據科普中國消息，春節期間，電影《流浪地球2》和電視劇《三體》“餵飽”了不少喜愛科幻的觀眾朋友。在觀劇、觀影的同時，大家對這兩部作品中出現的相關科學術語和相關問題也產生了極大的興趣，比如洛希極限、三體問題等。這兩天，搜狐創始人張朝陽還在他的線下物理課上談到了關於《流浪地球2》中的一些設計，並且還建議《流浪地球3》可以以拉格朗日點來發展劇情。
圖片來源：新浪微博截圖
對於天文愛好者來說，“拉格朗日點”這個詞語可能並不陌生。它以法國科學家拉格朗日命名。當年嫦娥四號的通信中繼衛星鵲橋號，就是處在拉格朗日點來保證嫦娥四號與地球的通信的。
處於拉格朗日 l2 點的鵲橋號為嫦娥四號提供通信支持。圖片來源：中國航天科技集團
那麼問題來了，“拉格朗日點”到底是哪個點？為什麼要以拉格朗日的名字命名？今天就讓我們來了解一下。
01
歐洲最偉大的數學家
拉格朗日
約瑟夫-路易·拉格朗日（joseph-louis lagrange）是法國籍意大利裔的數學家和天文學家。他的主要成就在數學領域，並使用數學分析的方法來研究力學和天文學。有不少人在學習微積分的時候，都被拉格朗日中值定理——這條看似簡明的定理衍生出來的各種花樣試題燒毀過不少腦細胞。而除了拉格朗日，大學基礎課里的巨頭還有三位：拉普拉斯、傅里葉和泊松，其中第一位是他的同事，後兩位是他的學生……
拉格朗日，圖片來源：wikipedia
確切地說，拉格朗日不能稱“意大利裔”，終其一生，意大利的版圖都是破碎的。他在都靈出生，當時屬於薩伏依王室統治下的撒丁王國。拉格朗日的父親在都靈任公共事務和防務辦公室的財務主管，按說應該挺富裕的，但是這位父親把錢用到失敗的金融投機上，所以拉格朗日的家境並不好。
他的父親計劃讓他當一名律師，當時拉格朗日似乎也認命了。他就讀於都靈學院，最喜歡的科目是古典拉丁語。起初他對數學並沒有什麼興趣，覺得希臘幾何學枯燥乏味。但是當他讀到哈雷——對，就是哈雷彗星的哈雷——的一篇介紹使用數學確定透鏡焦點的論文之後，頓時覺得人生有了新方向——也許整個數學界都要感謝拉格朗日的父親投機失敗，因為按照拉格朗日的話說：假如我有錢的話，可能就不會投身數學了。
除了“投資失敗”的父親之外，拉瓦錫對拉格朗日也有很大幫助。1786 年，拉格朗日離開柏林，到巴黎科學院工作。到巴黎剛滿三年，法國大革命就爆發了。1793 年，國民公會決定清理科學院，在拉瓦錫的極力維護下，拉格朗日被免於驅逐。
拉瓦錫肖像，圖片來源：wikipedia
但是拉瓦錫自己很不幸。1794 年 5 月 8 日，他被送上了斷頭台。拉格朗日悲傷地說：砍下這顆頭只是一瞬間，再找個這麼傑出的腦袋，一百年也不夠。
拉格朗日的傑出貢獻還有群論中的拉格朗日定理、數論的四平方和定理、微積分的拉格朗日乘數法、變分法的歐拉-拉格朗日方程。他開創了分析力學中的拉格朗日力學，推動了天文學的力學分析化。
作為法國經度局的度量衡委員會首屆委員，拉格朗日推動了公制（國際單位制的前身）的制定。我們現在熟知的米、千克等單位，就是基於那時的最初定義。
我們看看和他基本同時代的這些名字：拉瓦錫、拉普拉斯、勒讓德、赫歇耳、庫侖、伏特、瓦特、康德……基本上就可以感受到他對於現代科學的意義了。
02
航天領域的關鍵點
拉格朗日點
隨着科技的發展，拉格朗日的大名不再僅限於教科書。現在，在空間研究和航天科技領域相關的新聞里，大眾常常能聽到一個詞，就是“拉格朗日點”。比如：鵲橋號中繼衛星在地月系的拉格朗日點附近運行，提供月球背面和地球的通信服務；詹姆斯·韋布太空望遠鏡安置在拉格朗日點，對“大爆炸”早期的宇宙景象進行觀測……那麼，“拉格朗日點”到底是哪個點呢？
