這是在今日頭條上看到的岳陽市初中數學競賽題。競賽題在大家的心中可能是難題,在這裡你會發現競賽題就是基礎題。
題目如下:若實數x、y滿足3x+4y=-15,求xy的最大值。
岳陽市初中數學競賽題
∵3x+4y=-15,∴x=-4y/3-5,代入xy:
xy=(-4y/3-5)y=-4y²/3-5y,
這是一個二次函數,開口向下,在頂點處取得最大值。我們求出頂點坐標即可。
當y=-b/2a=-15/8時,
xy的最大值=-4(-15/8)²/3-5(-15/8)=75/16。
很快就做出來了。也很好理解。
我一直強調,學好數學基本概念非常重要。打好數學基礎之後,可以看一下數學模型和解題套路,應付考試用。
數學模型和解題套路不是必須的,而學好數學基本概念則是必須的。
現在來看老師的解答。
老師是用數學基本不等式解題,這也是需要掌握的數學基本概念,希望大家能夠熟練運用。
老師的解答
我們來看一下基本不等式的用法。
∵(a-b)²≥0,
∴a²+b²≥2ab,或ab≤(a²+b²)/2。
只有a=b時取等號。這就是基本不等式。
實際做題時,基本不等式有一些變形,需要靈活運用。比如這一題就是這樣。
∵a²+b²≥2ab,
∴a²+2ab+b²≥4ab,
(a+b)²≥4ab,或ab≤(a+b)²/4。
這道競賽題怎樣用這個基本不等式呢?
3x看成a,4y看成y,即a=3x,b=4y。
3x×4y≤(3x+4y)²/4=225/4,
xy≤75/16,所以xy的最大值=75/16。
這裡是輕鬆簡單學數學,掌握基本概念,難題不在話下。