本文作者：劉瑞祥，[遇見] 這裡感謝劉老師投稿支持！
有人說，數學是研究無窮（無限）的學科，或者說，只要是稍微“高深”一點的數學，就一定會遇到無窮，有道理。
經常和數學作對比的物理，是沒有無窮的。我在上大學時遇到這麼個問題：按照庫侖定律，點電荷附近的場強是不是無窮大？老師給出的答案是否定的，因為當你非常接近所謂的“點電荷”時，“點電荷”這個物理模型已經不適用了。再比如電容器儲存的電能和電荷有關，所以電容器的充放電都需要一定時間，這是因為電能不能突變（電能對時間的導數不能無限大），如此等等。
數學裡存在着真正的“無窮”，可能是因為數學主要是一種“思維”遊戲而不是現實的簡單反映。以定積分為例，基本思路是把研究對象劃分為無窮多份，每一份都無限變小，然後把這麼多的小部分加在一起。這在物理上根本就說不通：當我們還遠遠沒有達到“無窮小”的時候，物質已經變成了分子、原子以及各種說不清的“子”，哪還有原來的連續性質？所以物理課上專門發明了一個詞彙——宏觀無窮小，用來描述這種忽略物質不連續性的“無窮小”，也就是說，你儘管把物質看成連續的，埋頭算下去，不要管物理上實際會出現的不連續。
這種做法有個好處，那就是我們有時我們算有限的東西可能很難，而算無限的東西卻很簡單，事情有時就是這麼奇怪。我再舉個例子，比如我們要計算晶體內相互作用問題，顯然晶體的大小是有限的，但是這樣計算起來遠不如把晶體看作無限大方便。自然，無窮也會帶來困擾。比如若干數學悖論就和無窮有關，而悖論又不像物理中的佯謬那樣可以通過實驗解決。
物理上不出現“無窮”還有實際上的屏障問題，比如速度就有個天然上界，而數學上就沒有這種東西。宇宙的大小，當然是更強烈的限制，而數學上不但有無窮大，還有若干不同級別的無窮大，乃至有的無窮大已經完全超出了人類的想象，沒有對應物了。
我國大數學家谷超豪在這本《談談數學中的無限》里說到自己學數學時的體驗，講到“有幾項內容對我有很深刻的印象”：循環小數，平行直線可以看成為在無限遠處相交，整數的全體和偶數的全體“一樣多”，無限級數。作為大數學家的一本小書，比起學習解難題的技巧，作者更強調“豐富而嚴密的思維和想象的能力”，並希望讀者從中“可以見到一些數學概念的產生的背景和過去的數學家們的創造力和想象力”。我覺得，大家讀一讀這樣的書，比埋頭刷題可能更有益處，有助於了解什麼是“真正的數學”。
[遇見君]：《談談數學中的無限》應該有88年、2000年兩版，對本書感興趣的朋友能在各大圖書館借到，或者網上有二手書可淘到。