在了解拉格朗日點之前，我們不妨先來自己思考一個有趣的小問題：以地球和太陽為例，在地球公轉軌道面的哪個位置放個小天體，可以使這個小天體圍繞太陽公轉時，還具有與地球相同的公轉周期，並且與太陽、地球的相對位置保持不變呢？
請大家淺淺地思考一分鐘……
這實際上是三體問題的一組特殊解。，是一種特殊的平動狀態。早在 1767 年，歐拉就求出了這個限制條件下的三個特解。
歐拉，圖片來源：wikipedia隨後，1772 年，作為歐拉的非正式卻得了真傳的學生，拉格朗日又算出了兩個。這五個特解在公轉軌道附近所對應的位置，叫做“拉格朗日點”（又稱平動點），分別編號為 l1、l2、l3、l4 和 l5。
五個拉格朗日點的平動示意圖，圖片來源：wikipedia這五個序號不是隨意編的，每個數字對應一個唯一的位置。以太陽和地球為例：
l1 在日地之間的連線上，並且距離地球更近些。
l2 在日地的連線延長線上，在地球一側，或者說，在地球陰影方向。
l3 在地日的連線延長線上，在太陽一側，地球的對面，和太陽的距離基本等於日地距離。
l4 和日地成等邊三角形，引領着地球運行。
l5 和日地成等邊三角形，跟隨着地球運行。
其中 l1 到 l3 是歐拉求得的結果，l4 和 l5 是拉格朗日求得的。
五個拉格朗日點，圖片來源：nasa
可以看出，l1、l2 一個在地球軌道內側，一個在外側，如果不考慮地球的話，內圈的應該跑得比地球快，外圈的應該跑得比地球快才對。不過，這裡有個“如果”。地球引力會對 l1 的小天體說“等等我！”對 l2 的小天體，則是喊“跟緊些，別掉隊！”
結果，雖然距太陽有遠有近，但 l1、地球、l2 卻以同樣的角速度奔跑在黃道面上。l1 的小天體總是懸停於地球的白晝一方，l2 的小天體則始終逗留在黑夜的那一面。這真是太好玩了。
確切地說，五個拉格朗日點都是圍繞太陽和地球的公共質心轉繞的，這個質心在太陽中心偏向地球約 450 千米的位置，和太陽 696340 千米的半徑相比，可以忽略不計。看到這裡，可能很多朋友都會默認拉格朗日點就是太陽、地球、月球之間的事兒吧？其實並不是，只要是類似的天體系統，都有這樣的解存在，不過在本文里，拉格朗日點指的就是從 l1 到 l5 這些點。
03
在拉格朗日點
放一個小衛星會發生什麼？
拉格朗日點是數學裡的理想特解，而在現實世界裡，並不能一勞永逸地把探測器放到拉格朗日點從此撒手不管了。五個拉格朗日點的穩定性是不同的，就像把一個蘋果頂在頭頂或擱在碗底，它對外界干擾的表現完全不一樣。
放置在 l1、l2 或 l3 的小天體，如果受到其他天體的干擾（很常見，比如月球）而偏離一點點，就會持續偏離，越走越遠；而放在 l4 或 l5 的，只要日地質量比大於 25（當然），它即使被其他行星攝動拉偏，也能畫一個蠶豆狀的曲線飄蕩回來。所以，如果我們把探測器放到 l1、l2 或 l3，就要給它多備一些調整位置和姿態的推進劑，而對於 l4 或 l5 就可以節省許多。
不過，l4 和 l5 有別的煩惱：因為它們很穩定，所以許多天然的小天體也容易聚集在這裡，安排在這裡的探測器被撞壞的幾率比其他三個點高很多。
人們根據拉格朗日點的特性，為特殊性質的太空探測設計了一些量身定製的方案。
1. 拉格朗日點——l1
