指明研究方向才是真的了不起,這位小朋友偏打正着,問出了兩千多年前阿波羅尼奧斯提出的問題。

古希臘數學家阿波羅尼奧斯提出的問題(Apollonius' Problem)是一道有名的幾何題:「平面上給定三個圓周,如何用尺規作圖構造出和這三個已知圓都相切的圓。

當其中一個圓退化成一條直線時,阿波羅尼奧斯問題就變成了我們今天要解決的尺規作圖問題。因為要涉及的定理和預備知識較多,我們今天先把作圖方法告訴大家,也幫忙維護一下那位爸爸的光輝形象[呲牙],後續的文章我們接着探討原理。

Step 1

需要學會做,已知L1和L2兩條線段,做一線段長度為√(L1•L2),如下圖,等會我們要用到這個技巧,不清楚的友友可以到我們主頁翻看以前的文章。

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Step 2

首先過兩個圓心,向各自切點做垂線,切點為D和E。

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Step 3

在垂線AD上構造一條線段,要求該線段長度為2√(AD•DE),作圖痕迹看虛線部分。構造出來的線段DI,標記I點,等會用。

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Step 4

在另一方向,也構造一個線段,要求該線段長度為2√(BE•DE),作圖痕迹看虛線部分。構造出來的線段ME,標記M點,等會用。

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Step 5

連接MI兩點,與切線DE交於N。過N點做切線DE的垂線,我們要做的切圓的圓心就在該線上。

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Step 6

以D為圓心,DN為半徑做圓,與AD相交於K。連接KE,與過N的垂線交於P點。

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Step7

取線段PN的中點Q,以Q為圓心,以QN為半徑做圓,該圓與圓A、圓B以及切線DE相切,作圖完畢。

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各位家長,帶着孩子動手試試,是不是這樣的?如果還有孩子深究,為什麼這樣作圖就能成,怎麼證明,就需要再學習一些拓展知識了,比如用笛卡爾定理等。


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