l1 在日地之間，所以研究太陽的探測器就放置在這裡，它們距離地球 150 萬千米左右，在月球軌道以外，永遠不會掉進地球或月球的陰影，可以持續觀測太陽。太陽及日光層探測儀（soho）、深空氣候觀測站（dscovr）就被部署在這裡。中國的嫦娥五號軌道器完成登月任務後，由於項目進展順利，推進劑充足，所以加個班，飛到日地 l1 開展了一些太陽探測任務。
在 l1 工作的 soho，圖片來源：nasa
我們說過，l1 不是個穩定點。並且，假如真把探測器精確放到 l1 的話，太陽輻射就會完全來自同一方向，淹沒探測器發來的信號（這個現象叫“日凌”）。所以，放在 l1 的探測器實際上沿着一個暈輪軌道（halo orbit）環繞 l1 畫圈運行。
2. 拉格朗日點——l2
l2 在地球陰影方向，距離地球也是 150 萬千米左右。從這裡看到的地球和月球都是暗面，而且這裡位於地球的磁層尾部，太陽風的干擾也較低，所以，這個位置適合背對太陽靜賞夜空。探測宇宙“大爆炸”餘輝、凝望宇宙超深空的一些任務，就可在此進行。威爾金森微波各向異性探測器（wmap）、普朗克巡天者（planck）、詹姆斯·韋布太空望遠鏡（jwst）先後被安排在這裡。前兩者的任務都是調查宇宙微波背景輻射，jwst 則用於研究“大爆炸”之後第一批恆星和星系的形成和演化。
詹姆斯·韋布太空望遠鏡在 l2 和地球同步公轉，圖片來源：wikipedia
地月系的 l2，也是個有趣的存在。咱們的鵲橋號也在這裡工作，它始終在月球的背面一方，同步跟隨月球繞地運行。這樣，它就可以把月球背面嫦娥四號和玉兔二號的信息傳到地面上來。鵲橋號會圍着 l2 畫圈圈，所以地球始終能接收到它的信號，不會被月球遮攔。
3. 拉格朗日點——l3
目前還沒有哪些航天器在 l3 工作。這裡和地球之間隔着太陽，從 l3 獲得的信息無法直接到達地球。而且，這個位置難以保持穩定，身邊沒有地球罩着，面前還時不時竄過一個金星，對軌道干擾相當嚴重。可是，科幻小說特別鍾愛這個地方，常常在這裡描繪一個“反地球”，埋伏一群外星人，藉著太陽掩護，偷偷地暗算我們。那麼，萬一這兒真有個反地球怎麼辦？大家不用擔心，有探測器跑到這裡看過了，確實什麼都沒有。
4. 拉格朗日點——l4 和 l5
l4 和 l5 也有永晝的特點，而且這兩個點的穩定性容易維持，也很適合研究太陽，但它們和地球距離太遠（等於日地距離），並且研究太陽的工作有個 l1 基本夠用了，目前還沒有開發它們的急迫需要，有一些探測器到過這裡，卻都沒有久留，例如斯皮策太空望遠鏡（sst）、日地關係天文台（stereo）。
l4、l5 分別與地球、太陽形成等邊三角形。圖片來源：researchgate
如果真要用到這兩個點，那麼 l5 比 l4 更有價值一些。因為 l5 位於太陽自轉的上游。當太陽風暴爆發時，l5 可以比地球提前四天知道，為地球發來預警。歐洲空間局的 vigil 就準備把一枚探測器放到這裡。不過其主要目的不是太陽風暴預警，而是和另一枚放置在 l1 的探測器協同研究太陽風暴：當 l1 遭受正面衝擊時，l5 可以提供側面視角。順便說一下，在定名“vigil”之前，這項計劃的名字就叫“拉格朗日”。
科幻小說或漫畫也比較鍾情 l4 和 l5，因為它們離地球比較遠，位置穩定，附近的自然小天體積蓄較多，礦產豐富，能攻能守，是星際殖民題材的常用故事背景。希望有朝一日，這些科幻小說中幻想的可以實現。
作者：曲炯 科普作家 作品發表於國家博物館、國家航天局等
審核：劉茜 北京天文館研究員
